全等三角形軸對稱能力提高練習(xí)

1、AMPCB全等三角形、軸對稱能力提高練習(xí)1.如圖，P是等邊ABC內(nèi)的一點,連接PA、PB、PC.以PB為邊作等邊BPM，連接CM.（1）觀察并猜想AP與CM之間的大小關(guān)系，并說明你的結(jié)論；（2）若APC=100°，PMC為直角三角形，求APB的度數(shù) AEDCB2.如圖，已知在四邊形ABCD中，AC平分BAD，過C作CEAB于E，并且AE=，求ABC+ADC的度數(shù)。FEMNPOBA3.點P在AOB內(nèi)，點M，N分別是點P關(guān)于OA，OB的對稱點，M，N的連線交OA于點E，交OB于點F，若PEF的周長為20cm，求線段MN的長。拓展：（1）若AOB=45º，連接OM，ON

2、判斷MON的形狀，并說明理由。 （2）已知點P在AOB內(nèi)，在OA,OB上分別取點E,F，使PEF周長最小，請畫出圖形，并寫出過程。FEDACB4.已知如圖，等腰RtABC中，BAC=90º，點D是BC邊的中點，且BE=AF.求證：DEDFAEDCB5.如圖，ABC中，ABC=90º，AB=CB，AE平分BAC，過點C作CDAD于點D，求證：CD=AEGECBAF7.如圖所示，ABC中，AB=AC，在AB上取一點E，在AC延長線上取一點F，使BE=CF，EF交BC于G，求證：EG=FG8.已知ABC中，AB=AC，且過ABC的某一頂點的直線可將ABC分成兩個等腰三角形，試求A

3、BC各內(nèi)角的度數(shù)。CDBA9.如圖，ABC中BD是AC邊上的中線，BDBC于點B，且ABC=120º.求證：AB=2BC.PBCA10.如圖所示，ABC是等邊三角形，P是三角形外一點，且ABP+ACP=180º，求證：PB+PC=PAPADEFBC11.已知P是等邊ABC內(nèi)任意一點，過點P分別向三邊作垂線，垂足分別是D、E、F，試證明PD+PE+PF是不變的值。ADEBC12.如圖所示，等邊ABC，D、E分別在AC、AB的延長線上，且CD=AE，求證：DB=DE21DCBA13.如圖，在ABC中，AD平分BAC，ABC=2C，求證：AB+BD=AC.FEDCBA圖3EDCB

4、A圖2DCBEA圖114.在圖1至圖3中，ABC是等邊三角形，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC.觀察思考：當(dāng)點E為AB的中點時，如圖1，線段AE與DB的大小關(guān)系是：AE DB(填“”，“”或“=”）；拓展延伸：當(dāng)點E不是AB的中點時，如圖2，猜想線段AE與DB的大小關(guān)系是：AE DB(填“”，“”或“=”），并說明理由（提示：在圖2中，過點E作EFBC角AC于點F，得到圖3）。15.如圖1，在ABC中，ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD右側(cè)作正方形ADEF.解答下列問題：如果AB=AC，BAC=90º當(dāng)點D在線段BC上時，（與點B不重合

5、），如圖2，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為 ，數(shù)量關(guān)系為 當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖3，中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由。CBFDEA（2）如圖4，如果AB>AC，BAC>90º，點D在線段BC上運動，其余條件不變，猜想當(dāng)BCA等于多少度時，CFBC，請說明理由。CBFDEA圖2圖1FEDCBAFEDCBA圖4圖3FNMPEDCBA16.三角形ABC中，BD和CE是三角形的高，延長BD至點F，使BF=AC，在EC上取點P，使CP=AB，作FM垂直于BC，PN垂直于BC。求證PN+FM=BCPCBA17.如圖，等腰直角ABC中，AC=BC，ACB=90º，

6、P為ABC內(nèi)部一點，滿足PB=PC，AP=AC，則BCP=( )ADECB18. 如圖，ABC中，AB=AC，角BAC=90度，D為BC上一點，過D作DE垂直AD，且DE=AD，連接BE，求DBE 的度數(shù)。ACEDB19. 如圖，ABC中，BAC=90º，AB=AC，點D是BC上一點，DEAD且DE=AD，求證：CEACDCAB20. ABC為等邊三角形,BDA=ADC=60°，試說明AD=BD+DCNMEBDCA21.在等邊三角形ABC中的AC延長線上取一點E,以CE為邊做等邊三角形CDE，使它與三角形ABC位于直線AE的同一側(cè)，點M為線段AD的中點，點N為線段BE的中點

