第二章插值法-上海海事大學(xué)

1、第二章 插值法1 前言 實際問題中若給定函數(shù) y =f(x) 是區(qū)間a, b 上的一個列表函數(shù) )(,iiyxni,.2,1 ,0如果bxxxan.10,且 y =f(x) 在區(qū)間上是連續(xù)的，要求用一個簡單的便于計算的解析表達(dá)式p(x) 在區(qū)間 上近似 y =f(x) ，使iiyxp)(ni,.2,1 ,0(1.1)稱 p(x) 為 y =f(x) 的插值函數(shù)，點nxxx,.,21稱為插值節(jié)點，包含插值節(jié)點的區(qū)間a, b 稱為插值區(qū)間.1通常 nnSpanxp,.,)(10,其中)(xini,.2,1 ,0是一組在,ba上線性無關(guān)的函數(shù)族,n表示由)(),.(),(21xxxn組成的函數(shù)空間,

2、所以nxp)()(.)()()(1100 xaxaxaxpnn可表示為這里,iani,.2,1 ,0是(n+1)個待定常數(shù)它可根據(jù)條件(1.1)確定.當(dāng)kkxx )(nk,.2,1 ,0nHxp)(所以表示次數(shù)不超過n次的多項式集合，nnxxxSpanH,., 12)2 . 1 (.)(2210nnxaxaxaaxp有2從幾何上看，插值問題就是求過從幾何上看，插值問題就是求過n+1個點個點的曲線，使它近似于已給函數(shù)(1.2)稱為插值多項式，如果為三角函數(shù)，則為三角插值，同理還有分段多項式插值，有理插值等等.)(xfy )(,iiyxx0 x1x2x3x4xp(x) f(x)3其系數(shù)矩陣是n+1

3、階范德蒙(Vandermonde)行列式 我們僅介紹多項式插值,即如果已知函數(shù)f (x)在n+1個互異點的值yi=f (xi) (i=0,1,2,n),求一個次數(shù)不高于n的多項式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn , (1.2) 使 Pn(xi)=yi (i=0,1,2,n) 為了確定Pn(x)的n+1個系數(shù),由上述條件得線性方程組nnnnnnnnnnyxaxaxaayxaxaxaayxaxaxaa221011212110002020104 xixj ,(ij),此范德蒙行列式的值不為零,方程組有唯一解a0,a1,a2,an.nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxV2222

4、212110200101111),( 雖然此法可以求出唯一的插值多項式,但是計算量太大,并不實用。下面介紹拉格朗日和牛頓兩種插值法。由此可知:滿足插值條件(1.1)的插值多項式(1.2)式 是唯一存在的.5 線性插值已知兩點 (x0,y0) , (x1,y1) , 求一次多項式 P1(x) , 使 P1(x0)=y0 ,P1(x1)=y1 ,即求一條過 (x0,y0) 和 ( (x1 1, ,y1 1) )的直線 y= =P1 1( (x) .) .2 拉格朗日插值法。由直線的兩點式方程得(2.1)稱為拉格朗日線性插值公式。010010 xxxxyyyy)1 .2(10100101yxxxxy

5、xxxxy6如記01011010)()(xxxxxlxxxxxl則則(2.1)(2.1)可寫成可寫成)3 . 2()()()(11001yxlyxlxL其中 稱為拉格朗日線性插值基函數(shù),其性質(zhì)如下：) 1 , 0()(ixli可寫成 拉格朗日線性插值基函數(shù) 均為x的一次多項式,而拉格朗日線性插值多項式L1 1( (x) )插值基函數(shù)的線性組合,相當(dāng)于用直線逼近曲線。(P24)1)(,0)(0)(,1)(11011000 xlxlxlxl) 1 , 0,(10)(jiijijxlijji) 1 , 0()(ixli7 例 已知 ,求 解解 5.0),(5236.063000yxo弧度7071.

6、0),(7854. 044511yxo弧度7071.05236.07854.05236.05 .07854.05236.07854.0)(1xxxLo40sin7071. 045sin, 5 . 030sinoo7071. 05236. 07854. 05236. 06981. 05 . 07854. 05236. 07854. 06981. 06380. 0)6981. 0(92)40(40sin111PPPooo40(sin的準(zhǔn)確值是0.6428)8二次插值二次插值 已知三點 (xi,yi) (i=0,1,2), 求一個二次多項式 P2(x) ,使 P2 ( xi ) = yi ( i =

7、 0,1,2) 由線性插值的啟示和拉格朗日線性插值公式的特點,可令其中 均為二次多項式 , 且滿足)2 , 1 , 0()(ixli)2 , 1 , 0,(10)(jiijijxlijji) 5 . 2()()()()(2211002yxlyxlyxlxL9用待定系數(shù)法可確定 。 )2, 1 , 0()(ixli例如為確定二次多項式 , 可令0)()(2010 xlxl)(0 xl)()(210 xxxxxl又1)(00 xl1)(2010 xxxx)(12010 xxxx則2102010210)()()(jjjxxxxxxxxxxxxxl類似地有21012101201)()()(jjjjxx

