高二數(shù)學導數(shù)導學案

1、高三數(shù)學導學案授課教師姚智鑫授課對象葉沁授課時間2013.02.03授課題目導數(shù)課型復習使用課時6課時教學目標1、掌握導數(shù)的概念。2、通過導數(shù)的圖形變換理解導數(shù)的幾何意義就是曲線在該點的切線的斜率，理解導數(shù)的概念并會運用概念求導數(shù)。3、學會利用公式，求一些函數(shù)的導數(shù)。4、理解變化率的概念，解決一些物理上的簡單問題。5、正確理解利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理。6、掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。教學重點和難點導數(shù)的概念及導數(shù)的應(yīng)用。參考教材高中數(shù)學§ 導數(shù)的概念探究任務(wù)一：瞬時速度問題1：在高臺跳水運動中，運動員有不同時刻的速度是新知：1 瞬時速度定義：物體在某一時刻(某一位置)的速

2、度，叫做瞬時速度.探究任務(wù)二：導數(shù)問題2： 瞬時速度是平均速度當趨近于0時的導數(shù)的定義：函數(shù)在處的瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù)，記作或即注意：(1)函數(shù)應(yīng)在點的附近有定義，否則導數(shù)不存在(2)在定義導數(shù)的極限式中，趨近于0可正、可負、但不為0，而可以為0(3)是函數(shù)對自變量在范圍內(nèi)的平均變化率，它的幾何意義是過曲線上點（）及點）的割線斜率(4)導數(shù)是函數(shù)在點的處瞬時變化率，它反映的函數(shù)在點處變化的快慢程度. 小結(jié)：由導數(shù)定義，高度h關(guān)于時間t的導數(shù)就是運動員的瞬時速度，氣球半徑關(guān)于體積V的導數(shù)就是氣球的瞬時膨脹率. 典型例題例1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油

3、進行冷卻和加熱. 如果在第xh時，原油的溫度（單位：）為. 計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.總結(jié)：函數(shù)平均變化率的符號刻畫的是函數(shù)值的增減；它的絕對值反映函數(shù)值變化的快慢. 例2 已知質(zhì)點M按規(guī)律s=2t2+3做直線運動(位移單位：cm，時間單位：s)，(1)當t=2，t=0.01時，求.(2)當t=2，t=0.001時，求.(3)求質(zhì)點M在t=2時的瞬時速度小結(jié)：利用導數(shù)的定義求導，步驟為：第一步，求函數(shù)的增量；第二步：求平均變化率；第三步：取極限得導數(shù).練1. 一球沿一斜面自由滾下，其運動方程是(位移單位：m，時間單位：s)，求小球在時的瞬時速度3、 總結(jié)提升

4、4、 當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分：1. 一直線運動的物體，從時間到時，物體的位移為，那么為（ ）從時間到時，物體的平均速度； 在時刻時該物體的瞬時速度； 當時間為時物體的速度； 從時間到時物體的平均速度2. 在 =1處的導數(shù)為（ ） A2 B2 C D13. 在中，不可能（ ）A大于0 B小于0 C等于0 D大于0或小于04.如果質(zhì)點A按規(guī)律運動，則在時的瞬時速度為5. 若，則等于課后作業(yè) 1. 高臺跳水運動中，時運動員相對于水面的高度是：(單位: m),求運動員在時的瞬時速度,并解釋此時的運動狀況.2. 一質(zhì)量為3kg的物體作直線運動,設(shè)運動距離s(單位：cm)與時間（單位：

5、s）的關(guān)系可用函數(shù)表示，并且物體的動能. 求物體開始運動后第5s時的動能.§ 導數(shù)的幾何意義 學習目標 通過導數(shù)的圖形變換理解導數(shù)的幾何意義就是曲線在該點的切線的斜率，理解導數(shù)的概念并會運用概念求導數(shù). 學習過程 一、課前準備復習1：曲線上的連線稱為曲線的割線，斜率復習2：設(shè)函數(shù)在附近有定義當自變量在附近改變時，函數(shù)值也相應(yīng)地改變，如果當時，平均變化率趨近于一個常數(shù)，則數(shù)稱為函數(shù)在點的瞬時變化率. 記作：當時， 二、新課導學學習探究探究任務(wù)：導數(shù)的幾何意義問題1：當點，沿著曲線趨近于點時，割線的變化趨是什么？新知：當割線P無限地趨近于某一極限位置PT我們就把極限位置上的直線PT，叫做

