圓錐曲線中的三角形問(wèn)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題12 圓錐曲線中的三角形問(wèn)題一、題型選講題型一 、由面積求參數(shù)或點(diǎn)坐標(biāo)等問(wèn)題例1、（2020·浙江學(xué)軍中學(xué)高三3月月考）拋物線（）的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)F且與拋物線交于點(diǎn)M，N（點(diǎn)N在軸上方），點(diǎn)E為軸上F右側(cè)的一點(diǎn)，若，則（ ）A1B2C3D9例2、（2020·浙江高三）如圖，過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別作斜率為的直線交橢圓C上半部分于A，B兩點(diǎn)，記AOF1，BOF2的面積分別為S1，S2，若S1：S27：5，則橢圓C離心率為_例3、【2020年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在橢圓E上且在第

2、一象限內(nèi)，AF2F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點(diǎn)B（1）求的周長(zhǎng)；（2）在x軸上任取一點(diǎn)P，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，求的最小值；（3）設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記與的面積分別為S1，S2，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)題型二、與面積有關(guān)的最值問(wèn)題例4、（2020·浙江溫州中學(xué)高三3月月考）過(guò)點(diǎn)斜率為正的直線交橢圓于，兩點(diǎn).，是橢圓上相異的兩點(diǎn)，滿足，分別平分，.則外接圓半徑的最小值為（ ）ABCD例5、【2020年新高考全國(guó)卷】已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為 ，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求AMN的面積的最大值.例6、【2019年高考全國(guó)

3、卷理數(shù)】已知點(diǎn)A(2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PEx軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.例7、（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）已知，是橢圓的左右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)時(shí)周長(zhǎng)為8.（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若，是否存在定圓，使得動(dòng)直線與之相切，若存在寫出圓的方程，并求出的面積的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例8、（2020屆浙江省十校聯(lián)盟高三下

4、學(xué)期開學(xué)）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，若是拋物線上一點(diǎn)，且.（1）證明：直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)；（2）求面積的最小值及此時(shí)直線的方程.二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2020屆浙江省杭州市高三3月模擬）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是C上一點(diǎn)，且滿足的面積為則的取值范圍是_.2、【2018年高考全國(guó)I理數(shù)】已知雙曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，若為直角三角形，則AB3CD43、（2020屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知拋物線：和直線：，是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，是拋物線上異于，的任一點(diǎn)，拋物線在處的切線與，分

5、別交于，則外接圓面積的最小值為_.4、（2020屆浙江省嘉興市5月模擬）設(shè)點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓：的切線，分別交拋物線于點(diǎn)當(dāng)時(shí)，求面積的最小值5、（2020屆浙江省紹興市4月模擬）如圖，已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為線段中點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，為切線上的點(diǎn)，且軸，求面積的最小值.6、（2020屆浙江省臺(tái)州市溫嶺中學(xué)3月模擬）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為.若點(diǎn)為拋物線上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線交軸于點(diǎn)，證明：.，是拋物線上兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn) (不與軸平行)，且.過(guò)軸上一點(diǎn)作

6、直線軸，且被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值，求面積的最大值.一、題型選講題型一 、由面積求參數(shù)或點(diǎn)坐標(biāo)等問(wèn)題例1、（2020·浙江學(xué)軍中學(xué)高三3月月考）拋物線（）的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)F且與拋物線交于點(diǎn)M，N（點(diǎn)N在軸上方），點(diǎn)E為軸上F右側(cè)的一點(diǎn)，若，則（ ）A1B2C3D9【答案】C【解析】設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為T，直線l與準(zhǔn)線交于R，則，過(guò)M，N分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如圖，由拋物線定義知，因?yàn)椋?，即，解得，同理，即，解得，又，所以，過(guò)M作的垂線，垂足為G，則，所以，解得，故.故選：C.例2、（2020·浙江高三）如圖，過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別作斜率為的

7、直線交橢圓C上半部分于A，B兩點(diǎn)，記AOF1，BOF2的面積分別為S1，S2，若S1：S27：5，則橢圓C離心率為_【答案】【解析】作點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B1，可得S，則有，所以將直線AB1方程，代入橢圓方程后，整理可得：（b2+8a2）y24b2cy+8b40，由韋達(dá)定理解得，三式聯(lián)立，可解得離心率故答案為：例3、【2020年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點(diǎn)B（1）求的周長(zhǎng)；（2）在x軸上任取一點(diǎn)P，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，求的最小值；（3）設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記與

8、的面積分別為S1，S2，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)【解析】（1）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，則.所以的周長(zhǎng)為.（2）橢圓的右準(zhǔn)線為.設(shè)，則， 在時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.（3）因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且在第一象限內(nèi)，則.所以直線 設(shè)，因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線距離等于點(diǎn)到直線距離的3倍. 由此得，則或.由得，此方程無(wú)解；由得，所以或.代入直線，對(duì)應(yīng)分別得或.因此點(diǎn)的坐標(biāo)為或.題型二、與面積有關(guān)的最值問(wèn)題例4、（2020·浙江溫州中學(xué)高三3月月考）過(guò)點(diǎn)斜率為正的直線交橢圓于，兩點(diǎn).，是橢圓上相異的兩點(diǎn)，滿足，分別平分，.則外接圓半徑的最小值為（ ）ABCD【答案】D【解析】如圖，先固