7、，求證：三角形CNM為等邊三角形。22.正方形ABCD，E為BC上一點，AEF為直角，CF平分DCG。(1)如圖（1），當(dāng)點E在線段BC上時，求證：AE=EF(2)如圖（2），當(dāng)點E在BC的延長線上時，試判斷AE=EF是否依然成立，并說明理由。DCBAFEG圖(1)DCBAFEG圖(2)OAMNDECB23. 如圖，ABC，CDE是邊等三角形，C為線段AE上一不動點CNAB AD=BEAOE=120度 CM=CNOC平分AOE OB+OC=OADM=CN其中正確的有AMPCB圖（1）參考答案：1.（1）AP=CM證明 AB=BC ，ABP=CBM ，BP=BMABPCBM SAS AP=CMA

8、MPCB圖（2）（2） APC=100° BAP+BCP=BCP+BCM=PCM=100-60=40°若CPM=90°，如圖（1）則APB=360-BPM-CPM-APC=360-60-90-100=110°若CMP=90°，如圖（2）則APB=360-BPM-CPM-APC=360-60-50-100=150° AFEDCB 2. 過點C作CFAD，交AD的延長線于點FAC平分BAD ，CEAB AEC=AFC=90º， EAC=FAC, CE=CFAECAFC AE=AF AE=(AB+AD) 2AE=AB+ADAB-A

9、E =AE-AD AB-AE =AF-AD，即EB =FD在EBC和FDC中：CE=CF ，BEC=DFC=90º ， EB =FDEBCFDC B=FDC，即ABC=FDCFEMNPOBAFDC+ADC=180º ABC+ADC=180º3. M、N分別是點P關(guān)于OA、OB的對稱點EP=EM ，F(xiàn)P=FN PEF的周長=EP+EF+FP =EM+EF+FN，即PEF的周長=線段MNPEF的周長=20cm MN=20cm(1)連接OM，OP，ONM、N分別是點P關(guān)于OA，OB的對稱點 OM=OP ，ON=OP ，MOA=POA ,NOB=POBOM=ONMON=M

10、OA+POA +NOB+POB=2(POA +POB)=2AOBAOB=45º， MON=90º ，MON是等腰直角三角形（2）分別作點P關(guān)于OA ，OB的對稱點M、 N ，連接MN，分別交OA，OB于點E、F連接PE、PF，PEF即為所求。4.提示：連接AD，證ADFBDE5.提示：延長AB與CD的延長線交于點F，證ABECBF6.提示：（1）EC=BD (2)BOP=BAE=60º，故BOP的大小與ABC形狀無關(guān)。7.提示：過點E作EMAC，交BC于點M，證MEGCFG8.（1）當(dāng)在底邊BC邊上取點時，分兩種情況：45º45º45º

11、;45ºAECB圖（1）xFxx2x2xACB圖（2）如圖（1），在BC上取點E，使AE=BE=CE時，容易計算得B=C=45º ，BAC=90º；如圖（2），在BC上取點F，使AB=FB，AF=CF，設(shè)B=C= x ，則FAC=x，BFA=BAF=2x ，所以有x+x+x+2x=180º， x=36º ，2x=72º，3x=108º，B=C=36º ，BAC=108º ；3x2x2xxxGCBA圖（4）（2）當(dāng)在腰上取點時，也有兩種情況：x2x2xxxDCBA圖（3） 如圖（3），在AC上取點D，使BD

12、=AD=BC，設(shè)A=x，則ABD=x ，所以BDC=2x，C=2x，DBC=x，所以有x+2x+2x=180º，x=36º，2x=72º.所以A=36º，ABC=ACB=72º.如圖（4），在AC上取點G，使AG=BG，CG=CB，設(shè)A=x，則ABG=x，BGC=CBG=2x，所以，ABC=ACB=3x，所以x+3x+3x=180º，x=，3x=.所以A=，ABC=ACB=綜上所述，ABC各內(nèi)角度數(shù)分別為45º，45º，90º或36º，36º，108º或36º，72