8、xxxxxxxxxxxl1021202102)()()(jjjxxxxxxxxxxxxxl10)2, 1 ,0()(ixli仍叫拉格朗日二次插值基函數(shù),于是拉格朗日二次插值多項式 2020202)()(iiijjjijiiiyxxxxyxlxL這相當(dāng)于用拋物線逼近曲線。例例 已知 o40sin8660.060sin,7071.045sin, 5 .030sinooo 解 5 .0),(5236.063000yxo弧度7071.0),(7854.044511yxo弧度8660.0),(0472.136022yxo弧度11求8660.0)7854.00472.1)(5236.00472.1 ()7

9、854.0)(5236.0(7071.0)0472.17854.0)(5236.07854.0()0472.1)(5236.0(5 .0)0472.15236.0)(7854.05236.0()0472.1)(7854.0()(2xxxxxxxP8660. 0)7854.0472. 1 ()5236. 00472. 1 ()7854. 06981. 0()5236. 06981. 0(7071. 0)0472. 17854. 0()5236. 07854. 0()0472. 16981. 0()5236. 06981. 0(5 . 0)0472. 15236. 0()7854. 05236.

10、0()0472. 16981. 0()7854. 06981. 0()6981.0(92)40(40sin222PPPoo12的準(zhǔn)確值是0.6428)o40(sin6434. 0 顯然比線性插值 P1(40O)=0.6380 精確。 由二次插值的啟示和拉格朗日線性插值公式的特點, 可令:)9.2()()(0niiinyxlxL其中 均為n次多項式,且滿足), 2 , 1 , 0()(nixli), 2 , 1 , 0, (10)(njiijijxlijji用待定系數(shù)法可確定 。 ), 2 , 1 , 0()(nixli n 次插值已知n+1點點(xi,yi) (i=0,1,2,n) ,求一個n

11、次多項式Pn(x),使 Pn(xi)=yi (i=0,1,2,n)13與二次插值類似可得其中 均為拉格朗日n次插值基函數(shù),), 2 , 1 , 0()(nixli niinijjjijniiinyxxxxyxlxL000)()(于是拉格朗日n次插值多項式插值多項式的唯一性(P27定理1)對于已知數(shù)據(jù) ( xi, yi ) ( i=0,1,2,n), 設(shè)Pn( x )是拉格朗日n次插值多項式,則有Pn ( xi ) =yi (i=0,1,2,n)。假如還有另一個次數(shù)不超過n的多項式 n(x), 也使), 2 , 1 , 0()(0nixxxxxlnijjjiji14 n (xi) = yi (i

12、 =0,1,2,n)。令 Fn(x)=Pn(x) - n(x), 則Fn (x)仍為一次數(shù)不超過n的多項式。假設(shè)Fn(x)不恒等于零, 則方程Fn(x) = 0最多有n個根。但是), 2 , 1 , 0(0)()()(niyyxxPxFiiininin即次數(shù)不超過n的方程 Fn(x)=0 有n+1個根, 出現(xiàn)矛盾。必有 Fn (x) 0, 即 Pn(x) n(x)。 于是Pn (x)唯一。 這說明, 過n個點( xi , yi) (i=0,1,2,n), 次數(shù)不超過n的多項式Pn (x) 是唯一的。插值公插值公式的余項式的余項(誤差誤差) 設(shè)已知函數(shù) y = f (x) 在n+1個點的值 yi

13、 = f (xi) (i=0,1,2,n)Pn(x)是滿足Pn (xi) = f (xi)的 n 次插值多項式, 則稱 Rn(x) = f (x) - Pn(x)為插值多項式在點x處的截斷誤差。15定理定理2 設(shè)f(x)在插值區(qū)間a,b上具有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則對任意x a,b,至少存在一點 (a,b),使得)14. 2()()!1()()(1)1(xnfxRnnn其中 n+1(x)=(x - x0)(x - x1)(x - xn) 對于線性插值,其誤差為)(! 2)()(101xxxxfxR 對于二次插值,其誤差為)()(! 3)()(2102xxxxxxfxR 對于n次插值,其誤差為(2.

14、14)式。16證證: : 設(shè)x為a,b內(nèi)任意一點，顯然,當(dāng) x = xi ( i=0,1, ,n ) 時，因為n+1 (xi) = 0，所以 Rn (xi) = 0,所以公式成立.當(dāng)x xi時，對每一個這樣的x均可作一輔助函數(shù):)()()()()()()(11txxPxftPtftnnnn所以 (x)有n+2個零點，且 (x)為n+1階連續(xù)可導(dǎo).0)()()()()()()(11innniniixxxPxfxPxfx因為0)()()()()()()(11xxxPxfxPxfxnnnn且17 這里,n+2個不同零點將劃分出n+1個不同的小區(qū)間,應(yīng)用 羅爾定理,每個小區(qū)間里有一個 (t)的零點,即

