第一章集合學(xué)生版

1、第一章 集合第一講 集合的概念和關(guān)系【知識整合】(一)集合的概念1. 1集合的概念集合：一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體。元素：集合中的每一個對象稱為該集合的元素，簡稱元1.2集合的表示為了書寫方便，通常用大寫拉丁字母A，B，C，D，表示集合；用小寫拉丁字母a,b,c,d,表示元素。如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作aA；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a A在以后的學(xué)習(xí)中，有些集合是我們經(jīng)常要用到的：N：自然數(shù)集，即全體非負整數(shù)組成的集合（非負整數(shù)集），包括0； N+或N*：正整數(shù)集，即全體正整數(shù)組成的集合，不包括0 ；Z：整數(shù)集，即全體整數(shù)組成的集合；Q：有

2、理數(shù)集，即全體有理數(shù)組成的集合；R：實數(shù)集，即全體實數(shù)組成的集合。正整數(shù)集的表示，在N右上角加上“*”號或右下角加上“+”號。例1用“”或“”填空：1 N ， -3 N ，0 N ，2 N；1 Z ， -3 Q ，0 Z ，2 R；1.3集合的性質(zhì)確定性：集合中的元素必須是確定的互異性：集合中的元素必須是互不相同的無序性：集合中的元素是無先后順序的例2下列各對象可以組成集合的是（ ）（A）2、2、3、4、6、6 （B）某校2002-2003學(xué)年度笫一學(xué)期全體高一學(xué)生（C）高一年級視力比較好的同學(xué) （D）與無理數(shù)相差很小的全體實數(shù)例3以下四種說法正確的是( )A. “實數(shù)集”可記為QB. 由“a

3、,b,c,d”構(gòu)成的集合與由“c,d,b,a”構(gòu)成的集合是兩個不同的集合C. “我校高一年級全體數(shù)學(xué)學(xué)得好的同學(xué)”不能組成一個集合,因為其元素不確定例4選擇正確的序號：不大于3的正有理數(shù)；我校高一年級所有高個子的同學(xué)；全部長方形；全體無實根的一元二次方程。四個條件中所指對象不能組成集合的 。(二)集合的表示方法2.1 集合的表示方法列舉法，描述法和韋恩圖（veen圖）是表示集合的常用方式。列舉法：將集合的元素一一列舉出來，并置于大括號“ ”內(nèi)如果兩個集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B中的元素，B中的元素也都是A中的元素），則稱這兩個集合相等，例如：北京,天津,上海,重慶=上海，北京，天

4、津，重慶。有限集含有有限個元素的集合叫有限集無限集含有無限個元素的集合叫無限集空集不包含任何元素的集合，記作描述法：將集合的所有元素都具有的性質(zhì)（滿足的條件）表示出來，寫成的形式，大括號中豎線前寫的是表示這個集合元素的一般符號，豎線后寫出的是這個集合中元素所具有的共同特征。如x|x為中國的直轄市，x|x為young中的字母，x|x<-3，xR韋恩圖（圖示法）：畫一條封閉曲線,用它的內(nèi)部來表示一個集合。常用于表示不需給具體元素的抽象集合。對已給出了具體元素的集合也當然可以用圖示法來表示。如: 集合1,2,3,4,5用圖示法表示為:集合北京,天津,上海,重慶用圖示法表示為：例5 用列舉法表示

5、下列集合：（1）小于10的所有自然數(shù)組成的集合；（2）方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合；（3）由120以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合。(三)集合的基本關(guān)系3.1子集的概念上述每組中的集合A，B具有的關(guān)系可以用子集的概念來表述。子集：一般地，對于兩個集合A、B， 如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集。記作 AB(或BA)讀作 “A包含于B”（或“B包含A”）3.2 集合相等和真子集的概念如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），此時集合A與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等記作 A=B真子集：如果集合A

