函數(shù)總結大全 (2)

1、濟寧市教師研修資料分享一次函數(shù)一、定義與定義式： 自變量x和因變量y有如下關系： y=kx+b 則此時稱y是x的一次函數(shù)。 特別地，當b=0時，y是x的正比例函數(shù)。 即：y=kx （k為常數(shù)，k0）二、一次函數(shù)的性質(zhì)： 1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k 即：y=kx+b （k為任意不為零的實數(shù) b取任何實數(shù)） 2.當x=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)： 1作法與圖形：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點；（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點） 2性質(zhì)：（1）

2、在一次函數(shù)上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。（2）一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像總是過原點。 3k，b與函數(shù)圖像所在象限： 當k0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大； 當k0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。 當b0時，直線必通過一、二象限； 當b=0時，直線通過原點 當b0時，直線必通過三、四象限。 特別地，當b=O時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。 這時，當k0時，直線只通過一、三象限；當k0時，直線只通過二、四象限。四、確定一次函數(shù)的表達式： 已知點A（x1，y1）；B（x

3、2，y2），請確定過點A、B的一次函數(shù)的表達式。 （1）設一次函數(shù)的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。 （2）因為在一次函數(shù)上的任意一點P（x，y），都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b 和 y2=kx2+b （3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函數(shù)的表達式。五、一次函數(shù)在生活中的應用： 1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。 2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設水池中原有水量S。g=S-ft。六、常用公式：（不全，希望有人補充） 1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2) 2.求與x軸

4、平行線段的中點：|x1-x2|/2 3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2 4.求任意線段的長：(x1-x2)2+(y1-y2)2 （注：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和） 二次函數(shù)I.定義與定義表達式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.）則稱y為x的二次函數(shù)。二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。II.二次函數(shù)的三種表達式一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)

5、，a0）頂點式：y=a(x-h)2+k 拋物線的頂點P（h，k）交點式：y=a(x-x)(x-x ) 僅限于與x軸有交點A（x ，0）和 B（x，0）的拋物線注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a x,x=(-b±b2-4ac)/2aIII.二次函數(shù)的圖像在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。IV.拋物線的性質(zhì)1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）2.拋物線有一個頂點P，坐標為P

6、( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )當-b/2a=0時，P在y軸上；當= b2-4ac=0時，P在x軸上。3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當a0時，拋物線向上開口；當a0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時（即ab0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab0），對稱軸在y軸右。5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于（0，c）6.拋物線與x軸交點個數(shù)= b2-4ac0時，拋物線與x軸有2個交點。= b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。 = b2-4ac0時，拋物線與x軸沒有

7、交點。X的取值是虛數(shù)（x= -b±b24ac 的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a）V.二次函數(shù)與一元二次方程特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax2+bx+c，當y=0時，二次函數(shù)為關于x的一元二次方程（以下稱方程），即ax2+bx+c=0此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。 1二次函數(shù)y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2 +k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表： 解析式頂點坐標對 稱 軸y=ax2(0，0)x=0y=a(x-h)2(h，0)x=hy=a(

8、x-h)2+k(h，k)x=hy=ax2+bx+c(-b/2a，4ac-b2/4a)x=-b/2a 當h>0時，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動h個單位得到， 當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到 當h>0,k>0時，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2 +k的圖象； 當h>0,k<0時，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象； 當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)

9、=a(x-h)2+k的圖象； 當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象； 因此，研究拋物線 y=ax2+bx+c(a0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了這給畫圖象提供了方便 2拋物線y=ax2+bx+c(a0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，4ac-b2/4a) 3拋物線y=ax2+bx+c(a0)，若a>0，當x -b/2a時，y隨x的增大而減小

10、；當x -b/2a時，y隨x的增大而增大若a<0，當x -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x -b/2a時，y隨x的增大而減小 4拋物線y=ax2+bx+c的圖象與坐標軸的交點： (1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)； (2)當=b2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根這兩點間的距離AB=|x-x| 當=0圖象與x軸只有一個交點； 當<0圖象與x軸沒有交點當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時

11、，都有y<0 5拋物線y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a 頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值 6用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 (1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：y=ax2+bx+c(a0) (2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)2+k(a0) (3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x)(x-x)(a0) 7二次函數(shù)知識很容易

12、與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn)反比例函數(shù)形如 ykx(k為常數(shù)且k0) 的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x),圖像關于原點對稱。另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為k。如圖，上面給出了k分別為正和負（2和-2）時的函數(shù)圖像。當K0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過一，三象限，是減函數(shù)當K0時，反比例函數(shù)

13、圖像經(jīng)過二，四象限，是增函數(shù)反比例函數(shù)圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。 知識點：1.過反比例函數(shù)圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為| k |。2.對于雙曲線ykx ，若在分母上加減任意一個實數(shù) (即 yk（x±m）m為常數(shù))，就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。（加一個數(shù)時向左平移，減一個數(shù)時向右平移）對數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)的一般形式為 ，它實際上就是指數(shù)函數(shù) 的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為

14、它們互為反函數(shù)。（1）對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。（2）對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。（3）函數(shù)總是通過（1，0）這點。（4）a大于1時，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸；a小于1大于0時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。（5）顯然對數(shù)函數(shù)無界。指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的一般形式為 ，從上面我們對于冪函數(shù)的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數(shù)集合為定義域，則只有使得 如圖所示為a的不同大小影響函數(shù)圖形的情況。可以看到：（1） 指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合，這里的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。（2） 指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合

15、。（3） 函數(shù)圖形都是下凹的。（4） a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。（5） 可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中（當然不能等于0），函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。（6） 函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。（7） 函數(shù)總是通過（0，1）這點。（8） 顯然指數(shù)函數(shù)無界。 奇偶性注圖：（1）為奇函數(shù)（2）為偶函數(shù)1定義 一般地，對于函數(shù)f(x) （1）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-

16、x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。 （2）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。 （3）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立，那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱為既奇又偶函數(shù)。 （4）如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。 說明：奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對整個定義域而言 奇、偶函數(shù)的定義域一定關于原點對稱，如果一個函數(shù)的定義域不關于原點對稱，則這個函數(shù)一定不是奇（

17、或偶）函數(shù)。 （分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關于原點對稱，然后再嚴格按照奇、偶性的定義經(jīng)過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論） 判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義2奇偶函數(shù)圖像的特征： 定理 奇函數(shù)的圖像關于原點成中心對稱圖表，偶函數(shù)的圖象關于y軸或軸對稱圖形。 f(x)為奇函數(shù)f(x)的圖像關于原點對稱 點（x,y）（-x,-y） 奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增。 偶函數(shù) 在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上單調(diào)遞減。 3. 奇偶函數(shù)運算(1) . 兩個偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).(2) . 兩個奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù).(3) .

18、 一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù).(4) . 兩個偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).(5) . 兩個奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).(6) . 一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).定義域（高中函數(shù)定義）設A,B是兩個非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f:A-B為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x),x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域； 值域名稱定義函數(shù)中，應變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的值域函數(shù)的值域,在數(shù)學中是函數(shù)在定義域中應變量所有值的集合 常用的求值域的方法（1）化歸法；（2）圖象法（數(shù)形結合）， （3）函數(shù)單調(diào)