高考數(shù)學必勝秘訣在哪――概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結(jié)（二）函數(shù)

1、高考數(shù)學必勝秘訣在哪？概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結(jié)二、函數(shù)1.映射: AB的概念。在理解映射概念時要注意：A中元素必須都有象且唯一；B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）設是集合到的映射，下列說法正確的是A、中每一個元素在中必有象 B、中每一個元素在中必有原象C、中每一個元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合（答：A）；（2）點在映射的作用下的象是，則在作用下點的原象為點_（答：（2，1）；（3）若，則到的映射有 個，到的映射有 個，到的函數(shù)有 個（答：81,64,81）；（4）設集合，映射滿足條件“對任意的，是奇數(shù)”，這樣的映射有_個（答：12）；（5）設是

2、集合A到集合B的映射，若B=1,2，則一定是_（答：或1）.2.函數(shù): AB是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個。如（1）已知函數(shù)，那么集合中所含元素的個數(shù)有 個（答： 0或1）；（2）若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間，則 （答：2）3. 同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應法則。而值域可由定義域和對應法則唯一確定，因此當兩個函數(shù)的定義域和對應法則相同時，它們一定為同一函數(shù)。如若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，那么解析式為，值域為4，1

3、的“天一函數(shù)”共有_個（答：9）4. 求函數(shù)定義域的常用方法（在研究函數(shù)問題時要樹立定義域優(yōu)先的原則）：（1）根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對數(shù)中且，三角形中, 最大角，最小角等。如（1）函數(shù)的定義域是_(答：)；（2）若函數(shù)的定義域為R，則_(答：)；（3）函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是_(答：)；（4）設函數(shù)，若的定義域是R，求實數(shù)的取值范圍；若的值域是R，求實數(shù)的取值范圍（答：；）（2）根據(jù)實際問題的要求確定自變量的范圍。（3）復合函數(shù)的定義域：若已知的定義域為,其復合函數(shù)的定義域由不等式解出即可；若已知的定義域為,求的定義域，相當于當時，求的值域（即的定義域）

4、。如（1）若函數(shù)的定義域為，則的定義域為_（答：）；（2）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為_（答：1,5）5.求函數(shù)值域（最值）的方法：（1）配方法二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系），如（1）求函數(shù)的值域（答：4,8）；（2）當時，函數(shù)在時取得最大值，則的取值范圍是_（答：）；（3）已知的圖象過點（2,1），則的值域為_（答：2, 5）（2）換元法通過換元把一個較復雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析

5、式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如（1）的值域為_（答：）；（2）的值域為_（答：）（令，。運用換元法時，要特別要注意新元的范圍）；（3）的值域為_（答：）；（4）的值域為_（答：）；（3）函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學過函數(shù)的有界性，來確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如求函數(shù)，的值域（答： 、（0,1）、）；（4）單調(diào)性法利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如求，的值域為_（答：、）；（5）數(shù)形結(jié)合法函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離、直線斜率、等等，如（1）已知點在圓上，求及的取值范圍（答：、）；（2）求函數(shù)的值域（答：

6、）；（3）求函數(shù)及的值域（答：、）注意：求兩點距離之和時，要將函數(shù)式變形，使兩定點在軸的兩側(cè)，而求兩點距離之差時，則要使兩定點在軸的同側(cè)。（6）判別式法對分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：型，可直接用不等式性質(zhì)，如求的值域（答：）型，先化簡，再用均值不等式，如（1）求的值域（答：）；（2）求函數(shù)的值域（答：） 型，通常用判別式法；如已知函數(shù)的定義域為R，值域為0，2，求常數(shù)的值（答：）型，可用判別式法或均值不等式法，如求的值域（答：）（7）不等式法利用基本不等式求函數(shù)的最值，其題型

7、特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。如設成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是_.（答：）。（8）導數(shù)法一般適用于高次多項式函數(shù)，如求函數(shù)，的最小值。（答：48）提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）函數(shù)的最值與值域之間有何關系？6.分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應關系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值時，一定首先要判斷屬于定義域的哪個子集，然后再代相應的關系式；分段函數(shù)的值域應是其定義域內(nèi)不同子集上各關系式的取值范圍的并集。如（1）設函數(shù)

