時(shí)間序列中的ARMA模型

1、.1ARMA模型的概念和構(gòu)造模型的概念和構(gòu)造 .2一、一、ARIMA模型的基本內(nèi)涵模型的基本內(nèi)涵一、一、ARMA模型的概念模型的概念n自回歸移動(dòng)平均模型（autoregressive moving average models,簡(jiǎn)記為ARMA模型），由因變量對(duì)它的滯后值以及隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值和滯后值回歸得到。n包括移動(dòng)平均過(guò)程（MA）、自回歸過(guò)程（AR）、自回歸移動(dòng)平均過(guò)程（ARMA）。.3ARIMA模型的概念模型的概念一一. 移動(dòng)平均過(guò)程移動(dòng)平均過(guò)程1. 移動(dòng)平均（移動(dòng)平均（MA）過(guò)程的表示：）過(guò)程的表示：n其中u為常數(shù)項(xiàng)，為白噪音過(guò)程n引入滯后算子L，原式可以寫(xiě)成: 或者 tt1t-12t-

2、2qt-qY =u+.+ qititti=1Y = u+L+ttY = u+(L )2q12q(L )= 1 +L +L.L.4ARIMA模型的概念模型的概念2.MA（q）過(guò)程的特征）過(guò)程的特征n1.n2.n3.自協(xié)方差 當(dāng)kq時(shí) 0 當(dāng)kq時(shí)，ACF(j)=0，此現(xiàn)象為截尾，是MA(q)過(guò)程的一個(gè)特征n如下圖：222j1j+12j+2qq-j12q1 j=0ACF(j)(.) (1.)0 jq .19ARMA模型的識(shí)別模型的識(shí)別n MA（2）過(guò)程 tt-1t 2ty =0.5u0.3uu.20ARMA模型的識(shí)別模型的識(shí)別 AR(p)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)n 時(shí)，偏自相關(guān)函數(shù)的取

3、值不為0n 時(shí)，偏自相關(guān)函數(shù)的取值為0nAR(p)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)p階截尾n如下圖：jpj q.21ARMA模型的識(shí)別模型的識(shí)別tt-1ty = 0 .5 yu.22ARMA模型的識(shí)別模型的識(shí)別tt-1ty= yu.23ARMA模型的識(shí)別模型的識(shí)別AR(p)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)以及過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)以及MA(q)過(guò)程的偏過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)n平穩(wěn)的AR(P)過(guò)程可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)MA(）過(guò)程，則AR(P)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的n一個(gè)可逆的MA(q)過(guò)程可轉(zhuǎn)化為一個(gè)AR(）過(guò)程，因此其偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的。.24ARMA模型的識(shí)別模型的識(shí)別ARMA(p,q)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和偏自相過(guò)程的自相關(guān)

4、函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)關(guān)函數(shù)nARMA過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的n如下圖：.25ARIMA模型的識(shí)別模型的識(shí)別tt-1t-1ty =0.5y0.5uu.26ARMA模型的識(shí)別模型的識(shí)別3. 利用自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)對(duì)利用自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)對(duì)ARMA模型進(jìn)行識(shí)別模型進(jìn)行識(shí)別n通過(guò)ADF檢驗(yàn)，來(lái)判斷序列過(guò)程的平穩(wěn)性；n利用自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)以及它們的圖形來(lái)確定p, q的值。.27（二）（二）ARMA模型的估計(jì)模型的估計(jì)ARMA模型的估計(jì)方法：模型的估計(jì)方法：n矩估計(jì)n極大似然估計(jì)n非線性估計(jì)n最小二乘估計(jì).28（三）（三）ARMA模型的診斷模型的診斷一一. 診斷的含義診斷

5、的含義二二. 診斷的方法診斷的方法三三. 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量n Box和Pierce提出的Q統(tǒng)計(jì)量n Ljung和Box(1978)提出的LB統(tǒng)計(jì)量。.29ARIMA模型的診斷模型的診斷1. Q統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 ，近似服從 （大樣本中） 分布n其中n為樣本容量，m為滯后長(zhǎng)度2. LB統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 ，服從 分布，其 中n為樣本容量，m為滯后長(zhǎng)度。3. LB統(tǒng)計(jì)量的特點(diǎn)統(tǒng)計(jì)量的特點(diǎn)m2kk = 1Q = n2(m)m2kk=1LB=n(n+2)(n-k)2(m).30ARMA模型的診斷模型的診斷四四. 信息準(zhǔn)則信息準(zhǔn)則(information criteria) nAkaike 信息準(zhǔn)則nSchwa

6、rz 信息準(zhǔn)則nHannan-Quinn 信息準(zhǔn)則n其中 為殘差平方， 是所有估計(jì)參數(shù)的個(gè)數(shù)，T為樣本容量。22kAIC=log()T2kSC=log()logTT22kHQIC=log()log(log T)T2k = p + q + 1.31ARMA模型的預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)一一. 基于基于AR模型的預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)n以平穩(wěn)的AR(2)過(guò)程為例：n其中 為零均值白噪音過(guò)程 nt1t-12t-2tY = c+Y+Y+ utut+ 11t2t-1t+ 1Y= c+Y +Y+ ut+ 21t+ 12tt+ 2Y= c+Y+Y + u.32ARMA模型的預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)n在t時(shí)刻，預(yù)測(cè) 的值： =n在t時(shí)刻

7、，預(yù)測(cè) 的值： 同理：nn結(jié)論t,1t+ 1tf= E (YI )1t-12t-2c+Y+Yt+1Yt+2Yt,2t+2t1t+1t2t1 t,12tf =E(YI) =c+E(YI)+Y =c+f +Yt,31t,22t,1f= c +f+ft,41t,32t,2f= c+f+f.33ARMA模型的預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)二二. 基于基于MA過(guò)程的預(yù)測(cè)過(guò)程的預(yù)測(cè)n過(guò)程n結(jié)論： MA (2) 過(guò)程僅有2期的記憶力.34ARMA模型的預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)三三. 基于基于ARMA過(guò)程的預(yù)測(cè)過(guò)程的預(yù)測(cè)n結(jié)合對(duì)AR過(guò)程和MA過(guò)程進(jìn)行預(yù)測(cè)nARMA模型一般用于短期預(yù)測(cè).35五、實(shí)例：五、實(shí)例：ARMA模型在金融數(shù)模型在金融數(shù)據(jù)中的應(yīng)用據(jù)中的應(yīng)用n數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)： 1991年1月到2005年1月的我國(guó)貨幣供應(yīng)量（廣義貨幣M2）的月度時(shí)間序列數(shù)據(jù)n目的目的： 說(shuō)明在Eviews5.0 軟件中利用B-J方法論建立合適的ARIMA（p,d,q）模型.36ARMA模型的估計(jì)模型的估計(jì).37利用利用ARMA模型進(jìn)行預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)n 用用dynamic方法估計(jì)方法估計(jì)2003年年1