6、B，但存在元素xB，且xA，我們稱集合A是集合B的真子集，記作AB（或BA），讀作A真包含于B（或B真包含A）例6寫出集合a,b的所有子集，并指出哪些是它的真子集。例7下列命題：（1）空集沒有子集；（2）任何集合至少有兩個子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若A，則A，其中正確的有（ ） A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個【典例精析】1. 簡答（1）什么是集合？什么是集合中的元素？（2）常用的數(shù)集有哪些？記號各是什么？（3）集合中的元素有哪些特征？（4）數(shù)0是自然數(shù)N中的元素嗎？2. 試用列舉法和描述法表示下列集合（1）方程x2-2=0的所有實數(shù)根組成的集合（2）由大于10小

7、于20的所有整數(shù)組成的集合3. 已知a滿足aM則1+a1-aM且a±1,a0，若3M,寫出M中的其他元素。4. 集合A是由a+2，(a+2)2，a2+3a+3組成的集合，若1A，求實數(shù)a的值。5. 集合(x,y)|y=x2+1與集合y|y=x2+1是同一個集合嗎？6. 在集合A=1,a2-a-1,a2-2a+2中,a的值可以是（ ）A0B1C2D1或27. 已知P=0，1，M=xxP，則P 與M的關(guān)系為（ ）8. 判斷下列表示是否正確：(1)aa； (2)aa,b；(3)a,bb,a； (4)-1,1-1,0,1；9. 已知A=x|-2x5；B=x|a+1x2a-1，BA，求實數(shù)a的

8、取值范圍10. 設(shè)集合A=xx2+4x=0,B=x|x2+2a+1x+a2-1=0,aR，若BA，求實數(shù)a的值。11. 若xR則x、x2-x、x3-3x能夠組成集合嗎？為什么？【重點題型強化】1. 集合y|y=x2，xR；(x，y)|y=x2，xR ；s|s=(t-1)2，tR；m|m=n+1，n-1，其中表示同一集合的是 （只填序號）2. 若集合M=a,b,c中元素是ABC的三邊長，則ABC一定不是（ ）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D等腰三角形3. 用列舉法表示下列集合：（1）a|0a<5，aN；（2）(x,y)|0x2,0y<2，x,yZ（3）“mathemati

9、cs”中字母構(gòu)成的集合。4. 寫出集合1,2,3,的所有子集。5. 設(shè)x,yR，A=(x,y)|y-3=x-2；B=(x,y)|y-3x-2=1，則A，B的關(guān)系是 6. M=m|m=2k,kZ,X=x|x=2k+1,kZ,Y=y|y=4k+1,kZ,則( )A .x+yM B .x+yXC .x+yY D .x+yM 7. 用“”或“”填空：（1）A=x|x2-x=0，則1 A，-1 A；（2）B=x|1x5，xN，則1 B，1.5 B；（3）C=x|-1<x<3，xZ，則0.2 C，3 C8. 設(shè)集合A=x|1x3，B=x|x-a0，若A是B的真子集，求實數(shù)a的取值范圍。9. 設(shè)

10、A=1，2，B=x|xÍA，問A與B有什么關(guān)系？并用列舉法寫出B。10. 設(shè)A=x,y，B=1，xy，若A=B，求x,y11. 數(shù)集A滿足條件：若aA，則11 a A (a1)若2A,試求出A中其他所有元素。自己設(shè)計一個數(shù)屬于A，然后求出A中其他元素。從上面兩小題的解答過程中，你能悟出什么道理？并大膽地證明你發(fā)現(xiàn)的這個道理。第二講 集合的交、并、補運算【知識整合】1.1 并集的概念并集：一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,稱為集合A與B的并集,記作AB,(讀作“A并B”).即AB=x|xA,或xB例1 設(shè)A=4,5,6,8, B=3,5,7,8,求AB例2 設(shè)集合

11、A=x|-1<x<2,集合B=x|1<x<3求AB.1.2 交集的概念交集：一般地,由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合,稱為A與B的交集,記作AB,(讀作“A交B”),即AB=x|xA,且xB.例3 新華中學(xué)開運動會,設(shè)A=x|x是新華中學(xué)高一年級參加百米賽跑的同學(xué)B=x|x是新華中學(xué)高一年級參加跳高比賽的同學(xué),求AB.例 4 設(shè)平面內(nèi)直線l1上的點的集合為L1，直線l2上點的集合為L2，試用集合的運算表示l1，l2的位置關(guān)系。1.3 全集和補集的概念全集：一般地,如果一個集合含有我們所研究問題中所涉的所有元素,那么就稱這個集合為全集,通常記作U.例如，在實數(shù)

