第二章極限與連續(xù)

1、第二章極限與連續(xù)極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)中包含導(dǎo)數(shù)，積分等概念都是用極限描述的。本章包含數(shù)列的極限、級數(shù)、函數(shù)的極限，函數(shù)的連續(xù)性的概念、無窮小量與無窮大量的概念。本章約占考試內(nèi)容10%。2.1數(shù)列及其極限一、數(shù)列的概念定義2.1一列有順序的數(shù)a1,a2,an,叫數(shù)列。其中an叫第n項，也叫通項。數(shù)列可以簡單記作an，即an=a1,a2,an,【例1】數(shù)列1,2,3,n,的通項an=n。答疑編號10020101：針對該題提問記作1,2,3,n,=n。【例2】數(shù)列1, , ,的通項an=。答疑編號10020102：針對該題提問記作1, , , =?！纠?】數(shù)列, ,的通項an=。答疑編

2、號10020103：針對該題提問記作, ,=?！纠?】數(shù)列1,-1,1,-1,（-1）n+1,的通項an=（-1）n+1。答疑編號10020104：針對該題提問記作1,-1,1,-1,（-1）n+1,=（-1）n+1。二、數(shù)列的極限定義2.2如果當(dāng)n無限增大時（記作n），數(shù)列an= a1,a2,an,的通項an與一個常數(shù)a無限接近，就說數(shù)列an的極限是a，記作這時，也說數(shù)列an是收斂的且收斂于常數(shù)a。否則，就說數(shù)列an是發(fā)散的。【例5】討論數(shù)列=1, , ,的斂散性。答疑編號10020105：針對該題提問解：因為通項an=所以所以數(shù)列收斂且收斂于0?！纠?】討論數(shù)列的斂散性。答疑編號10020

3、106：針對該題提問解：因為通項an=（）n通過下表可以看出當(dāng)n時，an=（）n與數(shù)0無限接近。所以有所以數(shù)列（）n收斂且收斂于0。一般地，若a0，則a0；若an0，則an0；若a0則an0。四、數(shù)列極限的運算法則及存在準(zhǔn)則為了使我們能夠從已知的簡單數(shù)列的極限推求出更多、更復(fù)雜數(shù)列的極限，下述的極限四則運算法則是必須掌握的。（不證）定理2.1若,則（1）；（2）；（3）（此時b0）。此定理說明，由數(shù)列an，bn的收斂就可推知更多數(shù)列收斂，且可以求出相應(yīng)的極限值。推論1推論2若則有有了極限的四則運算法則及其推論，再由我們前面已經(jīng)知道的結(jié)果：（|a|1）就可求出更多、更復(fù)雜數(shù)列的極限。【例9】求下

4、列數(shù)列的極限：（1）答疑編號10020109：針對該題提問（2）答疑編號10020110：針對該題提問（3）答疑編號10020111：針對該題提問（4）答疑編號10020112：針對該題提問（5）答疑編號10020113：針對該題提問（6）答疑編號10020114：針對該題提問（7），其中a0，b00，kl，l，k為正整數(shù)。答疑編號10020115：針對該題提問解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）當(dāng)k=l時， 當(dāng)k3n且1+2n+3n3n+3n+3n=33n，即，且，故由定理2.2知定理2.3單調(diào)有界數(shù)列必有極限。下面從數(shù)列的幾何意義來看本定理的正確性。若數(shù)列an單調(diào)增加且有界，即a

5、1a2a3an，且a1anM那么，數(shù)列an在數(shù)軸上表示的是一串不斷向右排列的點，且不能超過數(shù)M，這樣，它的項必會無限趨近于某常數(shù)a，這個數(shù)a就是它的極限，如圖2.1所示。從圖2.1上還可看出，對于單調(diào)增加而有界的數(shù)列，其極限值a必是它的一個上界，類似地，可看出單調(diào)減少而有界的數(shù)列也有極限，且其極限值a必是數(shù)列的一個下界?！纠?1】設(shè)，說明數(shù)列an收斂。答疑編號10020117：針對該題提問解：從下表可以看出當(dāng)n時，an是單調(diào)增加的，且an3即an有界，所以存在可以證明其中e是無理數(shù)，e2.71828【例12】求下列極限（1）答疑編號10020118：針對該題提問解：由性質(zhì)amn=（an）m得（