6、曲線C在點P 處的切線割線的斜率是：當點無限趨近于點P時，無限趨近于切線PT的斜率. 因此，函數(shù)在處的導數(shù)就是切線PT的斜率，即新知：函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義是曲線在處切線的斜率. 即=典型例題例1 如圖,它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖象.根據(jù)圖象,請描述、比較曲線在附近的變化情況.動手試試練1. 求雙曲線在點處的切線的斜率,并寫出切線方程.練2. 求在點處的導數(shù).三、總結(jié)提升學習小結(jié)函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義是曲線在處切線的斜率. 即=其切線方程為知識拓展導數(shù)的物理意義：如果把函數(shù)看做是物體的運動方程（也叫做位移公式，自變量表示時間），那么導數(shù)表示運動物體在時刻的速度，即在的瞬時速度

7、.即而運動物體的速度對時間的導數(shù)，即稱為物體運動時的瞬時加速度. 當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分：1. 已知曲線上一點,則點處的切線斜率為（ ）A. 4 B. 16 C. 8 D. 22. 曲線在點處的切線方程為（ ）A B C D3. 在可導，則（ ）A與、都有關(guān) B僅與有關(guān)而與無關(guān)C僅與有關(guān)而與無關(guān) D與、都無關(guān)4. 若函數(shù)在處的導數(shù)存在，則它所對應(yīng)的曲線在點的切線方程為5. 已知函數(shù)在處的導數(shù)為11，則= 課后作業(yè) 3、 如圖,試描述函數(shù)在=附近的變化情況.2已知函數(shù)的圖象,試畫出其導函數(shù)圖象的大致形狀.§幾個常用函數(shù)導數(shù) 學習目標 1.掌握四個公式，理解公式的證明

8、過程；2.學會利用公式，求一些函數(shù)的導數(shù)；3.理解變化率的概念，解決一些物理上的簡單問題. 學習過程 一、課前準備復習1：導數(shù)的幾何意義是：曲線上點（）處的切線的斜率.因此，如果在點可導，則曲線在點（）處的切線方程為復習2：求函數(shù)的導數(shù)的一般方法：（1） 求函數(shù)的改變量（2）求平均變化率（2） （3）取極限，得導數(shù) =（3） 二、新課導學學習探究探究任務(wù)一：函數(shù)的導數(shù).問題：如何求函數(shù)的導數(shù)新知：表示函數(shù)圖象上每一點處的切線斜率為.若表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則，可以解釋為即一直處于靜止狀態(tài).試試：求函數(shù)的導數(shù)反思：表示函數(shù)圖象上每一點處的切線斜率為.若表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則，可以解釋為探究

9、任務(wù)二：在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)導數(shù)定義，求它們的導數(shù). （1）從圖象上看，它們的導數(shù)分別表示什么？（2）這三個函數(shù)中，哪一個增加得最快？哪一個增加得最慢？（3）函數(shù)增（減）的快慢與什么有關(guān)？典型例題例1 求函數(shù)的導數(shù)變式：求函數(shù)的導數(shù)小結(jié)：利用定義求導法是最基本的方法，必須熟記求導的三個步驟：作差，求商，取極限. 例2 畫出函數(shù)的圖象.根據(jù)圖象，描述它的變化情況，并求出曲線在點處的切線方程.變式1：求出曲線在點處的切線方程.變式2：求過曲線上點且與過這點的切線垂直的直線方程.小結(jié)：利用導數(shù)求切線方程時，一定要判斷所給點是否為切點，它們的求法是不同的.動手試試練1. 求曲

10、線的斜率等于4的切線方程.三、總結(jié)提升學習小結(jié)1. 利用定義求導法是最基本的方法，必須熟記求導的三個步驟：，.2. 利用導數(shù)求切線方程時，一定要判斷所給點是否為切點，一定要記住它們的求法是不同的.當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分：1.的導數(shù)是（ ） A0 B1 C不存在 D不確定2.已知,則（ ） A0 B2 C6 D93. 在曲線上的切線的傾斜角為的點為（ ）A B C D4. 過曲線上點且與過這點的切線平行的直線方程是5. 物體的運動方程為，則物體在時的速度為，在時的速度為. 課后作業(yè) 1. 已知圓面積，根據(jù)導數(shù)定義求.§基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則復習1：常

