分類討論思想在一元二次方程中運用舉例

1、分類討論思想在一元二次方程中的運用 在數(shù)學中，常常要根據(jù)研究對象的性質(zhì)差異，分別對各種不同的情況予以分析的思想方法叫分類討論。本文以一元二次方程為例，談談分類討論思想在解題中的運用。 例1. 已知方程有實數(shù)根，求m的取值范圍。 分析：字母系數(shù)的取值范圍問題，首先引起警覺，想到分類討論。因為這里并沒有指明是二次方程，故要考慮是一次方程的可能。 解：（1）當，即，方程為一元一次方程，有實數(shù)根； （2）當，即時，方程為二次方程。由有實根的條件得： 所以，且 綜合（1）、（2），得： 評注：字母系數(shù)的取值范圍問題是否要討論，要看清題目的條件。一般設(shè)問方式有兩種（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式

2、，即“兩實數(shù)根”。這都表明是二次方程，不需討論，但切不可忽視二次項系數(shù)不為零的要求。本例是根據(jù)二次項系數(shù)是否為零進行分類討論。 例2. 當m是什么整數(shù)時，關(guān)于x的一元二次方程與的根都是整數(shù)。 解析：由于給出的關(guān)于x的方程是一元二次方程，所以二次項系數(shù)不為零，即。又由于方程均有實數(shù)根，所以 解得： 又 解得： 所以 又m是整數(shù)，且，且或1 當時，方程為，解得方程的根為，它的根不是整數(shù)，故舍去。 當時，方程的根為，方程根為，均為整數(shù)，所以。 評注：本例是根據(jù)方程的根是否為整數(shù)進行分類討論。 例3. 已知關(guān)于x的方程： （1）求證：無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根。 （2）若這個方程的兩

3、個實數(shù)根滿足，求m的值及相應的。 解：（1） 所以不論m取何值，總有 所以，即 所以方程總有兩個相異的實根。 （2）因為 所以或 若，則 所以 所以 此時 所以 若，則 所以 所以，此時 所以 評注：本例是根據(jù)方程根的正負進行分類討論，旨在去掉絕對值符號。 例4. 若實數(shù)a、b滿足，求的值。 解：由方程根的定義，知a、b是方程的兩個根 所以 所以 事實上，題設(shè)中的a與b是可以相等的，當時，原式2 綜上所述：當時，原式，當時原式2 評注：本例是根據(jù)方程的根是否相等進行分類討論。從上面例題我們可以歸納出用分類討論的數(shù)學思想方法解題的一般步驟是：（1）明確討論的對象；（2）進行合理分類。所謂合理分類

4、，應該符合三個原則：分類應按同一標準進行，分類應當沒有遺漏，分類應是沒有重復的；（3）逐類討論，分級進行；（4）歸納并作出結(jié)論。練習題1若方程x2-2x+（2-）=0的兩根是a和b（a>b），方程x2-4=0的正根是c，試判斷以a、b、c為邊的三角形是否存在若存在，求出它的面積；若不存在，說明理由2已知關(guān)于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的兩根之和為-1，兩根之差為1，其中a，b，c是ABC的三邊長 （1）求方程的根；（2）試判斷ABC的形狀3某服裝廠生產(chǎn)一批西服，原來每件的成本價是500元，銷售價為625元，經(jīng)市場預測，該產(chǎn)品銷售價第一個月將降低20%，第二個月比第一個月

5、提高6%，為了使兩個月后的銷售利潤達到原來水平，該產(chǎn)品的成本價平均每月應降低百分之幾？4李先生乘出租車去某公司辦事，下午時，打出的電子收費單為“里程11公里，應收29.10元”出租車司機說：“請付29.10元”該城市的出租車收費標準按下表計算，請求出起步價N（N<12）是多少元里程（公里）0<x33<x6x>6價格（元） N 參考答案1解：解方程x2-2x+（2-）=0，得x1=，x2=2- 方程x2-4=0的兩根是x1=2，x2=-2 所以a、b、c的值分別是，2-，2 因為+2-=2，所以以a、b、c為邊的三角形不存在 點撥：先解這兩個方程，求出方程的根，再用兩邊的

6、和與第三邊相比較等來判斷2解：（1）設(shè)方程的兩根為x1，x2（x1>x2），則x1+x1=-1，x1-x2=1，解得x1=0，x2=-1（2）當x=0時，（a+c）×02+2b×0-（c-a）=0所以c=a當x=-1時，（a+c）×（-1）2+2b×（-1）-（c-a）=0a+c-2b-c+a=0，所以a=b即a=b=c，ABC為等邊三角形 點撥：先根據(jù)題意，列出關(guān)于x，x的二元一次方程組，可以求出方程的兩個根0和-1進而把這兩個根代入原方程，判斷a、b、c的關(guān)系，確定三角形的形狀3解：設(shè)該產(chǎn)品的成本價平均每月應降低x 625（1-20%）（1+6

7、%）-500（1-x）2=625-500 整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81 1-x=±0.9，x=1±0.9， x1=1.9（舍去），x2=0.1=10% 答：該產(chǎn)品的成本價平均每月應降低10% 點撥：題目中該產(chǎn)品的成本價在不斷變化，銷售價也在不斷變化，要求變化后的銷售利潤不變，即利潤仍要達到125元，關(guān)鍵在于計算和表達變動后的銷售價和成本價4解：依題意，N+（6-3）×+（11-6）×=29.10， 整理，得N2-29.1N+191=0，解得N1=19.1，N2=10， 由于N<12，所以N1=19.1舍去，所以N=10 答：起步價是10元 點撥：讀懂表格是正確列出