6、2）答疑編號10020119：針對該題提問解：（3）答疑編號10020120：針對該題提問（4）答疑編號10020121：針對該題提問解：令m=-n得（5）答疑編號10020122：針對該題提問2.2數(shù)項級數(shù)一、數(shù)項級數(shù)的概念1.數(shù)項級數(shù)的定義定義2.3設(shè)an=a1,a2,a3,an,是數(shù)列，則它們的和a1+a2+a3+an+，叫數(shù)項級數(shù)。簡稱級數(shù)，記作：其中an仍是通項。符號Sn=a1+a2+a3+an+叫級數(shù)的前n項和。注意級數(shù)是無限多項的和，而前n項和Sn只是有限項的和。定義2.4若（常數(shù)），就說這個極限值S是級數(shù)的和，記作并且說級數(shù)收斂否則就說級數(shù)發(fā)散。【例1】試判定級數(shù)的斂散性答疑編

7、號10020201：針對該題提問解：S1=1,S2=1+（-1）=0,S3=1+（-1）+1=1,S4=1+（-1）+1+（-1）=0,由上述知該級數(shù)的前n項和數(shù)列Sn=S1,S2,S3,Sn,的項為：1,0,1,0, ,這個數(shù)列的極限是不存在的，因為它不趨近于任何一個定值，總是在0和1上來回跳動，即不存在，所以級數(shù)發(fā)散?！纠?】判定級數(shù)的斂散性，其中r是實數(shù)。答疑編號10020202：針對該題提問解：此級數(shù)稱為等比級數(shù)（也稱幾何級數(shù)），由于它的項是等比數(shù)列。當(dāng)r1時，。當(dāng)|r|1時，所以當(dāng)時|r|1，由級數(shù)收斂的定義知，當(dāng)|r|1時，級數(shù)收斂，其和為，即有（|r|1時，所以當(dāng)|r|1時，由級

8、數(shù)收斂的定義知此時級數(shù)發(fā)散。當(dāng)r=1時，級數(shù)為1+1+1+1+，此時的前n項和Sn=n，顯然，所以此時級數(shù)發(fā)散。當(dāng)r=-1時，級數(shù)為1+（-1）+1+（-1）+（-1）n-1+，與【例1】相同，故知它是發(fā)散的。綜上所述，等比級數(shù)的斂散性如下：當(dāng)時|r|1，級數(shù)收斂；當(dāng)|r|1時，發(fā)散。即公式【例3】判定級數(shù)的斂散性。答疑編號10020203：針對該題提問解：由于此級數(shù)的前n項和所以，故該級數(shù)收斂，且=1?！纠?】判定級數(shù)的斂散性。答疑編號10020204：針對該題提問解：由于此級數(shù)的前n項和Sn=a1+a2+a3+an由函數(shù)y=ln（x+1）的圖像知極限，所以極限不存在，故級數(shù)發(fā)散。由上面例題

9、的解法可知，按照級數(shù)收斂的定義來判斷一個級數(shù)的斂散性的關(guān)鍵是求出該級數(shù)的前n項和的表達(dá)式，也即是n項求和問題，這一般來講是較困難的事，有時需要特殊的技巧，例3的解法就用到了“折項相消”的技巧，為了能和求極限時所做的那樣，利用已知的簡單級數(shù)的斂散性，去判斷更多、更復(fù)雜的斂散性，我們需要研究與級數(shù)斂散性有關(guān)的基本性質(zhì)。二、級數(shù)的基本性質(zhì)和級數(shù)收斂的必要條件定理2.4 設(shè)c為非零常數(shù)，則級數(shù)與同時收斂或同時發(fā)散，且在收斂時有=c證明設(shè)的前n項和為Sn，的前n項和為n，則n=cu1+cu2+cun=c（u1+u2+un）=csn由數(shù)列極限的性質(zhì)知，若存在，則存在；若不存在，則不存在，所以，級數(shù)與同時收

