六同 直線型面積計算

1、第三講 直線型面積計算教學目標：1.掌握等量代換和割補法的性質(zhì)與特點 2.靈活運用這兩種方法決求直線型圖形的面積。 3.培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力教學重難點：割補法在求圖形面積中的應(yīng)用。教學方法：講練教學用具：講義教學過程:一、 故事導入 一位農(nóng)夫請了工程師、物理學家和數(shù)學家來，想用最少的籬笆圍出最大的面積。 工程師用籬笆圍出一個圓，宣稱這是最優(yōu)設(shè)計。 物理學家將籬笆拉開成一條長長的直線，認為圍起半個地球總夠大了。 （講到這里，老師們可以停下來問問同學們還有更好的方法嗎？讓學生們各抒己見）揭曉答案，數(shù)學家好好嘲笑了他們一番。他用很少的籬笆把自己圍起來，然后說：“我現(xiàn)在是在外面?！睅煟哼@個故

2、事告訴我們想問題不能墨守成規(guī)，而要把思路發(fā)散開來。就像我們同學從3年級開始就已經(jīng)學習了長方形、正方形、梯形、三角形等圖形，對于他們的面積公式肯定是熟記于心。（這里可以帶著學生復習一下面積公式：長方形 S=a×b；正方形 S=a×a；梯形 S=(a+b) ×h÷2；三角形 S= a×h÷2。另外老師可以準備一些規(guī)則以及不規(guī)則的圖形卡片，引導學生發(fā)現(xiàn)生活中實際有很多平面圖形并不是規(guī)則的圖形，那么我們該如何來求它們的面積呢？這就需要一定的方法了）下面就跟著老師走進今天的數(shù)學課堂，學完今天的內(nèi)容大家就會豁然開朗了！那么我們一起來學習-直線型面

3、積計算二、新課學習例1：（原例3）、已知長方形ABCD的面積是40平方厘米，AE=5cm，求BD的長。5cmECBDA解析：可以很容易發(fā)現(xiàn)BD是三角形ABD的一條邊，又因為AE為BD的高，那么在已知高的情況下如何求底邊？利用公式三角形 S= a×h÷2變形得a=s×2÷h?？梢郧蟮肂D。三角形ABD的面積：40÷2=20平方厘米BD的長：20×2÷5=8厘米小結(jié)：本題采用公式變形的方法計算出結(jié)果，稱之定義法。例2：（原例1）、三角形ABC的面積為36平方分米,DC=2BD,求陰影部分的面積。ABDC解析：由題意DC=2BD，

4、可以理解成BD被分成3份，BD占1份，DC占2份，又因為三角形ADC和三角形ABD等高，所以三角形ADC是三角形ABD的2倍。36÷（1+2）×2=24平方分米過渡：來看下一個例題可不可以用這個方法呢？例3、如圖，在三角形ABC中，D是BC 的中點，AE=3ED，三角形ABC的面積為96平方厘米，求陰影部分。解析：D為三角形ABC的底邊BC 的中點，BD=CD，而且三角形ABD 和ADC等高，所以三角形ABD 和ADC面積相等。也可以理解為AD把三角形ABC分成了面積相等的兩部分，三角形ABD占一份。同樣的，在三角形ABD中，底邊AD上有這樣的關(guān)系-AE=3ED，說明AD被

5、分成了4等分，ED占一份，AE占3份，即三角形ABD被分成了面積相等的4部分，三角形ABE占3份。SABD=96÷2=48平方厘米48÷4×3=36平方厘米小結(jié)：通過以上兩個例題，我們知道了同高三角形面積的份數(shù)關(guān)系等于底的分數(shù)關(guān)系（因為有些學生不知道比，所以老師們可以視班里學生情況總結(jié)）下面我們看下練習7練習：如下圖，已知在三角形ABC中，BE=3AE，CD=2AD。若三角形ADE的面積為1平方厘米。求三角形ABC的面積。 解析：這一題和剛才的兩題就有點區(qū)別了，題目中給出了邊的份數(shù)關(guān)系和小三角形ADE的面積。我們要求大三角形ABC的面積。連接BD，我們還是從大三角