15、 (t)有n+1個不同零點,同理 (t) 有n個不同零點.反復(fù)應(yīng)用羅爾定理有,存在一點,使得.)!1()()()(0)()()()()()()()()1()1()1()1()1(為零nxxPxftftxxPxftPtftnnnnnnnn.0)!1()()()()()()1()1(nxxPxffnnn即解之得:).()!1()()()()1(xnfxPxfnn18羅爾定理：羅爾定理： f(x)在在a,b上連續(xù)上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo)上可導(dǎo),且且f (a)=f (b),則至少則至少存在一點存在一點 (a,b),使得使得f ( )=0成立成立.19 設(shè)函數(shù) f (x)在 a, b 上有定義 ,xi,

16、xj a, b, 且 xi xj , 則稱3 3 牛頓插值牛頓插值拉格朗日插值法最大的弱點是,當(dāng)插值節(jié)點增加后,所有的插值基函數(shù)都要重新構(gòu)造,增加節(jié)點前的所有計算結(jié)果將毫無作用,造成計算的浪費.牛頓插值卻克服了此弱點.20一一 差商差商差商概念差商概念jijijixxxfxfxxf)()(),(為 f(x) 在 xi, xj的一階差商。設(shè) f( xi, xj )與 f( xj, xk )為 f(x)在點 xi, xj 與點 xj, xk 的一階差商,則稱為 f (x) 在在 xi, xj , xk的二階差商。)(),(),(),(kikikjjikjixxxxxxfxxfxxxf設(shè)f (x0,

17、 x1, , xk-1) 與f (x1, x2, , xk) 為 f(x)在點x0, x1, ,x k-1 與點x1, x2, , xk的k-1階差商, 則稱為 f(x)在點x0, x1, , xk的k階差商。)(),(),(),(002111010kkkkkxxxxxxxfxxxfxxxf21例如一階差商 (2) 差商可以表示為節(jié)點處函數(shù)值的線性組合：kiiikxfxxxxf010)()(1),(其中 (xi) = (xi- x0) (xi - xi-1) (xi - xi+1)(xi- xk)ijjjiijijijixxxfxxxfxxxfxfxxf)()()()(),(22差商的基本性質(zhì)

18、差商的基本性質(zhì) (1) n次多項式的k階差商,當(dāng)k n時,為一個 n-k 次多項式, 而當(dāng)k n時恒為零。kijkkkjjijjjiixxxxxfxxxfxxxfxxxf)()()()()()(11)()()(jkikkkjijkijjikiixxxxxfxxxxxxxfxxxxxf)()()()()()(jkikkkjijjjikiixxxxxfxxxxxfxxxxxf 二階差商kikjjikjixxxxfxxfxxxf),(),(),(23類似地),(),(),(),(),(),(ijkjikikjkijjkikjixxxfxxxfxxxfxxxfxxxfxxxf (4) 若f (x)在含

19、x0 0, , x1 1, , , , xk k 的區(qū)間D D上k階可導(dǎo)。則至少存在一點 D,D,使得!)(),()(10kfxxxfkk3 3 差商表差商表 點 x0 0, , x1 1, , x2 2, , x3 3, , ,的所有差商可以列成如下的一張差商表: (3) 差商關(guān)于節(jié)點對稱,與節(jié)點的排列次序無關(guān)。 例如一階差商),()()()()(),(ijijijjijijixxfxxxfxfxxxfxfxxf24xi f(xi) 一階差商 二階差商 三階差商 x0 x1 x2 x3 ),(),(),(),(),(),()()()()(32103212103221103210 xxxxfx

20、xxfxxxfxxfxxfxxfxfxfxfxf二 牛頓插值公式 設(shè) x0 x1 , , xn 為插值節(jié)點 , x 為插值區(qū)間內(nèi)任意一點,以x, x0, x1 , xn為節(jié)點, 依次作一階、二階, , n+1階差商,可得25),()()()()()(),(000000 xxfxxxfxfxxxfxfxxf),()(),(),(),(),(),(101100110010 xxxfxxxxfxxfxxxxfxxfxxxf),()(),(),(),(),(),(210221010221010210 xxxxfxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxxxf),()(),(),(),(),(),(1

21、0101010100nnnnnnnnxxxxfxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxxf26依次將后式代入前式得),()(),()()(),()(),()()()(1011010210101000nnnnxxxxfxxxxfxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf其中 n+1 (x) = (x - x0) (x - x1)(x - xn) (3.6)27記),()()(),()(),()()()(nnnxxxfxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN1010210101000),()()(101nnnxxxxfxxR則)()()(xRxNxfnn其中 Nn( (x) )稱為 n 次牛

22、頓插值多項式, , Rn(x) 稱為插值余項。), 2 , 1 , 0(0),()()(101nixxxxfxxRniinin有)()(iinxfxN 由于插值多項式的唯一性,牛頓插值多項式與拉格朗日插值多項式應(yīng)該是同一多項式,只是寫法不同而已。所以其余項也應(yīng)該相等,即28(P3.7)視 n 為 k-1, x 為 xk, 即可得差商的性質(zhì)（4） 即當(dāng)插值節(jié)點增加后,僅在原有計算結(jié)果的基礎(chǔ)上增加一些項,增加節(jié)點前的所有計算結(jié)果均起作用,不會造成計算的浪費?？朔死窭嗜詹逯档娜觞c。)()!1()(),()(1)1(101xnfxxxxfxnnnn 因為牛頓插值公式是按x的方次作升冪排列,所以有遞

