時間序列中的ARMA模型

1、.1ARMA模型的概念和構(gòu)造模型的概念和構(gòu)造 .2一、一、ARIMA模型的基本內(nèi)涵模型的基本內(nèi)涵一、一、ARMA模型的概念模型的概念n自回歸移動平均模型（autoregressive moving average models,簡記為ARMA模型），由因變量對它的滯后值以及隨機誤差項的現(xiàn)值和滯后值回歸得到。n包括移動平均過程（MA）、自回歸過程（AR）、自回歸移動平均過程（ARMA）。.3ARIMA模型的概念模型的概念一一. 移動平均過程移動平均過程1. 移動平均（移動平均（MA）過程的表示：）過程的表示：n其中u為常數(shù)項，為白噪音過程n引入滯后算子L，原式可以寫成: 或者 tt1t-12t-

2、2qt-qY =u+.+ qititti=1Y = u+L+ttY = u+(L )2q12q(L )= 1 +L +L.L.4ARIMA模型的概念模型的概念2.MA（q）過程的特征）過程的特征n1.n2.n3.自協(xié)方差 當(dāng)kq時 0 當(dāng)kq時，ACF(j)=0，此現(xiàn)象為截尾，是MA(q)過程的一個特征n如下圖：222j1j+12j+2qq-j12q1 j=0ACF(j)(.) (1.)0 jq .19ARMA模型的識別模型的識別n MA（2）過程 tt-1t 2ty =0.5u0.3uu.20ARMA模型的識別模型的識別 AR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)過程的偏自相關(guān)函數(shù)n 時，偏自相關(guān)函數(shù)的取

3、值不為0n 時，偏自相關(guān)函數(shù)的取值為0nAR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)p階截尾n如下圖：jpj q.21ARMA模型的識別模型的識別tt-1ty = 0 .5 yu.22ARMA模型的識別模型的識別tt-1ty= yu.23ARMA模型的識別模型的識別AR(p)過程的自相關(guān)函數(shù)以及過程的自相關(guān)函數(shù)以及MA(q)過程的偏過程的偏自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)n平穩(wěn)的AR(P)過程可以轉(zhuǎn)化為一個MA(）過程，則AR(P)過程的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的n一個可逆的MA(q)過程可轉(zhuǎn)化為一個AR(）過程，因此其偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的。.24ARMA模型的識別模型的識別ARMA(p,q)過程的自相關(guān)函數(shù)和偏自相過程的自相關(guān)

4、函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)關(guān)函數(shù)nARMA過程的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的n如下圖：.25ARIMA模型的識別模型的識別tt-1t-1ty =0.5y0.5uu.26ARMA模型的識別模型的識別3. 利用自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)對利用自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)對ARMA模型進(jìn)行識別模型進(jìn)行識別n通過ADF檢驗，來判斷序列過程的平穩(wěn)性；n利用自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)以及它們的圖形來確定p, q的值。.27（二）（二）ARMA模型的估計模型的估計ARMA模型的估計方法：模型的估計方法：n矩估計n極大似然估計n非線性估計n最小二乘估計.28（三）（三）ARMA模型的診斷模型的診斷一一. 診斷的含義診斷

5、的含義二二. 診斷的方法診斷的方法三三. 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量n Box和Pierce提出的Q統(tǒng)計量n Ljung和Box(1978)提出的LB統(tǒng)計量。.29ARIMA模型的診斷模型的診斷1. Q統(tǒng)計量統(tǒng)計量 ，近似服從 （大樣本中） 分布n其中n為樣本容量，m為滯后長度2. LB統(tǒng)計量統(tǒng)計量 ，服從 分布，其 中n為樣本容量，m為滯后長度。3. LB統(tǒng)計量的特點統(tǒng)計量的特點m2kk = 1Q = n2(m)m2kk=1LB=n(n+2)(n-k)2(m).30ARMA模型的診斷模型的診斷四四. 信息準(zhǔn)則信息準(zhǔn)則(information criteria) nAkaike 信息準(zhǔn)則nSchwa

6、rz 信息準(zhǔn)則nHannan-Quinn 信息準(zhǔn)則n其中 為殘差平方， 是所有估計參數(shù)的個數(shù)，T為樣本容量。22kAIC=log()T2kSC=log()logTT22kHQIC=log()log(log T)T2k = p + q + 1.31ARMA模型的預(yù)測模型的預(yù)測一一. 基于基于AR模型的預(yù)測模型的預(yù)測n以平穩(wěn)的AR(2)過程為例：n其中 為零均值白噪音過程 nt1t-12t-2tY = c+Y+Y+ utut+ 11t2t-1t+ 1Y= c+Y +Y+ ut+ 21t+ 12tt+ 2Y= c+Y+Y + u.32ARMA模型的預(yù)測模型的預(yù)測n在t時刻，預(yù)測 的值： =n在t時刻

7、，預(yù)測 的值： 同理：nn結(jié)論t,1t+ 1tf= E (YI )1t-12t-2c+Y+Yt+1Yt+2Yt,2t+2t1t+1t2t1 t,12tf =E(YI) =c+E(YI)+Y =c+f +Yt,31t,22t,1f= c +f+ft,41t,32t,2f= c+f+f.33ARMA模型的預(yù)測模型的預(yù)測二二. 基于基于MA過程的預(yù)測過程的預(yù)測n過程n結(jié)論： MA (2) 過程僅有2期的記憶力.34ARMA模型的預(yù)測模型的預(yù)測三三. 基于基于ARMA過程的預(yù)測過程的預(yù)測n結(jié)合對AR過程和MA過程進(jìn)行預(yù)測nARMA模型一般用于短期預(yù)測.35五、實例：五、實例：ARMA模型在金融數(shù)模型在金融數(shù)據(jù)中的應(yīng)用據(jù)中的應(yīng)用n數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)： 1991年1月到2005年1月的我國貨幣供應(yīng)量（廣義貨幣M2）的月度時間序列數(shù)據(jù)n目的目的： 說明在Eviews5.0 軟件中利用B-J方法論建立合適的ARIMA（p,d,q）模型.36ARMA模型的估計模型的估計.37利用利用ARMA模型進(jìn)行預(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測n 用用dynamic方法估計方法估計2003年年1