6、形開始分析：CD=2AD，說明AC被分成了3等份，CD 占2份，即三角形ABC被分成了面積相等的3等份，三角形ABD占一份；BE=3AE,說明AB被分成了4等份，AE占一份，即三角形ABD的面積被分成了4等份，三角形ADE占一份。這樣我們就找到了SADE與SABC的關(guān)系。1×（3+1）=4（平方厘米）4×（2+1）=12（平方厘米）例4、下圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是4厘米，大正方形邊長為5厘米，求三角形ABC的面積。解析：這個題目只有小正方形的邊長是已知的，而三角形ABC中有一部分在小正方形中，還有一部分在大正方形中。如果我們能通過等量代換把三角形ABC

7、全部都轉(zhuǎn)換到小正方形中就好解決了。 連接AD，顯然ADBC,接下來怎么轉(zhuǎn)化呢？我們把梯形ABCD單獨拿出來討論，發(fā)現(xiàn)，三角形ABD和ACD有公共的底AD，且它們的高相等（由于ADBC）。所以，SABD=SACD，而這兩個三角形有一個公共的部分-三角形ADF，根據(jù)我們前面講的，等式兩邊都減去SADF后所得結(jié)果仍然相等，聯(lián)系圖形，即SABF=SCDF。這是著名的蝶形定理中的一個性質(zhì)。然后，我們就可以把三角形ABC全部轉(zhuǎn)化到小正方形中了，SABC=SBCD。SABC=SBCD=4×4÷2=8（平方厘米）答：三角形ABC的面積為8平方厘米。小結(jié)：這一題我們連接AD，利用兩個正方形的

8、對角線，找出一個梯形，然后再進行等量代換。把三角形ABC中的ABF割下來補到三角形CDF中，這樣就用到了我們今天要學習的第二種方法-割補法，把不能直接求的面積轉(zhuǎn)化為可以求的面積。這一題還要注意蝶形定理的運用。例5：兩個相同的直角三角形如下圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積.解析：先看一個簡單的加減法算式13=5+8，如果等式的兩邊都減去3，結(jié)果還會不會相等呢？（提問）其實這里面隱含著一個很重要的性質(zhì)-兩個相等的量同時減去一個相同的量，所得結(jié)果仍然相等，簡稱同減?，F(xiàn)在我們來看這一題，陰影部分的面積不能直接求出，可以轉(zhuǎn)化為ABC與DOC的面積差。ABC和DEF是相同的三角形，所以SA

9、BC=SDEF；從圖中看出，DOC是ABC和DEF的公共部分。根據(jù)我們前面的分析，可以得出SABC-SDOC =SDEF -SDOC，所以S陰=SOEFC。SOEFC=（10+7）×2÷2=17（平方厘米）答：陰影部分的面積為17平方厘米。例6、如下圖所示，在一個等腰直角三角形中，削去一個三角形后，剩下一個上底長5厘米、下地長9厘米的等腰梯形（陰影部分）。求這個梯形的面積。解析：已知條件只給出了大、小兩個直角三角形的斜邊長，可是求三角形的面積需要知道直角邊長，怎么辦呢？能不能想辦法把直角邊轉(zhuǎn)化為直角邊呢？題目所給的三角形非常特殊，等腰直角三角形，其底角為45度。我們將這個三

10、角形沿著其中一條直角邊旋轉(zhuǎn)180度，之后得到下圖： 我們發(fā)現(xiàn)，三角形ABC和DEF仍然是等腰直角三角形，且這兩個三角形的面積可以直接得出。然后根據(jù)我們剛才學習的等量代換的思想，可以計算出陰影部分的面積，然后再得出題目所求。SABC=9×9÷2=40.5（平方厘米）SDEF=5×5÷2=12.5（平方厘米）S陰=40.5-12.5=28（平方厘米）S梯=28÷2=14（平方厘米） 這種方法我們利用了這里特殊的45度角，除了利用補圖形的辦法外，還有沒有別的辦法呢？求三角形的面積需要知道底邊長和對應(yīng)邊上的高，我們給這個等腰三角形作高，大家有沒有什么發(fā)