23、推公式),()()()()(10101kkkkxxxfxxxxxNxN 顯然, k次牛頓插值公式僅在 k-1階牛頓插值公式后面增加一項(x- x0)(x- xk-1) f (x0,x1 ,xk), 作為對 k-1階牛頓插值公式的補償或修正,提高了插值精度。29 例 已知 , ,求 , , = =0.0010.001。8660. 060sin,7071. 045sin, 5 . 030sinooo190sinoo40sin 解 先構(gòu)造差商表xi sinxi 一一階階差差商商 二二階階差差商商 三三階階差差商商 0.5236 0.7854 1.0472 1.5708 0911.04470.0351

24、6.02559.06070.07911.018660.07071.05.0)()!1()()()1(xnfxRnn終止計算原則306380. 07911. 0)5236. 06981. 0(5 . 0)6981. 0(1N6434. 0)3516. 0()7854. 06981. 0()5236. 06981. 0()6981. 0()6981. 0(12 NN6429. 0)0911. 0()0472. 16981. 0()7854. 06981. 0()5236. 06981. 0()6981. 0()6981. 0(23 NN（ 的準(zhǔn)確值是0.6428）,三階牛頓插值已相當(dāng)準(zhǔn)確。)698

25、1. 0(6981. 0sin40sinkoN)6981. 0(001. 000019. 0)5708. 1()0472. 1()7854. 0()5236. 0(241)(! 41)(! 4)sin()(! 4)()(24)4(3xxxxxxxxfxR其中o40sin31插值節(jié)點為等距節(jié)點： xk =x0 + kh ，k =0, 1, , n ,4、差分與等距節(jié)點插值公式其中h 稱為步長，函數(shù) y= f(x) 在xk的函數(shù)值為差分的概念一階差分:二階差分:一般地，m 階差分用m-1 階差分來定義：以上定義的是前差：從xk 起向前 xk +1 , xk+2 ， 的函數(shù)值的差， 稱為向前差分算子

26、。kkxff 32kkkfff1)()(11212kkkkkkkfffffffkmkmkmfff111如果用函數(shù)表上的值，一階中心差分應(yīng)寫成二階中心差分為：除差分算子外，常用的算子符號還有：不變算子I:移位算子E：kkkfff121112kkkfff21212kkkfffkkfIf 1kkfEf 33而下面定義向后差分，表示向后差分算子，分別稱為一階，二階，. . . ，m 階向后差分。中心差分， 表示中心差分算子，1kkkfff,., )()(21112kkkkkkkfffffff111kmkmkmfff2121)2()2(kkkkkffhxfhxff 34由上面各種算子的定義可得算子間的關(guān)

27、系：可得 = E I 同理可得差分的性質(zhì)(P36)性質(zhì)1: 各階差分均可用函數(shù)值表示，kkkkkkfIEIfEffff)(11EI2121EE0()( 1)nnnjnjkkkjnfEIfEfj jknnjjfjn0) 1( 35驗證： n=1 時，knjnjjnknknfEjnfEIf01) 1()(njknjjnfjn0) 1(其中!) 1() 1(jjnnnjn為二項式展開系數(shù)kkkfff1kkkfffn12,2時)()(112kkkkffff)2(12kkkfff 36n=3 時，一般地，可用數(shù)學(xué)歸納法證明此公式。對于后差，也有類似的公式，例如性質(zhì)2:可用各階差分表示函數(shù)值。例如：可用向

28、前差分表示f n + k ，因為kkkfff2123)2()2(12123kkkkkkffffffkkkkffff12333kjnjknfjnf0于是有knjjknknknfjnfIfEf0)(321333kkkkkfffff 37性質(zhì)3: 在等距插值的情況下,由定義可得出差分和均差有 如下關(guān)系：同理，對向后差分有由均差與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可推出差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：), 2 , 1(!1,1nmfhmxxxfkmmmkkk), 2 , 1(!1,1nmfhmxxxfkmmmkkkbanfxxxfnn,!)(,)(10)()(nnknfhf 38驗證差分和均差有如下關(guān)系：kkkfhfhfhh332212

29、261212131kkkkkkkkxxxxxfxxxf312123,321,kkkkxxxxfkkkfhfhfhh221211121kkkkkkkkkxxxxfxxfxxxf211221,kkkkkkkfhxxffxxf1,111所以hxxhxxhxxkkkkkk32321因為 39性質(zhì)4: 各種差分之間可以互化等距節(jié)點的牛頓插值公式 將牛頓均差插值公式中各階均差用相應(yīng)差分代替，就可得到各種形式的等距結(jié)點插值公式。牛頓向前插值公式：如果節(jié)點xk = x0 + k h (k=0,1,n)，要計算x0附近點x 的函數(shù) f(x)的值， 令 x= x 0 +th, 0 t 1于是101)() 1()(

