第一章集合與簡易邏輯集合的概念與運(yùn)算

1、題目 第一章集合與簡易邏輯集合的概念與運(yùn)算高考要求 1理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義2掌握有關(guān)的術(shù)語和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡單的集合3理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義；理解四種命題及其相互關(guān)系；掌握充要條件的意義4學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法分析和解決有關(guān)集合的問題，形成良好的思維品質(zhì)知識(shí)點(diǎn)歸納 定義：一組對象的全體形成一個(gè)集合特征：確定性、互異性、無序性表示法：列舉法1,2,3,、描述法x|P韋恩圖分類：有限集、無限集數(shù)集：自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、正整數(shù)集N、空集關(guān)系：屬于、不屬于、包含于(或)、真包含于、集合

2、相等運(yùn)算：交運(yùn)算ABx|xA且xB；并運(yùn)算ABx|xA或xB;補(bǔ)運(yùn)算x|xA且xU，U為全集性質(zhì)：AA； A； 若AB，BC，則AC；AAAAA； A；AA；ABAABBAB；ACA； ACAI；C( CA)A；C(AB)(CA)(CB)方法：韋恩示意圖, 數(shù)軸分析注意： 區(qū)別與、與、a與a、與、(1,2)與1,2； AB時(shí)，A有兩種情況：A與A若集合A中有n個(gè)元素，則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為，所有真子集的個(gè)數(shù)是-1, 所有非空真子集的個(gè)數(shù)是區(qū)分集合中元素的形式：如；空集是指不含任何元素的集合、和的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集條件為，在討論的時(shí)候不要遺

3、忘了的情況符號(hào)“”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn) 點(diǎn)與直線（面）的關(guān)系 ；符號(hào)“”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn) 面與直線(面)的關(guān)系 題型講解 例1 已知A=x|x33x22x0，B=x|x2axb0且AB=x|0x2，ABxx2，求a、b的值解：A=x|2x1或x0，設(shè)B=x1，x2，由AB=（0，2知x22，且1x10，由AB=（2，+）知2x11由知x11，x22，a（x1x2）1，bx1x22評(píng)述：本題應(yīng)熟悉集合的交與并的涵義，熟練掌握在數(shù)軸上表示區(qū)間（集合）的交與并的方法例2設(shè)集合P=m|1m0，Q=mR|mx2+4mx40對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則下列關(guān)系

4、中成立的是 APQBQPCP=QDPQ=Q剖析：Q=mR|mx2+4mx40對任意實(shí)數(shù)x恒成立，對m分類：m=0時(shí)，40恒成立；m0時(shí)，需=（4m）24m（4）0，解得m0綜合知m0，Q=mR|m0答案：A評(píng)述：本題容易忽略對m=0的討論，應(yīng)引起大家足夠的重視例3 已知集合A=（x，y）|x2+mxy+2=0，B=（x，y）|xy+1=0，0x2，如果AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍剖析：如果目光總是停留在集合這一狹窄的知識(shí)范圍內(nèi)，此題的思維方法是很難找到的事實(shí)上，集合符號(hào)在本題中只起了一種“化妝品”的作用，它的實(shí)際背景是“拋物線x2+mxy+2=0與線段xy+1=0（0x2）有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值

5、范圍”這種數(shù)學(xué)符號(hào)與數(shù)學(xué)語言的互譯，是考生必須具備的一種數(shù)學(xué)素質(zhì)解：由得x2+（m1）x+1=0AB，方程在區(qū)間0，2上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解首先，由=（m1）240，得m3或m1當(dāng)m3時(shí)，由x1+x2=（m1）0及x1x2=1知，方程只有負(fù)根，不符合要求；當(dāng)m1時(shí)，由x1+x2=（m1）0及x1x2=10知，方程有兩個(gè)互為倒數(shù)的正根故必有一根在區(qū)間（0，1內(nèi)，從而方程至少有一個(gè)根在區(qū)間0，2內(nèi)綜上所述，所求m的取值范圍是（，1評(píng)述：上述解法應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想如果注意到拋物線x2+mxy+2=0與線段xy+1=0（0x2）的公共點(diǎn)在線段上，本題也可以利用公共點(diǎn)內(nèi)分線段的比的取值范圍建立關(guān)于m的不等

6、式來解例4設(shè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：若滿足，則集合B需分兩種情況求解集合A中的元素x是集合B中的元素；集合B為空集解：由，當(dāng)，即無實(shí)根，由，即，解得；當(dāng)時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系：綜上所得例5 求1到200這200個(gè)數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個(gè)？分析：分析200個(gè)數(shù)分為兩類，即滿足題設(shè)條件的和不滿足題設(shè)條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標(biāo)準(zhǔn)明確而簡單，可考慮用扣除法解：如圖先畫出文氏圖，不難看出不符合條件 的數(shù)共有（2002）（2003）(2005)(20010)(2006)(20015)(20030)146所以