10、斂或同時發(fā)散。若收斂，設(shè)=，則【例5】判定級數(shù)（a0）的斂散性。答疑編號10020205：針對該題提問解：由定理2.4知與有相同斂散性。又由例2知的斂散性：公式定理2.5去掉級數(shù)的前面有限項的值，不會改變級數(shù)的斂散性。證明設(shè)去掉級數(shù)的前k項的值得到級數(shù)Snuk+1+uk+2+un+ =（u1+u2+uk+uk+1+un+）-（u1+ u2+ uk）其中u1+u2+uk是有限項之和為常數(shù)若收斂則uk+1+uk+2+un+=s-（u1+uk）仍收斂。若不存在，發(fā)散則uk+1+uk+2+un+也不存在，發(fā)散。定理2.6若級數(shù)與都收斂，則級數(shù)收斂，且證明設(shè)級數(shù)的前n項和為sn，級數(shù)的前n項和為n，級數(shù)

11、的前n項和為Tn，則所以有，故級數(shù)收斂，且推論若級數(shù)收斂，但級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散。證：用反證法，設(shè)收斂。收斂也收斂，與已知條件收斂矛盾，所以發(fā)散。【例6】判定級數(shù)的斂散性，若收斂求此級數(shù)的和。答疑編號10020206：針對該題提問解：由公式|r|1時得（1）收斂 收斂且【例7】討論的斂散性答疑編號10020207：針對該題提問解：是公比r=1的等比級數(shù)發(fā)散發(fā)散。定理2.7（級數(shù)收斂的必要條件）若級數(shù)收斂，則證明設(shè)的前n項和為Sn，且，則。注意到，故有本定理說明若則級數(shù)發(fā)散【例8】試判定級數(shù)的斂散性。答疑編號10020208：針對該題提問解：由于，所以，級數(shù)收斂的必要條件不滿足，該級數(shù)發(fā)散。注意

12、只是級數(shù)收斂的必要條件，不是充分條件。三、正項級數(shù)的斂散性判別若數(shù)項級數(shù)中的每一項都是非負(fù)的，即un0（n=1,2,），則稱該級數(shù)是正項級數(shù)。對于正項級數(shù)，它的部分和Sn具有如下特征S1S2Sn-1Sn即數(shù)列sn=S1,S2,S3,Sn,是單調(diào)增加的，這個特性使得正項級數(shù)的斂散性的判定比一般的級數(shù)較為容易，這是因為：由于此時sn是單調(diào)增加的，只要再知道sn有上界，即存在常數(shù)M，使得sn1，所以收斂（2）答疑編號10020210：針對該題提問解：=是p級數(shù)。p=1，p級數(shù)收斂（3）答疑編號10020211：針對該題提問解：=是p級數(shù)因為p=1發(fā)散。（4）答疑編號10020212：針對該題提問解：

13、是p=1的p級數(shù)因為p=1，所以發(fā)散?！纠?0】用比較判別法判別下列正項級數(shù)的斂散性（1）答疑編號10020213：針對該題提問解：因為是p=2的p級數(shù)收斂所以也收斂。（2）答疑編號10020214：針對該題提問解：因為是p=1的p級數(shù)發(fā)散所以也發(fā)散由比較法知發(fā)散。（3）答疑編號10020215：針對該題提問解：n!=1,2,3,n2222=2n因為是公比r1的p級數(shù)收斂在中，un=n，n時，un=n不與0無限接近，發(fā)散。發(fā)散（2）答疑編號10020217：針對該題提問解：是公比r=1，則有：（1） （2）二、自變量x趨于有限值x0時函數(shù)f（x）的極限。定義2.8 設(shè)函數(shù)f（x）在x0的某去心