30、)(kjkjkhktttxxxmkmkmff23434422ffffff2422223ffff例 40把差商與差分關(guān)系代入牛頓插值公式，得牛頓向前插值公式，), 2 , 1(!1,1nmfhmxxxfkmmmkkk0!) 1() 1(fnntttn02000! 2) 1()(fttftfthxNn)(,)()(0100 xxxxfxfxNn)(,10210 xxxxxxxf)()(,11010nnxxxxxxxxxf)()(,)(1010nnnxxxxxxxxxxfxR 41其余項為：牛頓向后插值公式： 如果要計算xn 附近點x 的函數(shù)f (x) 的值,插值點應(yīng)按),()()!1()() 1(

31、)(0)1(1nnnnxxfhnntttxR次序排列作牛頓插值公式，01,xxxnn)(,)()(1nnnnnxxxxfxfxN)(,121nnnnnxxxxxxxf)()(,1101xxxxxxxxxfnnnn 42取節(jié)點xk =xn - kh ，k =0,1,n ,且令x= x n +th, -1 t 0代入上式得牛頓向后插值公式：其余項為：)()(,)(0101xxxxxxxxxxfxRnnnnnnnnnnfttftfthxN2! 2) 1()(nnfnnttt!) 1() 1()()()(thxNxfxRnnn),()()!1()() 1(0)1(1nnnxxfhnnttt 43向前、

32、向后差分表 44例：在微電機設(shè)計計算中需要查磁化曲線表，通常給出的表是磁密B ,每間隔100 高斯磁路每厘米長所需安匝數(shù)at 的值，下面要解決B 從4000 至11000區(qū)間的查表問題。為節(jié)省計算機存儲單元，采用每500 高斯存入一個at 值，在利用差分公式計算。 45從差分表中看到三階差分近似于0 ，計算時只需兩階差分。當(dāng)4000B10500 時用牛頓前插公式；當(dāng)10500B11000 時用牛頓前插公式； 46例如，求f（5200）時取B0= 5000, f0=1.58, f0 = 0.11, 2 f0 = 0.01 ，h=500,B=5200,t=0.4,取n=2，由公式計算得：這個結(jié)果與

33、直接查表得到的值相同，說明用此算法在計算機上求值是可行的。62. 1)01. 0(2)6 . 0)(4 . 0()11. 0)(4 . 0(58. 1)5200(f 47 5 埃爾米特(Hermite)插值在對函數(shù)f(x)進行插值時,有時不僅要求插值多項式在節(jié)點處的值等于被插函數(shù)在這些點的值,還要求插值多項式的導(dǎo)數(shù)在這些點的值也等于函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)在這些點的值,即帶指定導(dǎo)數(shù)值的插值,這便是埃爾米特插值.埃爾米特插值多項式埃爾米特插值多項式一般情形為：已知函數(shù) f(x)在n+1個互異點xi , (i=0,1,n)上上對應(yīng)的函數(shù)值yi , (i=0,1,n)及導(dǎo)數(shù)值y i , (i=0,1,n

34、)求一個2n+1次多項式H2n+1(x),使其滿足：)1 .5()()(1212iiniinyxHyxH可借鑒拉格朗日插值法構(gòu)造插值基函數(shù)的思想, 令niiiniiinyxyxxH0012)()()(a480)(10)(jiijjixijijxaaijijxxijjiji10)(0)(先求a a i(x),由于a ai (xj) = ij,這一點與拉格朗日插值基函數(shù) li(x)相同.所以a ai (x)含有l(wèi)i (x)作為因子,又因為a a i(xj) =0,所以li(x)的根都是Hi(x)的二重根,所以a ai (x)含有因子li2(x),顯然li2(x)是2n次多項式,因此可令a ai (

35、x) =(ax+b) li2 (x)由a a i (xi) = 1 推得 axi+b=1, ijjijixxxxxl)()()(其中a ai(x)與 i(x)均為2n+1次多項式. 且49又a i(x) = a li2(x) + 2(ax+b) li (x) li(x) 顯然a a i (xj) =0, (j i)而 a i(xi) =a+2(a xi +b) li(xi) =0所以 a=- - li (xi) , b=1+2 xi li (xi) 故)4 .5()()()(21 )(2xlxlxxxiiiiia同理可得)5.5()()()(2xlxxxiii)()()()(21 )()()(

36、)()(21 )(20202012xlyxxyxlxxyxlxxyxlxlxxxHiiiiiiiniiiiniiiiiinin這就是帶完全的一階導(dǎo)數(shù)的埃爾米特插值公式.50定理 插值多項式是唯一的用反證法，假設(shè) H 2 n+ 1 ( x )及G2 n+ 1 ( x ) 均滿足Hermite 插值條件，于是由有在每個節(jié)點 x k上均有二重根，即(x )有 2 n + 2重根。但(x )是不高于 2 n + 1次的多項式，故(x ) =0 。 唯一性得證)()()(1212xHxHxnn0)()()(1212knknkxHxHx), 2 , 1(0)()()(1212nkxHxHxknknk51當(dāng)