11、見函數(shù)的導數(shù)公式：； ；且；.復習2：根據(jù)常見函數(shù)的導數(shù)公式計算下列導數(shù)（1） （2） （3） （4）二、新課導學學習探究探究任務(wù)：兩個函數(shù)的和(或差)積商的導數(shù)新知：試試：根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)運算法則，求函數(shù)的導數(shù).小結(jié)：函數(shù)在某點處導數(shù)的大小表示函數(shù)在此點附近變化的快慢.動手試試練1. 求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）；（2）；（3）； （4）.練2. 求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）；（2）；（3）三、總結(jié)提升學習小結(jié)1由常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運算得到的簡單的函數(shù)均可利用求導法則與導數(shù)公式求導，而不需要回到導數(shù)的定義去求此類簡單函數(shù)的導數(shù). 2對于函數(shù)求導，一般要遵循先化

12、簡，再求導的基本原則.求導時，不但要重視求導法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用.在實施化簡時，首先要注意化簡的等價性，避免不必要的運算失誤.當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分：1. 函數(shù)的導數(shù)是（ ）A B C D2. 函數(shù)的導數(shù)是（ ）A B C D3. 的導數(shù)是（ ）A B C D4. 函數(shù)，且，則=5.曲線在點處的切線方程為課后作業(yè) 1. 求描述氣球膨脹狀態(tài)的函數(shù)的導數(shù).2. 已知函數(shù). （1）求這個函數(shù)的導數(shù)；（2）求這個函數(shù)在點處的切線方程. §函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)一、課前準備復習1：以前，我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性. 對于任意的兩個數(shù)x1，x2I，

13、且當x1x2時，都有，那么函數(shù)f(x)就是區(qū)間I上的函數(shù). 復習2： ； ； ； 二、新課導學學習探究探究任務(wù)一：函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：問題：我們知道，曲線的切線的斜率就是函數(shù)的導數(shù).從函數(shù)的圖像來觀察其關(guān)系：y=f(x)=x24x+3切線的斜率f(x)(2，+)(，2)在區(qū)間（2，）內(nèi)，切線的斜率為，函數(shù)的值隨著x的增大而，即時，函數(shù)在區(qū)間（2，）內(nèi)為函數(shù)；在區(qū)間（，2）內(nèi)，切線的斜率為，函數(shù)的值隨著x的增大而，即0時，函數(shù)在區(qū)間（，2）內(nèi)為函數(shù).新知：一般地，設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).

14、試試：判斷下列函數(shù)的的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）；（3）； （4）.反思：用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的三個步驟：求函數(shù)f(x)的導數(shù).令解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.令解不等式，得x的范圍就是遞減區(qū)間.探究任務(wù)二：如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有，那么函數(shù)有什么特性？典型例題例1 已知導函數(shù)的下列信息：當時，；當，或時，；當，或時，.試畫出函數(shù)圖象的大致形狀.變式：函數(shù)的圖象如圖所示，試畫出導函數(shù)圖象的大致形狀.例2 如圖，水以常速（即單位時間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度與時間的函數(shù)關(guān)系圖象.動手試試練1. 判斷下列函數(shù)的的單調(diào)性，并求出單

15、調(diào)區(qū)間：（1）； （2）； （3）； （4）.練2. 求證：函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù).三、總結(jié)提升學習小結(jié)用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：求函數(shù)f(x)的定義域；求函數(shù)f(x)的導數(shù).令，求出全部駐點；駐點把定義域分成幾個區(qū)間，列表考查在這幾個區(qū)間內(nèi)的符號，由此確定的單調(diào)區(qū)間注意：列表時，要注意將定義域的“斷點”要單獨作為一列考慮. 知識拓展一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快，這時，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些. 如圖，函數(shù)在或內(nèi)的圖象“陡峭”，在或內(nèi)的圖象“平緩”.當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分：1. 若為

16、增函數(shù)，則一定有（ ）A B C D2. （2004全國）函數(shù)在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（ ）A B C D3. 若在區(qū)間內(nèi)有，且，則在內(nèi)有（ ）A B C D不能確定4.函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是5.已知，則等于 課后作業(yè) 1. 判斷下列函數(shù)的的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）；（3）.§函數(shù)的極值與導數(shù) 學習目標 1.理解極大值、極小值的概念 2.能夠運用判別極大值、極小值的方法來求函數(shù)的極值；3.掌握求可導函數(shù)的極值的步驟. 學習過程 一、課前準備復習1：設(shè)函數(shù)y=f(x) 在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)，那么函

17、數(shù)y=f(x)在為這個區(qū)間內(nèi)的函數(shù).復習2：用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：求函數(shù)f(x)的導數(shù).令解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.令解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間.二、新課導學學習探究探究任務(wù)一： 問題1：如下圖，函數(shù)在等點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？在這些點的導數(shù)值是多少？在這些點附近，的導數(shù)的符號有什么規(guī)律？ 看出，函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其它點的函數(shù)值都，；且在點附近的左側(cè)0，右側(cè)0. 類似地，函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其它點的函數(shù)值都，；而且在點附近的左側(cè)0，右側(cè)0. 新知：我們把點a叫做函數(shù)的極小值點，叫做函數(shù)的極小值；點b叫做函數(shù)的極大值點，叫做函數(shù)的極大值.

