高思導(dǎo)引四年級(jí)十六講統(tǒng)籌與對(duì)策教師

1、第16 講統(tǒng)籌與對(duì)策 整理人：張肖內(nèi)容概述生活中的統(tǒng)籌規(guī)劃問(wèn)題，包括合理安排順序、選擇最短或最長(zhǎng)路線、人員分配、貨物調(diào)度等，一般采用枚舉、比較和逐步調(diào)整的方法. 各種游戲?qū)Σ邌?wèn)題，在必勝方案中通常要占據(jù)關(guān)鍵位置或選取特殊數(shù)值，分析對(duì)一般從簡(jiǎn)單情形出發(fā)進(jìn)行逆推.典型問(wèn)題1媽媽讓冬冬給客人燒水沏茶洗開(kāi)水壺要用1分鐘，燒開(kāi)水要用15分鐘，洗茶壺要用1分鐘，洗茶杯要用1分鐘，拿茶葉要用2分鐘冬冬估算了一下，完成這些工作要花20分鐘. 為了盡快給客人沏茶，你認(rèn)為最合理的安排，最少需要多少分鐘?答案：16分鐘解析：在試題中，燒開(kāi)水之前一定要洗開(kāi)水壺，但是在燒開(kāi)水的同時(shí)，可以把洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉三件事都

2、做完。所以根據(jù)先洗水壺，然后燒開(kāi)水，在燒水的時(shí)候去洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，共需要1+15=16分鐘。2理發(fā)店里同時(shí)來(lái)了A、B、C三個(gè)顧客，A理板寸需要7分鐘，B理光頭需要10分鐘，C燙卷發(fā)需要40分鐘請(qǐng)問(wèn)：如何安排這三個(gè)人的理發(fā)順序才能使得他們?nèi)怂ǖ臅r(shí)間總和最短?這個(gè)最短的時(shí)間是多少?答案：A先理發(fā)，然后B，最后C；81分鐘解析：因?yàn)槔戆l(fā)時(shí)間固定，為使所花時(shí)間總和最短，則只需三人等待時(shí)間最短，因此按照理發(fā)時(shí)間從短到長(zhǎng)的順序理發(fā)，這樣A只理板寸，花費(fèi)7分鐘，B等待A并理光頭，共花費(fèi)7+10=17分鐘，C等待A、B并燙卷發(fā)，共花費(fèi)7+10+40=57分鐘，三人共花費(fèi)7+17+57=81分鐘。3

3、西點(diǎn)店里賣(mài)的面包都是5個(gè)一袋或3個(gè)一袋的，不拆開(kāi)零售已知5個(gè)一袋的售價(jià)是8元，3個(gè)一袋的售價(jià)是5元，要給47位同學(xué)每人發(fā)1個(gè)面包最少要花多少錢(qián)?答案：76元解析：5個(gè)一袋的面包單價(jià)為8÷5=1.6元，3個(gè)一袋的面包單價(jià)為5÷3=1.67元，1.6<1.67，所以要盡量多購(gòu)買(mǎi)5個(gè)一袋的面包，同時(shí)不要讓面包有剩余。47÷5=92，2不能被3整除，將兩袋5個(gè)的與剩余的兩個(gè)湊成12個(gè)，可正好換成4袋3個(gè)的，因此需購(gòu)買(mǎi)7袋5個(gè)的和4袋3個(gè)的，共花8×7+5×4=76元。4如圖16-1的方格屏幕上，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)是1厘米，一條貪吃蛇從左下角出發(fā)，沿