9、定直線AB，設(shè)，則，其中為定值，故點(diǎn)P，C，D在一個(gè)阿波羅尼斯圓上，且外接圓就是這個(gè)阿波羅尼斯圓，設(shè)其半徑為r，阿波羅尼斯圓會(huì)把點(diǎn)A，B其一包含進(jìn)去，這取決于BP與AP誰(shuí)更大，不妨先考慮的阿波羅尼斯圓的情況，BA的延長(zhǎng)線與圓交于點(diǎn)Q，PQ即為該圓的直徑，如圖：接下來(lái)尋求半徑的表達(dá)式，由，解得，同理，當(dāng)時(shí)有，綜上，；當(dāng)直線AB無(wú)斜率時(shí)，與橢圓交點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則；當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，即，與橢圓方程聯(lián)立可得，設(shè)，則由根與系數(shù)的關(guān)系有，注意到與異號(hào)，故，設(shè)，則，當(dāng)，即，此時(shí)，故，又，綜上外接圓半徑的最小值為.故選：D例5、【2020年新高考全國(guó)卷】已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A

10、為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為 ，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求AMN的面積的最大值.【解析】(1)由題意可知直線AM的方程為：，即.當(dāng)y=0時(shí)，解得，所以a=4，橢圓過(guò)點(diǎn)M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為：，如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N，此時(shí)AMN的面積取得最大值.聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得：，化簡(jiǎn)可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線方程：，直線AM方程為：，點(diǎn)N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：，由兩點(diǎn)之間距離公

11、式可得.所以AMN的面積的最大值：.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題例6、【2019年高考全國(guó)卷理數(shù)】已知點(diǎn)A(2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PEx軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.【答案】（1）見解

12、析；（2）（i）見解析；（ii）.【解析】（1）由題設(shè)得，化簡(jiǎn)得，所以C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)（2）（i）設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為由得記，則于是直線的斜率為，方程為由得設(shè)，則和是方程的解，故，由此得從而直線的斜率為所以，即是直角三角形（ii）由（i）得，所以PQG的面積設(shè)t=k+，則由k>0得t2，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)因?yàn)樵?，+）單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=2，即k=1時(shí)，S取得最大值，最大值為因此，PQG面積的最大值為例7、（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）已知，是橢圓的左右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)時(shí)周長(zhǎng)為8.（）求

13、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若，是否存在定圓，使得動(dòng)直線與之相切，若存在寫出圓的方程，并求出的面積的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（）；（），.【解析】（）由題意可得，故，又有，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（）法1：設(shè)，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，兩式相加得，法2：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)符合例8、（2020屆浙江省十校聯(lián)盟高三下學(xué)期開學(xué)）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，若是拋物線上一點(diǎn)，且.（1）證明：直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)；（2）求面積的最小值及此時(shí)直線的方程.【答案】（1）詳見解析；（2）面積最小值為16，此時(shí)直線方程為.【解析】（1）由題意得拋物線的焦點(diǎn)，

14、準(zhǔn)線方程為，設(shè)，直線：，則，聯(lián)立和，可得，顯然，可得，因?yàn)椋?，故直線：，由，得.，所以的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即，所以直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn).（2）所以，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，直線的方程為：，時(shí)，直線的方程為：.另解：.二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2020屆浙江省杭州市高三3月模擬）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是C上一點(diǎn)，且滿足的面積為則的取值范圍是_.【答案】【解析】依題意，所以，則，而，所以.由于，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：，所以，所以，解得.故答案為：2、【2018年高考全國(guó)I理數(shù)】已知雙曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，若為直角三角形，則AB3CD4【答案】B

15、【解析】由題可知雙曲線的漸近線的斜率為，且右焦點(diǎn)為，從而可得，所以直線的傾斜角為或，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，設(shè)其傾斜角為，可以得出直線的方程為，分別與兩條漸近線和聯(lián)立，求得，所以，故選B3、（2020屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知拋物線：和直線：，是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，是拋物線上異于，的任一點(diǎn)，拋物線在處的切線與，分別交于，則外接圓面積的最小值為_.【答案】【解析】設(shè)三個(gè)切點(diǎn)分別為，若在點(diǎn)處的切線斜率存在，設(shè)方程為與聯(lián)立，得，即，所以切線方程為 若在點(diǎn)的切線斜率不存在，則，切線方程為滿足方程，同理切線的方程分別為，聯(lián)立方程，解得，即同理，設(shè)外接圓半徑為，時(shí)取等號(hào)

16、，點(diǎn)在直線，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)外接圓面積最小為.故答案為:.4、（2020屆浙江省嘉興市5月模擬）設(shè)點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓：的切線，分別交拋物線于點(diǎn)當(dāng)時(shí)，求面積的最小值【答案】（1）（2）最小值【解析】（1）當(dāng)時(shí)，所以，故所求拋物線方程為.（2）點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線為，則，得，是方程（*）式的兩個(gè)根，所以，設(shè)，因直線，與拋物線交于點(diǎn)A，則得，所以，即，同理，設(shè)直線，則，又，所以令，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.5、（2020屆浙江省紹興市4月模擬）如圖，已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為線段中點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)

17、的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，為切線上的點(diǎn)，且軸，求面積的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的方程為：；（2）設(shè)直線的方程為：，設(shè)，聯(lián)立方程，消去得：，設(shè)直線方程為：，聯(lián)立方程，消去得：，由相切得：，又，直線的方程為：，由，得，將代入直線方程，解得，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，所以面積的最小值為.6、（2020屆浙江省臺(tái)州市溫嶺中學(xué)3月模擬）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為.若點(diǎn)為拋物線上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線交軸于點(diǎn)，證明：.，是拋物線上兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn) (不與軸平行)，且.過(guò)軸上一點(diǎn)作直線軸，且被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值，求面積的最大值.【答案】證明見解析； .【解析】由拋物線的方程可得，準(zhǔn)線方程：，設(shè)，由拋物線的方程可得，所以在處的切線的斜率為：，