18、極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.極值反映了函數(shù)在某一點附近的，刻畫的是函數(shù)的.試試：（1）函數(shù)的極值（填是，不是）唯一的.(2) 一個函數(shù)的極大值是否一定大于極小值.(3)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的(內(nèi)，外)部，區(qū)間的端點（能，不能）成為極值點.反思：極值點與導數(shù)為0的點的關(guān)系：導數(shù)為0的點是否一定是極值點. 比如：函數(shù)在x=0處的導數(shù)為，但它（是或不是）極值點. 即：導數(shù)為0是點為極值點的條件.典型例題例1 求函數(shù)的極值.變式1：已知函數(shù)在點處取得極大值5，其導函數(shù)的圖象經(jīng)過點，如圖所示，求 (1)的值(2)a，b，c的值.xo12y小結(jié)：求可導函數(shù)f(x)的極值

19、的步驟:(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導數(shù)f(x)；(3)求方程f(x)=0的根（4）用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值.變式2：已知函數(shù).（1）寫出函數(shù)的遞減區(qū)間；（2）討論函數(shù)的極大值和極小值，如有，試寫出極值；（3）畫出它的大致圖象.動手試試練1. 求下列函數(shù)的極值：（1）；（2）；（3）；（4）.練2. 下圖是導函數(shù)的圖象，試找出函數(shù)的極值點，并指出哪些是極大值點，哪些

20、是極小值點.三、總結(jié)提升學習小結(jié)1. 求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟；2. 由導函數(shù)圖象畫出原函數(shù)圖象；由原函數(shù)圖象畫導函數(shù)圖象.知識拓展函數(shù)在某點處不可導,但有可能是該函數(shù)的極值點.由些可見：“有極值但不一定可導”當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分：1. 函數(shù)的極值情況是（ ）A有極大值，沒有極小值 B有極小值，沒有極大C既有極大值又有極小值D既無極大值也極小值2. 三次函數(shù)當時，有極大值4；當時，有極小值0，且函數(shù)過原點，則此函數(shù)是（ ）A BC D3. 函數(shù)在時有極值10，則a、b的值為（ ）A或 B或 C D以上都不正確4. 函數(shù)在時有極值10，則a的值為5. 函數(shù)的極大值為正

21、數(shù)，極小值為負數(shù)，則的取值范圍為 課后作業(yè) 1. 如圖是導函數(shù)的圖象,在標記的點中，在哪一點處（1）導函數(shù)有極大值？（2）導函數(shù)有極小值？（3）函數(shù)有極大值？（4）導函數(shù)有極小值？2. 求下列函數(shù)的極值：（1） ；（2）.§函數(shù)的最大（?。┲蹬c導數(shù)一、課前準備復習1：若滿足，且在的兩側(cè)的導數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負”，則是的點，是極值；如果在兩側(cè)滿足“左負右正”，則是的點，是極值復習2：已知函數(shù)在時取得極值，且，（1）試求常數(shù)a、b、c的值；（2）試判斷時函數(shù)有極大值還是極小值，并說明理由.二、新課導學學習探究探究任務(wù)一：函數(shù)的最大（?。┲?問題：觀察

22、在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象，你能找出它的極大（?。┲祮?？最大值，最小值呢？ 圖2圖1在圖1中，在閉區(qū)間上的最大值是，最小值是；在圖2中，在閉區(qū)間上的極大值是，極小值是；最大值是，最小值是.新知：一般地，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值. 試試：上圖的極大值點，為極小值點為；最大值為，最小值為.反思：1.函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的2.函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的條件3.函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，可能一個沒有.典型例題例1 求函數(shù)在0,3上的最大值與最小值.小結(jié)：求最值的步驟（1）求的極值；（2）比較極值與區(qū)間端點值，其中最大的值為最大值，最小的值為最小值.例2 已知,(0,+).是否存在實數(shù),使同時滿足下列兩個條件：（1）在上是減函數(shù)，