8、，則使得的自變量的取值范圍是_（答：）；（2）已知，則不等式的解集是_（答：）7.求函數(shù)解析式的常用方法：（1）待定系數(shù)法已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表達形式有三種：一般式：；頂點式：；零點式：，要會根據(jù)已知條件的特點，靈活地選用二次函數(shù)的表達形式）。如已知為二次函數(shù)，且 ，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式 。（答：）（2）代換（配湊）法已知形如的表達式，求的表達式。如（1）已知求的解析式（答：）；（2）若，則函數(shù)=_（答：）；（3）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，那么當時，=_（答：）. 這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即的定義域應是的值域。（3）

9、方程的思想已知條件是含有及另外一個函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對等式的進行賦值，從而得到關于及另外一個函數(shù)的方程組。如（1）已知，求的解析式（答：）；（2）已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且+= ,則= _（答：）。8. 反函數(shù)：（1）存在反函數(shù)的條件是對于原來函數(shù)值域中的任一個值，都有唯一的值與之對應，故單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但反之不成立；偶函數(shù)只有有反函數(shù)；周期函數(shù)一定不存在反函數(shù)。如函數(shù)在區(qū)間1, 2上存在反函數(shù)的充要條件是A、B、C、D、（答：D）（2）求反函數(shù)的步驟：反求；互換 、；注明反函數(shù)的定義域（原來函數(shù)的值域）。注意函數(shù)的反函數(shù)不是，而是。如設.求的反函數(shù)（答：） （3）反函數(shù)的性

10、質(zhì)：反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來函數(shù)的定義域。如單調(diào)遞增函數(shù)滿足條件= x ，其中 0 ，若的反函數(shù)的定義域為 ，則的定義域是_（答：4,7）.函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的圖象關于直線對稱，注意函數(shù)的圖象與的圖象相同。如（1）已知函數(shù)的圖象過點(1,1),那么的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點_（答：（1,3）；（2）已知函數(shù)，若函數(shù)與的圖象關于直線對稱，求的值（答：）； 。如（1）已知函數(shù)，則方程的解_（答：1）；（2）設函數(shù)f(x)的圖象關于點（1,2）對稱，且存在反函數(shù)，f (4)0，則 （答：2）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性和奇函數(shù)性。如已知是上的增函數(shù)，點在它的圖象上，

11、是它的反函數(shù)，那么不等式的解集為_（答：（2,8）；設的定義域為A，值域為B，則有，但。9.函數(shù)的奇偶性。（1）具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關于原點對稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時，務必先判定函數(shù)定義域是否關于原點對稱。如若函數(shù)，為奇函數(shù)，其中，則的值是 （答：0）；（2）確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性）：定義法：如判斷函數(shù)的奇偶性_（答：奇函數(shù)）。利用函數(shù)奇偶性定義的等價形式：或（）。如判斷的奇偶性_.（答：偶函數(shù)）圖像法：奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關于軸對稱。（3）函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性

12、，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).若為偶函數(shù)，則.如若定義在R上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，且=2，則不等式的解集為_.（答：）若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。如若為奇函數(shù)，則實數(shù)_（答：1）.定義在關于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和（或差）”。如設是定義域為R的任一函數(shù)， ，。判斷與的奇偶性； 若將函數(shù)，表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和，則_（答：為偶函數(shù)，為奇函數(shù)；）復合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.既奇又偶函數(shù)有

13、無窮多個（，定義域是關于原點對稱的任意一個數(shù)集）.10.函數(shù)的單調(diào)性。（1）確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：在解答題中常用：定義法（取值作差變形定號）、導數(shù)法（在區(qū)間內(nèi)，若總有，則為增函數(shù)；反之，若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，則，請注意兩者的區(qū)別所在。如已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_(答：）)；在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運用：增區(qū)間為，減區(qū)間為.如（1）若函數(shù) 在區(qū)間（，4 上是減函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是_(答：）)；（2）已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍_（答：）；（3）若函數(shù)的值域為R，則實數(shù)的取值范圍是_(答