12、范圍內(nèi)討論集合時，R便可看做一個全集U。補集：對于一個集合A,由全集U中不屬于A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集,簡稱為集合A的補集。記為CUA（讀作“A在U中的補集”），即CUA=x|xU,且xA補集可用Venn圖表示為:例5 不等式組2x-1>03x-60，的解集為A，U=R，試求A及CUA，并把他們分別表示在數(shù)軸上。1.4 集合之間的關(guān)系（1）對于空集，我們規(guī)定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。（2）任何一個集合是它本身的子集，即AA（3）傳遞性：對于集合A、B、C，如果AB，BC，那么AC1.5 交集和并集的性質(zhì)交集的性質(zhì)：(1) AA=A(2)

13、 A=A(3) AB=BA(4) ABA,ABB(5) AB則AB=A并集的性質(zhì)：(1) AA=A(2) A=A(3) AB=BA(4) AAB,BAB,ABAB(5) AB,則AB=B補充性質(zhì)：1. CardAB=CardA+CardB-Card(AB) (容斥原理)，其中CardA表示集合A中元素的個數(shù)。2.CUAB=CUACUB3. CUAB=CUACUB 1.6 區(qū)間的表示方法為了敘述方便，在以后的學(xué)習(xí)中，我們常常會用到區(qū)間的概念。設(shè)a，bR ，且a<b，規(guī)定 a,b=x|axb， (a,b)= x|a<x<b， a,b)=x|ax<b， (a,b= x|a&l

14、t;xb， (a,+)=x|x>a， (-,b)=x|x<b， (-,+)=R。a,b，(a,b) 分別叫做閉區(qū)間、開區(qū)間；a,b)，(a,b叫做半開半閉區(qū)間；a，b叫做相應(yīng)區(qū)間的端點。符號“+”讀作“正無窮大”，符號“-”讀作“負無窮大”?！镜淅觥?. 填表ABABAABBACUAACUAAACUACUA2. 設(shè)U=x|x是小于9的正整數(shù),A=1,2,3B=3,4,5,6,求CUA,CUB.3. 下列說法正確的有（ ）A. 若U=四邊形，A=梯形，則CUA =平行四邊形B. 若U是全集，且AÍB，則CUAÍCUB C. 若U=1，2，3，A=U，則CUA=

15、f 4. 已知A=x|x2-px-2=0，B=x|x2+qx+r=0且AB=-2,1,5，AB=-2，求p,q,r的值。5. 設(shè)A=-4,2a-1,a2，B=a-5,1-a,9，已知AB=9，求a的值，并求出AB。6. 已知A=x|x2-3x+2=0，B=x|x2-ax+a-1=0，若AB=A，求實數(shù)a 的值。7. 設(shè)集合A=x|-2<x<-1x|x>1，B=x|axb，若AB=x|x>-2，AB=x|1<x3，求a，b的值8. 設(shè)集合A=-1,1,3，B=a+2,a2+4，AB=3，則實數(shù)a的值為 9.設(shè)U=0,1,2,3，A=xU|x2+mx=0，若CUA=1

16、,2，則實數(shù)m= 10. 若U=Z，A=x|x=2k,kZ，B=x|x=2k+1,kZ，則CUA= CUB= 【重點題型強化】1. 設(shè)集合A=|2a-1|，2，B=2，3，a2+2a-3且CBA=5，求實數(shù)a的值。2. 已知全集U=1，2，3，4，5，非空集A=xÎU|x2-5x+q=0，求CUA及q的值。3. 設(shè)集合A=x|(x-1)2<3x+7，xR，則集合AZ中有 個元素。4. 已知集體A=x|x1,B=x|a,且AB=R，則實數(shù)a的取值范圍是_。5. 某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為 .6. 已知全集U=R，集合A=x|x2x=0，B=x|1<x<1，則AB=（ ）A.0