量子力學(xué)作業(yè)

1、熱輻射的峰值波長(zhǎng)與輻射體溫度之間的關(guān)系被維恩位移定律：mT=b 表示，其中b=2.8978×103mK。求人體熱輻射的峰值波長(zhǎng)（設(shè)體溫為37°C）。解：T= 273+37 K=310K，由題意，人體輻射峰值波長(zhǎng)為：m=bT=9.35×106m。宇宙大爆炸遺留在宇宙空間的均勻各向同性的背景熱輻射相當(dāng)于T=2.726K黑體輻射。此輻射的峰值波長(zhǎng)是多少？在什么波段？ 解：T=2.726K，由維恩位移定律m=T=b2.8978×1032.726m=1.06mm，屬于毫米波。波長(zhǎng)為=0.01nm的X射線光子與靜止的電子發(fā)生碰撞。在與入射方向垂直的方向上觀察時(shí)，散射

2、X射線的波長(zhǎng)為多大？碰撞后電子獲得的能量是多少eV？解：設(shè)碰撞后，光子、電子運(yùn)動(dòng)方向與入射方向夾角分別為,，由能量守恒，=+mec21 ，動(dòng)hchc量守恒:=cos+hh;0=sin1hc；整理得:+2h2h2h201cos=22m20vccv聯(lián)立第一式：1-0=2h2hhchc電子能量：Ee= sin2;0=0.01nm ;則X射線的波長(zhǎng)為：1=sin2+0.01；-mec2mec21p2h在一束電子束中，單電子的動(dòng)能為E=20eV，求此電子的德布羅意波長(zhǎng)。 解：電子速度遠(yuǎn)小于光速，故：E=2m則：=p=2.76×1010m。 設(shè)歸一化波函數(shù)： x =Aen2x2,(<x&l

3、t;)a為常數(shù)，求歸一化常數(shù)A； 設(shè)歸一化波函數(shù)： x =Asin ax ,(0<x<a) ，n為正整數(shù)，a為常數(shù)，求歸一化常數(shù)A。+解：由歸一化條件： 2dx=21+a2x21; Ae2 dx=21a2x21，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故2 0 Ae2 dx=1，因?yàn)槭欠闯７e分，解得A=2n Asin x dxa=1,(0<x<1cosaa) 0A22i(prEt)2nx11dxA2x2a4nsin2nax =1A=aa2由粒子的波函數(shù)為 r,t =Aep2其中p 和E 是粒子的動(dòng)量和能量，r 和t 是空間與時(shí)間變量，p2，是普朗克常數(shù)，A 是歸一化常數(shù)。試建立自由粒子波函數(shù)所滿

4、足的方程。 解：能量與動(dòng)量的關(guān)系：E=2m=,p=k，對(duì)時(shí)間求微商：對(duì)空間求二次微商2=-i =E，t2聯(lián)立以上各式:i (r,t)=- 2(r,t)+U(r)(r,t)，以上即為波函數(shù)所滿足方程。t2m(x)=E(x)該粒子的初始波函數(shù)為設(shè)一個(gè)微觀粒子的哈密頓算符的本征方為Hnnn(x,0)=c11(x)+c22(x)設(shè)cn和n(x)是實(shí)數(shù)，求任意時(shí)刻的波函數(shù)及粒子的幾率密度。 2d2解：將本征方程寫(xiě)成算符形式： -+U(x)nn(x)=Enn(x)， 22mdx寬度為a的一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的本征函數(shù)為n x = asin ax ,(n=1,2,3)證本征函數(shù)的正交性： 0m, x n x

5、 dx=0 (mn)。a2n解：原子核內(nèi)的質(zhì)子和中子可以粗略地當(dāng)成處于無(wú)限深勢(shì)阱中而不能逸出，它們?cè)诤酥锌梢哉J(rèn)為是自由的。按一維無(wú)限深勢(shì)阱估算，質(zhì)子從第一激發(fā)態(tài)(n = 2)躍遷到基態(tài)(n = 1)時(shí)，釋放的能量是多少M(fèi)eV? 核的線度按a=1.0×1014m計(jì)算。解：理想金屬細(xì)桿中的電子可以當(dāng)成處于一維無(wú)限深勢(shì)阱中而不能逸出，它們?cè)诩?xì)桿中可以認(rèn)為是自由的。設(shè)細(xì)桿的長(zhǎng)度為a,電子的初始波函數(shù)為 x,0 =f x =Ax，(0<x<a,A為歸一化常數(shù))試求任意t 時(shí)刻電子的波函數(shù)(x,t)。解：=E(x)，如果粒子的初態(tài)為k(x)，求設(shè)一個(gè)微觀粒子的哈密頓不含時(shí)間，其本征方程為Hnnn粒子在任意時(shí)刻的波函數(shù)及幾率密度。解：設(shè)諧振子處于基態(tài)(n=0)：1.寫(xiě)出其波函數(shù)的表示式；2.由哈密頓算符的本征方程及基態(tài)波函數(shù) 計(jì)算基態(tài)能量。解：設(shè)想一個(gè)質(zhì)量為m =1的小珠子懸掛在一個(gè)小彈簧下面做振幅為 =1的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。已知彈簧的勁度系數(shù)為=.1N/m。按量子理論計(jì)算，此彈簧振子的能級(jí)間隔多大？與它現(xiàn)有的振動(dòng)能量對(duì)應(yīng)的量子數(shù)n是多少？由此可以看出宏觀諧振子與量子諧振子的關(guān)系是什么？解：試證諧振子處于第一激發(fā)態(tài)（n=1）時(shí)的波函數(shù)為：n()=(21)exp(-2) 2并求處在這個(gè)態(tài)時(shí)諧振子的最可幾位置。解：H2分子中原子的振動(dòng)相當(dāng)于一個(gè)諧振子，其等效勁度系