37、僅兩個節(jié)點x0 0, ,x1 1時,埃爾米特插值公式為：)7 . 5()()(2121)(12010102101012010101021010103yxxxxxxyxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxH(5.7)稱為兩點三次埃爾米特插值,它在后面的樣條插值推導(dǎo)中起重要作用. 誤差估計定理定理 設(shè)H2n+1(x)是過 xi, (i=0,1,n)的2n+1次埃爾米特插值多項式, f(x)在含xi的區(qū)間a,b上2n+2階連續(xù)可微, 則對任意的x a,b,總存在 (a,b),使得)6 . 5()()!22()()()()(2)22(12xnfxHxfxRnn52例 求滿足 故其形式為的插

38、值多項式及其余項表達(dá)式。由給定條件，可確定次數(shù)不超過3 的插值多項式。由于此多項式通過點)()()2 , 1 , 0()()(jjjjxfxPjxfxP及)(,()(,(),(,(221100 xfxxfxxfx及)(,)()(0100 xxxxfxfxP01201,()()f x x xxxxx)()(210 xxxxxxA53其中A 為待定常數(shù)，可由條件確定，為了求出余項的表達(dá)式，可設(shè)其中 k (x )為待定函數(shù)。構(gòu)造)()(11xfxP)(,)(,)(210121001101xxxxxxxfxxxxfxfA通過計算可得)()()(xPxfxR)()()()()()(2210 xxxxxx

39、xKxPxfxR)()()()()()(2210 xtxtxtxKtPtfx54顯然(xj)=0 j=0,1,2. 且故 (x)在( a , b )內(nèi)有5 個零點（重根算兩個）。反復(fù)應(yīng)用羅爾定理，得(4)(t)在( a , b )內(nèi)至少存在一個零點, 故于是余項表達(dá)式為式中位于x0, x1 x2和 x 所界定的范圍內(nèi).0)(,0)(1xx0)(! 4)()()4()4(xkf)(! 41)()4(fxk)()()(! 41)(2210)4(xxxxxxfxR55Hermite 插值的一般形式:設(shè)在節(jié)點 a x0 x 1.xn b上，已知在節(jié)點上的及某些節(jié)點上的導(dǎo)數(shù)要求一個至多 n +m+1次的

40、插值多項式 H ( x) ，使?jié)M足條件與前面討論類似，可證明滿足條件的Hermite 插值多項式是存在唯一的，其余項為), 1 , 0()(njxfyjj)0, 1 , 0()(njnmmkxfmkjjkk), 1 , 0()(,)(njmxHyxHkkjjjj56例：按下表求Hermite 插值多項式解 解法一：由于插值條件有5 個，故所求插值多項式的次數(shù)不超過4。 構(gòu)造插值基函數(shù) a ai(x) i=0,1,2 與 j(x) j=0,1 使它們滿足：(1) a ai(x) i=0,1,2 與 j(x) j=0,1 都是4次多項式mkjnnmkxxxnmfxHxfxR01)2()()()!2

41、()()()()( xj012 f(xj)011 f (xj) 0157)2()1()()()2()1()(22120121xxxbaxxxxxxxbaxa0)()(00 xfxf因為故)(),(00 xxa無須求出又因為0)0()2()0(111aaa因而可設(shè))2 , 1 , 0,(10)()2(kjjkjkxkja)2 , 1 , 0, 1 , 0(0)(jkxakj) 1 , 0, 2 , 1 , 0(0)(jkxkj) 1 , 0,(10)(kjjkjkxkj58因此所求Hermite 插值多項式為222222121)3(4)2)(1() 1(4)2()()()()(xxxxxxxxx

42、xxxxHaa代入0) 1 (, 1) 1 (11aa可得1, 1ba所以2221)2()2()2()(xxxxxxa類似可求出222) 1(4)(xxxa)2)(1()(21xxxx59解法二：因為 x = 0為二階零點，故可直接設(shè)插值多項式為)()(22cbxaxxxH代入插值條件 H (1) = H(2) = H (1) = 1 ，得方程組1234148161cbacbacba49,23,41cba其解為:所求插值多項式是:2222) 3(4)49234()(xxxxxxH606 分段低次插值多項式插值的問題 前面根據(jù)區(qū)間 a , b 上給出的節(jié)點做插值多項式L n(x) 近似 f (x

43、 ), 一般總認(rèn)為L n(x)次數(shù)n 越高逼近f (x )的精度越好，但實際上并非如此。這是因為對任意的插值節(jié)點，當(dāng)n 時，L n(x) 不一定收斂到 f (x ) ，本世紀(jì)初龍格（Runge）就給出了一個等距節(jié)點插值多項式L n(x) 不收斂的 f (x ) 的例子。設(shè)函數(shù)為11)(2xxf它在 5 , 5 上各階導(dǎo)數(shù)均存在，在 5 , 5 上取 n + 1個等距節(jié)點 x I = -5 + 10 i/n, (i=0,1,n) 所構(gòu)造的拉格朗日插值多項式61拉格朗日插值多項式因此隨著插值結(jié)點數(shù)增加，插值多項式的次數(shù)也相應(yīng)增加，而對于高次插值容易帶來劇烈振蕩，帶來數(shù)值不穩(wěn)定。為了既要增加插值結(jié)點