7、，符合條件的數(shù)共有20014654（個(gè)）例6 已知全集，A=1,如果，則這樣的實(shí)數(shù)是否存在？若存在，求出，若不存在，說明理由分析：此題的關(guān)鍵是理解符號(hào)是兩層含義：解： ，即0， 解得 當(dāng)時(shí)，為A中元素 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，這樣的實(shí)數(shù)x存在，是或另法： ，0且或變式思考題：同時(shí)滿足條件：若，這樣的集合M有多少個(gè)，舉出這些集合來答案：這樣的集合M有8個(gè)：例7某學(xué)校藝術(shù)班有100名學(xué)生，其中學(xué)舞蹈的學(xué)生67人，學(xué)唱歌的學(xué)生45人，而學(xué)樂器的學(xué)生既不能學(xué)舞蹈，又不能學(xué)唱歌,人數(shù)是21人,那么同時(shí)學(xué)舞蹈和唱歌的學(xué)生有多少人？解：設(shè)學(xué)舞蹈的學(xué)生有x人，學(xué)唱歌的人有y人，既學(xué)舞蹈又學(xué)唱歌的人又z人，由題意可列方程：

8、 解得所以，同時(shí)學(xué)舞蹈和唱歌的有33人例8對于集合,是否存在實(shí)數(shù)？若存在，求出的取值，若不存在，試說明理由解： , 即二次方程:， ,解之得 故存在實(shí)數(shù)例9已知集合，,求的值解：由可知，（1），或（2）解（1）得，解（2）得又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，與題意不符所以，例10已知為全集，,解:由所以 由例11已知集合，求的值解：（1）當(dāng)含有兩個(gè)元素時(shí)：；（2）當(dāng)含有一個(gè)元素時(shí)： 若若綜上可知：小結(jié)：1正確理解集合中元素的特征：確定性，互異性，無序性；2用列舉法或描述法給出集合，考察元素與集合之間的元素；或不給出集合中的元素，但只給出若干個(gè)抽象的集合及某些關(guān)系，運(yùn)用文氏圖解決有關(guān)問題3熟練運(yùn)用集合的并、交、補(bǔ)的運(yùn)

9、算并進(jìn)行有關(guān)集合的運(yùn)算4注意符號(hào)的理解，相互之間的轉(zhuǎn)化：例如等等學(xué)生練習(xí) 題組一：1已知集合M=x|x24，N=x|x22x30，則集合MN等于Ax|x2 Bx|x3 Cx|1x2 Dx|2x3解析：M=x|x24=x|2x2，N=x|x22x30=x|1x3，結(jié)合數(shù)軸，MN=x|1x2答案：C2已知集合A=xR|x5，B=1，2，3，4，則（A）B等于A1，2，3，4 B2，3，4 C3，4D4解析：A=xR|x5，而5（3，4），（A）B=4答案：D3設(shè)集合P=1，2，3，4，5，6，Q=xR|2x6，那么下列結(jié)論正確的是APQ=P BPQQ CPQ=Q DPQP解析：PQ=2，3，4，5

10、，6，PQP答案：D4設(shè)U是全集，非空集合P、Q滿足PQU，若求含P、Q的一個(gè)集合運(yùn)算表達(dá)式，使運(yùn)算結(jié)果為空集，則這個(gè)運(yùn)算表達(dá)式可以是_解析：構(gòu)造滿足條件的集合，實(shí)例論證U=1，2，3，P=1，Q=1，2，則（Q）=3，（P）=2，3，易見（Q）P=答案：（Q）P5已知集合A0，1，BxxA，x*，CxxA，則A、B、C之間的關(guān)系是_解析：用列舉法表示出B1，C，1，0，A，易見其關(guān)系這里A、B、C是不同層次的集合，C以A的子集為元素，同一層次的集合可有包含關(guān)系，不同層次的集合之間只能是從屬關(guān)系答案：BA，AC，BC題組二：1設(shè)全集為實(shí)數(shù)集R，集合M=x|x2-1999x-20000,P=x|x-1999|a(a為常數(shù)）,且-1P,則M與P滿足 （ ）(A) (B) (C) (D)2若非空集合A=x|2a+1x3a-5,B=x|3x22,則能使AB成立的所有a的集合是（ ）(A)a|1a9 (B)a|6a9 (C)a|a9 (D)3設(shè)集合A=x|x2a ,B=x|x2,若A B=A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）（A)a4 (B)a4 (C)0a4 (D)0a0,B=y|y=x2/2-x+5/2,0x3,若A B=,求實(shí)數(shù)a的取值范圍10已知集合A=x|6/(x+1)1,B=x|x2-