11、現(xiàn)呢？（引導學生，讓他們學會利用等腰直角三角形特殊的45度角）如下圖MN垂直于AC，三角形CNM和FHM也都是等腰直角三角形，MN=CN=AC÷2=4.5（厘米）MH=FH=CD÷2=2.5（厘米）HN=4.5-2.5=2（厘米）S梯=（5+9）×2÷2=14（平方厘米） 小結(jié)：這一題我們有兩種方法，都是利用了等腰直角三角形中特殊的45度角，或者是旋轉(zhuǎn)補圖形，或者是作高。下面大家看練習題8練習：在下圖所示的等腰直角三角形中，剪去一個三角形后，剩下的部分是一個直角梯形（陰影部分）。已知梯形的面積為36平方厘米，上底為3厘米，求下底和高。解析：這一題和例題的

12、條件很相似，只是例題中平行于底邊剪掉一個三角形，而本題中則平行于一條直角邊剪掉一個三角形。根據(jù)剛才的學習，大家應(yīng)該對等腰直角三角形中特殊的45度角很有好感了！因為它對我們解題很有幫助。與例題類似，我們先補圖形，如下圖：我們發(fā)現(xiàn)，三角形AOF， AEF，ABC都是等腰直角三角形。因為題目中告訴了直角梯形的上底，即OF=OE=3，AO=3，所以三角形AEF的面積可求。等腰梯形EFCB的面積也可求，這樣就能求出三角形ABC的面積。根據(jù)三角形的面積計算公式，可以求出BC，AD，然后再求CD，OD，即下底和高。 （3+3）×3÷2=9（平方厘米） 36×2+9=81（平方厘

13、米） BC×AD÷2=CD×AD=CD×CD=81（平方厘米） CD= AD =9（厘米） OD=9-3=6（厘米） 答：下底為9厘米，高為6厘米。例7、在下圖的直角三角形中有一個矩形，求矩形的面積。46解析：求矩形的面積我們必須知道其長和寬，而題目給出的條件與所求沒有任何關(guān)系，所以我們要想辦法把已知條件轉(zhuǎn)化為我們可以用的量。 因為題目給出的是一個直角三角形，我們給它補一個相同的直角三角形，讓它變成一個矩形，如下圖： 我們發(fā)現(xiàn)，在矩形ABCD中，三角形ABC和ACD相等；在矩形AEOG中，三角形AOG和AOE相等；在矩形CFOH中，三角形COF和COH相

14、等。根據(jù)等量代換的思想，SABC-SCOH-SAOE=SACD-SCOF-SAOG，即SBEOH=SDFOG。矩形DOFG的面積可以有已知條件求出，所以得解。 SBEOH=SDFOG=4×6=24小結(jié)：在這一例中，我們利用對稱的思想補圖形，然后再進行等量代換，得出題目所求。下面大家看練習題9，用類似的方法試試看。練習：在下圖中，長方形AEFD的面積是18平方厘米，BE長3厘米，求CD的長。 解析：這一題和例題非常的類似，只是把已知和求解調(diào)換了。同樣的，我們先要補圖形，如圖和例題類似，在矩形ABGC中，三角形ABC和BGC相等；在矩形BEFM中，三角形BEF和BMF相等；在矩形CDFH

15、中，三角形CDF和FHC相等。所以，SABC-SBEF-SCDF=SBGC-SBMF-SFHC，即SAEFD=SGMFH SGMFH=FM×HF=BE×CD CD=18÷3=6(厘米)過渡：是不是所有的圖形問題都可以用這種對稱的思想解決呢？（提問）接下來我們看例8。例8、在下圖中，平行四邊形ABCD的邊長長10厘米，直角三角形ECB的直角邊EC長8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10平方厘米，求平行四邊形ABCD的面積。解析：同樣的，我們先來看一個加法算式10=8+2，現(xiàn)在我在等號的兩邊同時加上4，所得到的新式子仍然相等嗎？在這個變化過程中同樣的包