14、領(lǐng)域內(nèi)有定義，A是一個常數(shù)，若當(dāng)x無限趨近于x0時，f（x）無限趨近于A，則稱A是f（x）當(dāng)時的極限，記為：或 例4：用觀察的方法求下列極限：（1）答疑編號10020312：針對該題提問解：當(dāng)時，可以看出（x+3）與數(shù)5無限接近，所以有（2）答疑編號10020313：針對該題提問解：時，可以看出與數(shù)2無限接近，所以有（3）答疑編號10020314：針對該題提問解：時，可以看出2x與20=1無限接近，所以有（4）答疑編號10020315：針對該題提問解：時，可以看出sinx與數(shù)無限接近，所以有對于極限=A的以下幾點需要特別注意：（1） 表示x無限趨近于x0,但不達(dá)到x0,所以，極限的存在與否，值

15、為多少都與f（x）在x0處有無定義以及有定義時的函數(shù)值f（x0）無關(guān)。（2） 的方式是任意的。例5：設(shè) 答疑編號10020316：針對該題提問解：由于極限中x趨于1但不等于1，所以中的函數(shù)表達(dá)式f（x）應(yīng)取x1時的表達(dá)式，故有由上述過程可知，求時與f（1）的值無關(guān)。如果在考慮函數(shù)f（x）的變化趨勢時，只對當(dāng)自變量x從x0的某一側(cè)趨向x0時函數(shù)f（x）的變化趨勢感興趣，對自變量x在x0的另一側(cè)的情況不感興趣，或在另一側(cè)函數(shù)f（x）根本沒有定義，這時就需引進(jìn)單側(cè)極限的定義。定義2.9 設(shè)函數(shù)f（x）在x0的右側(cè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，A是一個常數(shù)，若當(dāng)x從大于x0的方向無限趨近于x0時，f（x）無限趨近于A

16、，則稱A是f（x）在x0處的右極限，記為或 或f（x0+0）=A類似地可定義f（x）在x0處的左極限，記為或 或f（x0-0）函數(shù)f（x）的左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。例6：求答疑編號10020317：針對該題提問解：由函數(shù)的圖像知，此時左極限無意義。由函數(shù)f（x）在x0處的左、右極限的定義以及函數(shù)f（x）在x0處極限的定義容易知道它們有以下關(guān)系：定理2.10 =A（或）的充分必要條件是（或）用該定理可以方便地對分段函數(shù)求極限或判斷極限不存在。例7：設(shè)試判斷極限是否存在。答疑編號10020318：針對該題提問解：由于該函數(shù)在點x=/2的左、右側(cè)的表達(dá)式不同，所以求極限可分左、右極限來求。由定

17、理2.10 知例8：設(shè)試判斷極限是否存在。答疑編號10020319：針對該題提問解：與上題同理，分左右極限來考查。由定理2.10知不存在。四、函數(shù)極限的運算法則及存在準(zhǔn)則與數(shù)列極限的運算法則及存在準(zhǔn)則類似，函數(shù)的極限也有相應(yīng)的四則運算法則和判斷極限存在的準(zhǔn)則，下面只敘述這些運算法則和準(zhǔn)則，對于其正確性的理解不作解釋，可以對照數(shù)列極限相應(yīng)的法則和性質(zhì)來加以理解。定理2.11 若, ，則（1）；（2）；（3）（此時B0）。當(dāng)B=0且A0時，推論1若，則推論2若，k是任意正整數(shù)，則當(dāng)， 時也有與定理2.11和推論類似的結(jié)論成立。有了定理2.11，由已知的幾個簡單的極限：， 等就可計算出更多函數(shù)的極限

18、。例9：求下列函數(shù)的極限（1）； 答疑編號10020320：針對該題提問（2）；答疑編號10020321：針對該題提問（3）； 答疑編號10020322：針對該題提問（4）；答疑編號10020323：針對該題提問（5）；答疑編號10020324：針對該題提問（6）；答疑編號10020325：針對該題提問（7）；答疑編號10020326：針對該題提問 （8），其中a0,b00，nm，m，n為正整數(shù)。答疑編號10020327：針對該題提問解（1） （2） 注意一般地，設(shè)有多項式，則有即又設(shè)有理分式函數(shù) ，其中P（x）和Q（x）都是多項式，且Q（x0）0，則有即多項式和有理分式統(tǒng)稱為有理函數(shù)，由上述