44、，減小插值區(qū)間，以便更好的逼近被插值函數(shù)，又要不增加插值多項式的次數(shù)以減少誤差，我們可以采用分段插值的辦法。見P45njjnjnjnxxxxxxL0112)()()(11)(時當(dāng)n只在63. 3x內(nèi)收斂，而在這區(qū)間外是發(fā)散的62分段線性插值所謂分段線性插值就是通過插值點用折線段連接起來逼f(x ) 。設(shè)已知節(jié)點 a=x0 x1xn=b, 及相應(yīng)的函數(shù)值 f0, f1 , fn, 求一折線函數(shù) Ih (x )滿足：kkkkhhxxhmax,1記,)() 1baCxIh記上是線性函數(shù)在每個小區(qū)間,)()31kkhxxxI), 1 , 0()()2nkfxIkkh則稱)(xIh為分段線性插值函數(shù)63

45、由定義可知Ih (x )在每個小區(qū)間 x k , x k +1 上可表示為若用插值基函數(shù)表示，則在整個區(qū)間 a , b 上為njjjhfxlxI0)()(:則)()(11111kkkkkkkkkkhxxxfxxxxfxxxxxI64其中基函數(shù) l j (x ) 滿足條件l j (xk)= jk (j, k=0,1,2,n)其形式是,0,(0,)(11111111jjjjjjjjjjjjjxxxnjxxxxxxxjxxxxxxxxlnjjjhfxlxI0)()(:則,(0,)(1101010nxxxxxxxxxxxl,(),0)(11110nnnnnnnxxxxxxxxxxxl65對于分段線性插

46、值的余項估計有下列結(jié)果：定理定理6.3 設(shè)給定節(jié)點為 a=x0 x1xn=b, f(xi)=yi, f ”(x)在 a,b上存在,則對任意的 xa, b有:| )(|max|,|max8| )()(|max,21122xfMxxhhMxIxfbaxiinihbxa 分段線性插值基函數(shù)l j (x )只在 x j附近不為零，在其他地方均為零，這種性質(zhì)稱為局部非零性質(zhì)。66收斂性證明： 當(dāng)x屬于 x k , x k +1時故又)()()(110 xlxlxlkknjj)()()()(1xfxlxlxfkk)()()(11xlfxlfxIkkkkh現(xiàn)在要證明)()(lim0 xfxIhh考慮11)(

47、)()()()()(kkkkhfxfxlfxfxlxIxf)()()()()(1hhhxlxlkkkk67這里(h ) 是函數(shù)f (x ) 在區(qū)間a , b 上的連續(xù)模，即對任意兩點 x , x a , b ，只要 |x x| h ，就有 |f (x ) f (x )| (h )稱 (h ) 為f (x ) 在區(qū)間a , b 上的連續(xù)模，當(dāng)x a , b 時 ，就有由前式可知，當(dāng)x a , b 時 ，有因此，只要f (x ) C a , b ，就有在a , b上一致成立，故I h(x ) 在a , b 上一致收斂到f (x ) 。0)(lim0hh)()(lim0 xfxIhh)()()(ma

48、xhxIxfhbxa68分段三次埃爾米特插值 分段線性插值函數(shù)Ih (x ) 的導(dǎo)數(shù)是間斷的，若在節(jié)點xk (k=0,1,n) 上除已知函數(shù)值 fk 外還給出導(dǎo)數(shù)值這樣就可構(gòu)造一個導(dǎo)數(shù)連續(xù)的分段插值函數(shù)Ih (x ) , 它滿足條件:nkmfkk,.1 , 0,)() 11baCxIh代表區(qū)間,ba上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)集合）,(1baC), 1 , 0()(,)()2nkfxIfxIkkhkh)()3xIh在每個小區(qū)間,1kkxx上是三次多項式69由兩點三次 hermite 插值多項式?？芍?， Ih (x )在區(qū)間 xk , xk +1 上的表達(dá)式為若在整個區(qū)間a , b 上定義一組分段三次插

49、值基函數(shù)j (x )及j(x ) (j = 0, 1, , n) ，21121121)(kkkkkkkkkkhxxxxfxxxxxxxxxI211111)(21kkkkkkkkkfxxxxxxfxxxx1121)(kkkkkfxxxxxx70則Ih (x )可表示為其中其中j (x )及j(x) 分別表示為)6 . 6()()()(0njjjjjhfxfxxIa,0,21)(101021010100 xxxxxxxxxxxxxxxa71,0,(21,21)(111211112111jjjjjjjjjjjjjjjjjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxa,21,0)(1211

50、11nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxa72,0,()(,)()(1112111211jjjjjjjjjjjjjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx,0,)()(1010210100 xxxxxxxxxxxxx,)(,0)(12111nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxx73收斂性證明:由于j (x ), j(x ) 的局部非零性質(zhì)，當(dāng)x xk , xk +1 時于是Ih (x ) 可表為為了研究Ih (x ) 的收斂性，由j (x ), j(x ) 直接得估計式不全為零只有)(),(),(),(11xxxxkkkkaa)()()()()(1111xfxfx