16、含一個重要的性質(zhì)-兩個相等的量同時加上一個相同的量，所得結(jié)果仍然相等，簡稱同加?，F(xiàn)在我們看這一題，平行四邊形的面積沒辦法直接求出，可以轉(zhuǎn)化為陰影部分與梯形FGCB的和。由已知條件，有這樣的等量關(guān)系：S陰=SEFG+10。由前面分析的性質(zhì)，如果在等式的兩邊同時加上梯形FGCB的面積，等式仍然成立，即SFGCB+S陰=SFGCB+SEFG+10。聯(lián)系圖形，我們發(fā)現(xiàn)，等式的左邊是平行四邊形ABCD的面積，右邊的（SFGCB+SEFG）是三角形BEC的面積，即SABCD=SBEC+10。SABCD=10×8÷2+10=50（平方厘米）答：平行四邊形的ABCD的面積為50平方厘米。小

17、結(jié)：例8中的圖形面積都不能直接求出，我們通過轉(zhuǎn)化為其他可求的圖形才得以解決，這叫做等量代換，即一個量可以用它相等的量來代替。另外，在這兩個例題中我們用到了兩條重要的性質(zhì)：兩個相等的量同時減去一個相同的量，所得結(jié)果仍然相等；兩個相等的量同時加上一個相同的量，所得結(jié)果仍然相等。這在以后的學習中也經(jīng)常會用到，大家要掌握。下面我們看下練習10 。練習：在下圖中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面積大18平方厘米。求ED的長。解析：由已知得出等量關(guān)系，SAFB=SEFD+18，所以SAFB+SBCDF=SBCDF+SEFD+18，聯(lián)系圖形，發(fā)現(xiàn)等式左邊就是直角梯形A

18、BCD的面積 ，右邊的（SBCDF+SEFD）就是直角三角形BEC的面積，即SABCD=SBEC+18。而直角梯形ABCD的面積我們可以直接求出，進而計算出三角形BEC的面積，然后根據(jù)三角形的面積計算公式求出CE的長，最后計算ED的長。SABCD=（4+8）×6÷2=36（平方厘米）SBEC=36-18=18（平方厘米）SBEC=BC ×CE÷ 2CE=18×2÷6=6(厘米)ED=6-4=2(厘米)答：ED的長為2厘米。總結(jié)：今天這節(jié)課可是大豐收，學習了很多解決直線型面積計算的方法，比如利用公式的變換、割、補、對稱、等量代換等思想，

19、課后要好好復習，并把方法運用到實際計算中去。好嗎？家庭作業(yè)練習題1，2，3，4，5、6板書設(shè)計直線型面積計算長方形 S=a×b正方形 S=a×a梯形 S=(a+b) ×h÷2三角形 S= a×h÷2等量代換：同減；同加割補法：蝶形定理；等腰直角三角形45度角；一半模型；份數(shù)課后反思：練習鞏固：1、（1）一塊長方形草坪，中間有兩條寬1米的走道，求植草（陰影部分）的面積。（15-1）×（10-1）=126平方米（2）已知：ABCD是長方形，。（單位：厘米）求陰影部分的面積。ABCDEF連BD 3×4÷2+3×6÷2=15平方厘米（3）、已知：在四邊形AECF中，AE和EC垂直，CF和AF垂直。，。（單位：厘米）求：陰影部分的面積。 連AC 8×4÷2+7×10÷2=51平方厘米 2、在直角三角形ABC中，AB=4cm,BC=3m,AC=5cm。求AC邊上的高BE的長。 ABCE543 4×3÷5=2.4厘米 3、如下圖，已知在ABC中，。若ADE的面積為1平方厘米。求三角形ABC的面積。 4、如