19、可知，對有理函數(shù)f（x），有。（3）注意在此題中若如下用極限運算法則是錯誤的，因為分母的極限為零，不能用極限商的運算法則。（4） （5）答疑編號10020401：針對該題提問注意在此題中若如下用極限運算法則是錯誤的，因為上式右端的二項極限均不存在，不能用運算法則。（6）答疑編號10020402：針對該題提問（7）答疑編號10020403：針對該題提問（8）答疑編號10020404：針對該題提問 當(dāng)m=n時，當(dāng)nm時，由本例9中的（8）可以得到下面公式與數(shù)列的極限存在準(zhǔn)則相類似，也有相應(yīng)的函數(shù)極限存在的準(zhǔn)則。定理2.12（夾逼定理）若函數(shù)f（x），g（x），h（x）在x0的某去心的領(lǐng)域的內(nèi)滿足不

20、等式g（x）f（x） h（x），且，則極限存在，且。當(dāng)， 時，也有類似的結(jié)論成立。五、兩個重要極限重要極限一：在中學(xué)數(shù)學(xué)中，曾證明有下面不等式因為由夾逼定理得公式 利用這個重要極限，可以計算一些相關(guān)函數(shù)的極限例10求下列函數(shù)的極限：（1）答疑編號10020405：針對該題提問（2）答疑編號10020406：針對該題提問（3）答疑編號10020407：針對該題提問解：（1） （2）令u=ax （3）1-cos2A=2sin2A 由本例可得下面推廣公式例11，求下列極限（1）答疑編號10020408：針對該題提問（2）答疑編號10020409：針對該題提問解（1）（2）重要極限二 在數(shù)列的極限中，

21、已知，這個結(jié)果可以推廣為（不證）公式例12求下列極限。（1）答疑編號10020410：針對該題提問（2）答疑編號10020411：針對該題提問注：解中利用恒等變形amn=（an）m , am+n=aman解：（1）（2）令 由本例（2）可得下面推廣公式例如根據(jù)上面的公式可直接得下面結(jié)果例13求下列極限（1）答疑編號10020412：針對該題提問 （2）答疑編號10020413：針對該題提問解：（1）令 得（2）由本例可得下面推廣公式：例如根據(jù)上面公式可直接得下面結(jié)果：例14求下列極限（1）答疑編號10020414：針對該題提問 （2）答疑編號10020415：針對該題提問（3）答疑編號1002

22、0416：針對該題提問 （4）答疑編號10020417：針對該題提問解：（1） （2） （3）令 （4）注意：應(yīng)與重要極限加以區(qū)別。2.4 無窮小量與無窮大量一、無窮小量的概念定義2.10若，則稱函數(shù)f（x）當(dāng)時是無窮小量，簡稱為無窮小。類似地，若，則稱函數(shù)f（x）當(dāng)時是無窮小量，若，則稱數(shù)列，當(dāng)時是無窮小量。還可類似地定義當(dāng)時的無窮小量。例1判斷下列變量在指定的過程中是否為無窮小量：（1）； 答疑編號10020418：針對該題提問 （2）；答疑編號10020419：針對該題提問（3）； 答疑編號10020420：針對該題提問 （4）答疑編號10020421：針對該題提問（5）； 答疑編號10

23、020422：針對該題提問 （6）；答疑編號10020423：針對該題提問（7）答疑編號10020424：針對該題提問解（1）因為，所以當(dāng)時，是無窮小量。（2）因為 ，所以當(dāng)時，不是無窮小量。（3）因為，所以當(dāng)時，x2是無窮小量。（4）因為，所以當(dāng)時， 是無窮小量。（5）因為，所以當(dāng)時，是無窮小量。（6）因為，所以當(dāng)時，不是無窮小量。（7）因為，所以當(dāng) 時，0是無窮小量。從無窮小量的定義和上述例題可知在理解無窮小時應(yīng)注意三點：第一，要注意自變量的變化過程，例如當(dāng)是無窮小量，而當(dāng)時則不是無窮小量；第二，要注意所考慮函數(shù)（數(shù)列）的極限值是零，例如10-100當(dāng)時極限不是零，故10-100不是無窮小