13、º，72º或，CDEBA9.如圖，延長BD到點E，使DE=DB，連接AE. ADECDB，所以AE=BC，AED=90º，由ABC=120º，BDBC，所以ABD=30º，所以AB=2AE=2BC10.延長PC到點D，使CD=BP，連接AD. ABP+ACP=180º，ACP+ACD=180ºDPBCAABP=ACD.在ABP和ACD中：AB=AC ，ABP=ACD，BP=CDABPACD .AP=AD，BAP=CAD.BAP+PAC=60º，CAD+PAC=60º，即PAD=60ºPAD=60

14、ºPAD是等邊三角形AP=PD=PC+CDPAHDEFBCAP=PB+PC11.過點A作AHBC于H，連接PA、PB、PC.SABC=SPAB+SPBC+SPAC BC.AH=AB.PD+BC.PE+AC.PF又AB=BC=AC，AH=PD+PE+PFPD+PE+PF的值是等邊ABC的高，是不變的值。12.如圖，延長AE到點F，使EF=AB，連接DF.ADEFBC 證明ABDFED21EDCBA13.延長AB至點E，使BE=BD，連接DE，則BED=BDEABD=E+BDE，ABD=2EABC=2C，E=C在AED和ACD中：E=C，1=2，AD=AD ，AEDACDAC=AEAE=

15、AB+BE，AC=AB+BD即AB+BD=AC14.提示：證明BDEFEC15. (1)CFBD，CF=BD 成立。提示：證明ABDACF (2) 如右圖，過點A作AGAC交BC于點G，GABFEDCAGD+ACG=90º ，GAD+DAC=90ºCFBCACF+ACG=90º，AGD=ACF四邊形ADFE是正方形CAF+DAC=90º，AD=AFGAD=CAF在AGD和ACF中：AGD=ACF,GAD=CAF,AD=AFAGDACFAG=ACAGC=ACG=45º即BCA=45º當(dāng)BCA=45º時CFBC16. 過點A作A

16、QBC于點Q，F(xiàn)QNMPEDCBAAQB=90º，BAQ+ABQ=90ºCEABPCN+ABQ=90ºBAQ=PCNPNBC CNP=90ºAQB=CNPPCBA又AB=CPABQCPNBQ=PN同理可證：ACQBFM, CQ=FMPN+FM=BQ+CQ, 即PN+FM=BC17.作PMBC，PNAC，垂足分別為M、N四邊形PMCN是矩形 PNCMPBPCCMBMBCAC PN=ACAMNDECBAP=AC PNAP在直角PAN中，PAN30ºPCACPA75ºBCP90º75º15º18. 過點A作AN

17、BC于點N，過點E作EMBC于點MDME=AND= 90º，DAN+ADN=90ºDEADEDM+ADN=90ºEDM=DAN在EDM和DAN中：DME=AND ，EDM=DAN，DE=ADEDMDANDM=AN ，EM=DNAB=AC，BAC=90ºBN=ANBN=DMBN-MN=DM-MN,即BM=DNEM=BMNMCAEDBDBE=45º19.提示：過點A作AMBC于點M，過點E作ENBC，交BC的延長線于點N 證明AMDDNE，其余如上題。EBDCA20.在DA上截取DE=BD，連接BEBDA=60°，BDE是等邊三角形，BD

18、=BE，DBE=60°ABC為等邊三角形，ABC=60°，AB=BC，ABC=DBEABC-CBE=DBE-CBE，即ABE=CBDBD=BE，BC=AB，CBDABESASCD=AE，AD=AE+DE=CD+BD 21.提示：證明ACDBCE，然后證明AMCBNCMCA=NCB， MC=NCMCA+MCB=60º，NCB+MCB=60º，即MCN=60º，CNM為等邊三角形。22.提示：（1）如圖（1），在AB上截取AH=EC，證明AHEECF （2）如圖（2），延長BA到點H，使AH=EC，證明AHEECFHGECFDBA圖(2)HDCBAFEG圖(1)23.正確的有:DCE=BAC=60°，則DCBA，即CNBA.AC=BC,DC=EC，ACD=BCE=120°，則ACDBCE(SAS)，得AD=BE.ACDBCE，則ADC=BEC.故AOE=180°-(OAE+BEC)=180° -(OAE+ADC)=180° -DCE=120° .CD=CE，BEC=ADC(已證)，NCE=MCD=60° ，則NCEMCD(ASA)，CM=CN.過點CPAD，CQBEACDBCE(已