14、：且）)；復合函數(shù)法：復合函數(shù)單調(diào)性的特點是同增異減，如函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_(答：（1,2）)。（2）特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時，一是勿忘定義域，如若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍（答：）；二是在多個單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號“”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示 （3）你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎?（比較大??；解不等式；求參數(shù)范圍）.如已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若，求實數(shù)的取值范圍。（答：）11. 常見的圖象變換函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位得到的。如設的圖像與的圖像關于直線對稱，的圖像由的圖像向右平移1個單位得到，則為_(答： )函數(shù)(

15、的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位得到的。如（1）若，則函數(shù)的最小值為_(答：2)；（2）要得到的圖像，只需作關于_軸對稱的圖像，再向_平移3個單位而得到(答：；右)；（3）函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)有_個(答：2)函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向上平移個單位得到的；函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向下平移個單位得到的；如將函數(shù)的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關于直線對稱,那么 (答：C)函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。如（1）將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），再將此圖像沿軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應的函數(shù)為_(答：)

16、；（2）如若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對稱軸方程是_(答：)函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的. 12. 函數(shù)的對稱性。滿足條件的函數(shù)的圖象關于直線對稱。如已知二次函數(shù)滿足條件且方程有等根，則_(答：)； 點關于軸的對稱點為；函數(shù)關于軸的對稱曲線方程為；點關于軸的對稱點為；函數(shù)關于軸的對稱曲線方程為； 點關于原點的對稱點為；函數(shù)關于原點的對稱曲線方程為； 點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為。特別地，點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為；點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為。如己知函數(shù),若的圖像是,它關于直線對稱圖像是關于原點對稱的圖像

17、為對應的函數(shù)解析式是_（答：）；曲線關于點的對稱曲線的方程為。如若函數(shù)與的圖象關于點（-2，3）對稱，則_（答：）形如的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定)，對稱中心是點。如已知函數(shù)圖象與關于直線對稱，且圖象關于點（2，3）對稱，則a的值為_（答：2）的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關于軸的對稱圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的圖象關于軸的對稱圖形得到。如（1）作出函數(shù)及的圖象；（2）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關于_對稱 （答：軸）提醒：（1）從結(jié)論可看出，

18、求對稱曲線方程的問題，實質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點的對稱問題；（2）證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任一點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（3）證明圖像與的對稱性，需證兩方面：證明上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在上；證明上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在上。如（1）已知函數(shù)。求證：函數(shù)的圖像關于點成中心對稱圖形；（2）設曲線C的方程是,將C沿軸, 軸正方向分別平行移動單位長度后得曲線。寫出曲線的方程（答：）；證明曲線C與關于點對稱。13. 函數(shù)的周期性。（1）類比“三角函數(shù)圖像”得：若圖像有兩條對稱軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為；若圖像有兩個對稱中心，則是周期函數(shù)

19、，且一周期為；如果函數(shù)的圖像有一個對稱中心和一條對稱軸，則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為；如已知定義在上的函數(shù)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程在上至少有_個實數(shù)根（答：5）（2）由周期函數(shù)的定義“函數(shù)滿足，則是周期為的周期函數(shù)”得：函數(shù)滿足，則是周期為2的周期函數(shù)；若恒成立，則；若恒成立，則.如(1) 設是上的奇函數(shù)，當時，則等于_(答：)；(2)定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，若是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則的大小關系為_(答：)；（3）已知是偶函數(shù)，且=993，=是奇函數(shù)，求的值(答：993)；（4）設是定義域為R的函數(shù)，且，又，則=(答：)14.指數(shù)式、對數(shù)式：， 。如（1）的值為_(答：8)；（2）的值為_(答：)15. 指數(shù)、對數(shù)值的大小比較：（1）化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；（2）作差或作商法；（3）利用中間量（0或1）；（4）化同指數(shù)（或同真數(shù)）后利用圖象比較。 16. 函數(shù)的應用。（1）求解數(shù)學應用題的一般步驟：審題認真讀題，確切理解題意，明確問題的實際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系；建模通過抽象概括，將實際問題轉(zhuǎn)化為相應的數(shù)學問題，別忘了注上符合實際意義的定義