24、量，盡管它是很小很小的數(shù)；第三，0是唯一可以作為無窮小量的一個常數(shù)。根據(jù)極限的性質(zhì)和運算法則，可以推出下列有關(guān)無窮小量的性質(zhì)。二、無窮小量的性質(zhì)定理2.13有限多個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量例如，當(dāng)時，sinx，x，ln（1+x）都是無窮小量，故sinx+x+ln（1+x）也是無窮小量定理2.14有限多個無窮小量的積也是無窮小量例如，當(dāng)時，x2sinx是無窮小量定理2.15常數(shù)與無窮小量的積是無窮小量例如，當(dāng)時，2sinx是無窮小量定理2.16有界變量與無窮小量的積是無窮小量例如時，x是無窮小量，有界， 時，是無窮小， 。定理2.17 的充分必要條件是：其中即（x）是當(dāng)時的無窮小量證明:必要

25、性已知，由極限加法運算法則知 ，記（x）=f（x）-A，故（x）是時的無窮小量，從而充分性已知，且，即故有當(dāng)，時也有類似的結(jié)論。由此可知，研究任何變量的極限問題也轉(zhuǎn)化為研究無窮小量問題。三、無窮小量的比較現(xiàn)在來討論無窮小量的商。當(dāng)時，sinx，x，x2都是無窮小量，但是，它們經(jīng)過商后，情況就不一樣了。由于，所以當(dāng)時不再是無窮小量了；又由于，所以當(dāng)時仍是無窮小量。因此，由這些例子可知無窮小量的商不一定還是無窮小量，它們甚至可以變到很大，例如，當(dāng)時，的絕對值可以任意大，造成這種情形的原因是當(dāng)時，x2比x更快速地趨向零。一般地，我們可用兩個無窮小量之比的極限值來衡量它們趨于零的速度的快慢，因此，引出

26、下述無窮小量比較的定義。定義2.11設(shè)（1）若，是常數(shù)），則稱（x）當(dāng)時是與（x）同階的無窮小量，記為;（2）若，則稱（x）當(dāng)時是與（x）等價的無窮小量，記為；（3）若，則稱（x）當(dāng)時是與（x）高價的無空小量，記為；（4）若，是常數(shù)），則稱（x）當(dāng)時是x的n階無窮小。當(dāng)，時，也有類似的定義。例2，時，討論下列無窮小量與無窮小x的關(guān)系。（1）x+x2答疑編號10020425：針對該題提問（2）2x+x2答疑編號10020426：針對該題提問（3）sinx 答疑編號10020427：針對該題提問 （4）tanx答疑編號10020428：針對該題提問（5）arcsinx 答疑編號10020429：針

27、對該題提問（6）arctanx 答疑編號10020430：針對該題提問（7）答疑編號10020431：針對該題提問 （8）答疑編號10020432：針對該題提問（9）1-cosx答疑編號10020433：針對該題提問解（1）時，（x+x2）x（2）時，（2x+x2）=0（x）（3）時，sinxx（4）時，tanxx（5）令arcsinx=u則有x=sinu時，arcsinxx（6）令arctanx=u，則有x=tanu時，arctanxx（7）時，注意：恒等變形 （8）答疑編號10020501：針對該題提問（9）答疑編號10020502：針對該題提問一般地有下面重要結(jié)果，請同學(xué)們熟記。u0時，

28、sinuu, tanuu, arcsinuu, arctanuu, ln（1+u）u, eu-1u,等價無窮小在極限運算中有重要的應(yīng)用。定理：2.18若當(dāng)xx0時，（x）（x），且（x），（x）0，則此定理說明，在乘除運算的極限中，用非零等價無窮小替換不改變其極限值。例3.用等價替換定理2.18計算下列極限。（1）（2）答疑編號10020503：針對該題提問解：四、無窮大量定義2.12若當(dāng)xx0時，f（x）無限增大，則稱f（x）是當(dāng)xx0的無窮大量，記為 類似地，若當(dāng)xx0時，-f（x）無限增大（可大于任何正數(shù)），則稱f（x）是當(dāng)xx0時的負(fù)無窮大量，記為類似地，可定義注意這里的極限記號只是借