51、fxfxIkKkkkkkkhaa1kkxxx1)(0 xjakkkkhxhx274)(,274)(174當(dāng)xxk , xk +1 時于是有即對 xa, b成立, 其中 (h )是 f (x )在 a , b 上的連續(xù)模。1)()(1xxkkaa)()()()(1xxxfxfkkaa11)()()()()()(kkkkhfxfxfxfxxIxfaa2741kkkffh,max278)()()(11kkkkffhhxxaamax278)()()(kfhhxIxf75定理3 當(dāng) f (x)C1 a , b 時，即Ih (x )在區(qū)間a , b 上一致收斂于f (x ) )()(lim0 xfxIhh

52、767 三次樣條插值 上面討論的分段低次插值函數(shù)都有一致收斂性，但光滑性較差，對于像高速飛機的機翼形線，船體放樣等型值線往往要求有二階光滑度，即有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，早期工程師制圖時，把富有彈性的細(xì)長木條（所謂樣條）用壓鐵固定在樣點上，在其他地方讓它自由彎曲，然后畫下長條的曲線，稱為樣條曲線。它實際上是由分段三次曲線并接而成，在連接點即樣點上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從數(shù)學(xué)上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這一概念。下面我們討論最常用的三次樣條函數(shù)。77設(shè)在區(qū)間a,b上取n+1個節(jié)點a= x0 x1 xn =b,其對應(yīng)的函數(shù)值為f(xi)= yi , (i=0,1,2,n) , 現(xiàn)求一定義在a,b上的函數(shù)S(x),使

53、其滿足：1) S(x)在每一個小區(qū)間xi-1 , xi, (i=1,2,n)上為三次多項式,2) S(x)在a , b上二階連續(xù)可微, 即即S(x) C2a, b,3) S(xi) = yi , (i=0,1,2,n),則稱 S(x)為 f (x)的三次樣條插值函數(shù).根據(jù)S (x ) 在 a ,b 上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，在節(jié)點x j ( j = 1 , , 2 , n 1) L處應(yīng)滿足連續(xù)性條件:),0()0(),0()0(jjjjxSxSxSxS),0()0( jjxSxS78通?？稍趨^(qū)間a ,b 端點x 0 = a , x n = b 上各加一個條件（稱為邊界條件），可根據(jù)實際問題的要求給定。常

54、見的有以下三種：1 已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即2 兩端的二階導(dǎo)數(shù)已知，即其特殊情況 ，稱為自然邊界條件。,)(,)(00nnfxSfxS 00 )(,)(nnfxSfxS, 0)()( 0 nxSxS79 為確定S(x)在各區(qū)間上的表達(dá)式, 自然會想到前節(jié)介紹的分段埃爾米特插值.在每一小區(qū)間上,分段埃爾米特插值也恰為三次多項式,不過在那里, f (xi)=y i 為為已知的. 如果能利用S(x)在a, b上二階連續(xù)可微將y i確定,那么由(6.6), S(x) 便可唯一地表示出來了. 為此先記mi =f (xi), (i=0,1,2,n), 在區(qū)間xi-1 , xi上, S(x)的表達(dá)式為：3

55、當(dāng)f (x ) 是以xn x0為周期的周期函數(shù)時，則要求 S(x ) 也是周期函數(shù)。這時邊界條件應(yīng)滿足:而此時 y n = y0 ,這樣確定的樣條函數(shù)S(x ) ，稱為周期樣條函數(shù)三轉(zhuǎn)角方程),0()0(),0()0(00nnxSxSxSxS),0()0( 0 nxSxS80iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiimxxxxxxmxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxS2111211211112111)()(2121)(iiiiiiiiiiiiiiiimxxhhmxxhhyxxhhyxxhhxS )(62)(62)(126)(126)(121112111312113121樣

56、條插值函數(shù)的建立記hi-1= xi - xi-1 , 求 S (x)在在 xi-1 , xi 上的二階導(dǎo)函數(shù) S”(x)iiiiiiiiimhmhyhyhxS111211214266)( 8111222466)( iiiiiiiiimhmhyhyhxS再利用S(x)在xi , xi+1上的表達(dá)式可計算出由S(x)二階連續(xù)可微,即S (xi-) = S (xi+),得11221112112124664266iiiiiiiiiiiiiiiimhmhyhyhmhmhyhyh記：記：. 1, 2 , 1)()(3,111111nixxhyyhdhhhhhhiiiiiiiiiiiiiiiii將上式整理得方程組1,2, 1211nidmmmiiiiii82這是關(guān)于n+1個未知量mi,(i=0,1,n)的n-1個個線性方程組,該方程組有無窮多組解,在實際問題中,往往根據(jù)具體情況補充兩個附加條件通常稱為端點條件, 便可唯一確定一組解. 常見的端點條件有：1) 曲線在兩端點x0 , xn 處的導(dǎo)數(shù)值為已知的, 即f (x0)= m0, f (xn)=mn,方程組為n-1個未知數(shù), n-1個