29、用，所有的都不是常數(shù)，故這里的極限都是不存在的。例4.用函數(shù)圖像理解答疑編號10020504：針對該題提問解：由圖2.6可知，當(dāng)x0時，的值是無限增大的，故有，同時還可看到圖2.6由于當(dāng)f（x）無限增大時，無限趨于零，所以，無窮大量與無窮小量有下述關(guān)系：定理2.19若此定理說明：在自變量的同一變化過程中，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量；無窮小量（不等于零）的倒數(shù)是無窮大量。例5.判斷下列函數(shù)在指定的過程中是無窮小量還是無窮大量？說明理由。答疑編號10020505：針對該題提問解（1）由于所以是無窮小量。（2）由于是無窮小量。（3） （4）由于是無窮大量。例6.證明是無窮大量。答疑編號10020506

30、：針對該題提問證：2.5節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性的概念在前面討論函數(shù)的極限時，我們曾不止一次地遇到過極限等式。例如，當(dāng)f（x）是多項式和有理分式函數(shù)時，就可以按照此等式來示函數(shù)的極限，例如，又例如，當(dāng)時，也可以按照這個等式來求極限。但是，這個等式也不是總能成立，考查下面給出的四個函數(shù)。上述四個函數(shù)所對應(yīng)的圖形分別如圖2.7至圖2.10所示。圖2.7圖2.8 圖2.9圖2.10從圖像中容易看出，對于圖2.7中的函數(shù)f（x），在x=2處的左、右極限不相等，故極限不存在，顯然，此時y=f（x）的圖像在x=2處斷開，形成一個“跳躍”；對于圖2.8中的函數(shù)g（x），雖然在x=1處左、右極限都存在，而

31、且相等，但是g（1）無定義，所以也有，此時函數(shù)y=g（x）的圖像在x=1處形成一個“洞”，對于圖2.9中的函數(shù)h（x），在x=1處，存在，h（1）也有定義，但是它們不相等，故，此時函數(shù)y=h（x）的圖像在x=1處仍形成一個“洞”；對于圖2.10中的函數(shù)q（x），顯然，這是極限不存在的一種情形，而且q（1）也無定義，當(dāng)然也有，此時函數(shù)y=q（x）的圖象在X=1處以X=1為漸進(jìn)線，趨于無窮大，也是斷開的。這些例子似乎在告訴我們：若等式不滿足，函數(shù)y=f（x）的圖像就要在x=x0處斷開，因此，如果要使函數(shù)y=f（x）的圖像在x=x0處不斷開，則函數(shù)y=f（x）在x=x0處應(yīng)滿足，于是，就有了下述函數(shù)

32、連續(xù)性的定義。定義2.13設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0點的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)f（x）在點x0處連續(xù)，點x0稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)點。否則，就是函數(shù)的間斷點。根據(jù)這個定義，函數(shù)f（x）在點x0處連續(xù)必須同時滿足在三個條件：存在，f（x0）有定義，f（x0）與相等。例1討論下列函數(shù)在給定點的連續(xù)性。答疑編號10020507：針對該題提問解：（1）由于（2）（3）所以x=1是f（x）的間斷點。（4）關(guān)于初等函數(shù)的連續(xù)性，我們不加證明的將下面的定理介紹給大家。定理：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間上處處連續(xù)。根據(jù)上面的定理，初等函數(shù)在它的無意義點上間斷，在它有意義的區(qū)間處處連續(xù)。例如只是x=1,x=2兩

33、點無意義。所以只在x=1,x=2兩點間斷，其余部分各處都有意義，都連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點及其分類如果函數(shù)f（x）在點x0處不連續(xù)，則稱f（x）在點x0處間斷，稱為函數(shù)f（x）的間斷點。由函數(shù)在點x0處連續(xù)的定義可知，在下列三種情況中至少一種情況下函數(shù)f（x）在x0處間斷：（1）f（x）無定義。（2）不存在。（3）f（x0）存在，存在，但它們不相等。按照這個判斷順序，可以判斷一個函數(shù)在某點x0處是否間斷。我們根據(jù)函數(shù)f（x）在一點X0處間斷方式的不同對間斷點進(jìn)行分類。跳躍間斷點：若，都存在，但不相等，則稱x0是f（x）跳躍間斷點。例如，圖2.7中的間斷點就可稱為跳躍間斷點?？扇ラg斷點：若存在，但

34、與f（x0）不相等或f（x0）無定義，則稱x0是f（x）的可去間斷點。例如，圖2.8、2.9中的間斷點可稱為可去間斷點，此時，可以改變或補(bǔ)充函數(shù)g（x），h（x）在x0處的定義：令，就可以形成一個連續(xù)函數(shù)，這也正是這種間斷點稱為可去間斷點的原因。這也正是這種間斷點稱為可去間斷點的原因。無窮間斷點：若，則稱x0是f（x）的無窮間斷點。例如：圖2.10中的間斷點可稱為無窮間斷點。例2.求下列函數(shù)的間斷點，并證明它的類型。答疑編號10020508：針對該題提問解：（1）因為（2）因為但f（0）無意義。所以，x=0是可去間斷點。（3）因為（4）閉區(qū)間上處處連續(xù)的函數(shù)的性質(zhì)。在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有一些良

35、好性質(zhì)，用定理的形式介紹如下定理2-19在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必有最大值和最小值定理220（零值定理）若函數(shù)f（x）滿足條件（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)（2）f（a）與f（b）異，則f（x）在（a，b）內(nèi)至少存在一點x=c（acb）,使得f（c）=0，即方程f（x）=0在（a,b）內(nèi)至少有一根x=C（acb），本定理的正確性見右圖示：例：證明方程x3+x-1=0在（0，1）內(nèi)至少有一根。答疑編號10020509：針對該題提問證：令f（x）= x3+x-1,因為f（x）是多項式函數(shù)，所以f（x）至少在0,1上連續(xù)，而且f（0）=-10異號所以在（0，1）內(nèi)至少存在一點0c1，使f（c）=0即方程f（

36、x）=0在（0，1）內(nèi)有根x=c,所以方程x3+x-10在（0，1）內(nèi)有根x=c，0c1時收斂，p1時發(fā)散。3.重要性質(zhì)。（1）若若典型題一答疑編號10020601：針對該題提問典型題二答疑編號10020602：針對該題提問典型題三發(fā)散。答疑編號10020603：針對該題提問4.正項級數(shù)的比較判別法若0anbn,則有（1）若典型題（1）用比較法判斷答疑編號10020604：針對該題提問解：（2）用比較法判別的斂散性。解：三、函數(shù)的極限1.x時，定義一當(dāng)x+時，若f（x）與數(shù)A無限接近，就說f（x）的極限是數(shù)A，記作定義二若x時，f（x）與數(shù)A無限接近，就說f（x）的極限是數(shù)A，記作定義三若x時

37、，f（x）與數(shù)A無限接近，就說f（x）的極限是數(shù)A，記作定理重要結(jié)果（1）典型例題一答疑編號10020605：針對該題提問典型例題二若答疑編號10020606：針對該題提問解：2.xx0時定義四當(dāng)xx0時，f（x）與數(shù)A無限接近，就說f（x）的左極限是數(shù)A，記作定義五當(dāng)xx0+時，f（x）與數(shù)A無限接近，就說f（x）的右極限是數(shù)A，記作定義六當(dāng)xx0時，f（x）與數(shù)A無限接近，就說f（x）的極限是數(shù)A，記作定理典型例題一 答疑編號10020607：針對該題提問典型例題二若答疑編號10020608：針對該題提問解： 典型題三若答疑編號10020609：針對該題提問典型題四答疑編號10020610：針對該題提問四、兩個重要極限公式1. 典型題一典型題二答疑編號10020611：針對該題提問答疑編號10020612：針對該題提問答疑編號10020613：針對該題提問五、無窮小量，無窮大量。1.