4、著格線爬行，如果它想吃掉圖中的3個(gè)“”，最少要爬多遠(yuǎn)?請(qǐng)畫(huà)出路線.答案：8厘米解析：路線如右圖紅線所示 5如圖16-2所示，一條環(huán)形公路上有A、B、C、D四個(gè)倉(cāng)庫(kù)A倉(cāng)庫(kù)存鹽40噸，B倉(cāng)庫(kù)存鹽5噸，C倉(cāng)庫(kù)存鹽35噸，D倉(cāng)庫(kù)沒(méi)有鹽現(xiàn)在要調(diào)整存放數(shù)量，計(jì)劃A、B、C、D每個(gè)倉(cāng)庫(kù)各存鹽20噸已知每噸鹽運(yùn)l千米需要運(yùn)費(fèi)2元試問(wèn)：為完成上述調(diào)運(yùn)計(jì)劃，最少需要多少元運(yùn)費(fèi)?(圖16-2中公路旁的數(shù)字表示相鄰倉(cāng)庫(kù)間的里程數(shù)，單位為千米)答案：700元解析：每個(gè)倉(cāng)庫(kù)各存鹽20噸，則A倉(cāng)庫(kù)需運(yùn)出20噸，B倉(cāng)庫(kù)需運(yùn)入15噸，C倉(cāng)庫(kù)需運(yùn)出15噸，D倉(cāng)庫(kù)需運(yùn)入20噸，為使運(yùn)費(fèi)最少，則我們只選擇相鄰倉(cāng)庫(kù)進(jìn)行轉(zhuǎn)運(yùn)。方案可為A

5、倉(cāng)庫(kù)向D倉(cāng)庫(kù)運(yùn)20噸，C倉(cāng)庫(kù)向B倉(cāng)庫(kù)運(yùn)15噸，這樣運(yùn)費(fèi)為2×10×20+2×10×15=700元。62008個(gè)小方格從左到右排成一行，甲、乙兩人輪流在空格內(nèi)放棋子，每人每次放一枚規(guī)定如下：每個(gè)空格至多放一枚棋子；當(dāng)甲放好一枚棋子后，乙必須在緊挨著這枚棋子的空格內(nèi)放；而當(dāng)乙放好棋子后，甲必須隔一個(gè)位子放；誰(shuí)放不了就判誰(shuí)輸如果乙一開(kāi)始在左數(shù)第一個(gè)方格內(nèi)放了一枚棋子，誰(shuí)將有必勝策略?答案：甲7有9根火柴，甲、乙兩人輪流取，規(guī)定每次可以取1根或者2根火柴，以取走最后一根火柴的人為勝者試問(wèn)：如果甲先取，誰(shuí)有必勝的策略?答案：乙解析：1+2=3，使用倒推法，假設(shè)現(xiàn)在

6、一個(gè)人取到第6根火柴，那么無(wú)論另一個(gè)人下一次取1根還是2根，這個(gè)人都可以通過(guò)取2根或者1根取到最后一根火柴，所以要想取到最后一根即第9根火柴，那這個(gè)人必須也得取到第6、3根火柴，因?yàn)榧紫热×耍抑荒苋?根或2根，所以乙肯定可以取到第3根火柴，所以乙有必勝的策略，即無(wú)論甲每次取幾根，乙都在甲的基礎(chǔ)上湊夠3根即可。8有100根火柴，甲、乙兩人輪流取，規(guī)定每次可以取1根、2根、3根或4根火柴，誰(shuí)取到最后一根火柴誰(shuí)輸甲先取問(wèn)：誰(shuí)有必勝的策略?答案：甲解析：1+4=5，使用倒推法，取到最后一根火柴的人輸，則取到第99根火柴的人贏，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為誰(shuí)對(duì)取到第99根火柴有必勝的策略。假設(shè)現(xiàn)在一個(gè)人取到第94根

7、火柴，那么無(wú)論另一個(gè)人下一次取1根、2根、3根還是4根，這個(gè)人都可以通過(guò)取4根、3根、2根或者1根取到第99根火柴，所以要想取到第99根火柴，那這個(gè)人必須也得取到第94、89、849、4根火柴，因?yàn)榧紫热?，且他能?根，所以甲只要第一次取4根火柴，以后無(wú)論乙每次取幾根，他都在乙的基礎(chǔ)上湊夠5根即可。因此，甲有必勝的策略， 9黑板上寫(xiě)有l(wèi)，2，3，4，5，2009這些自然數(shù)，甲先乙后，兩人輪流擦去一個(gè)自然數(shù)如果最后剩下的兩個(gè)自然數(shù)奇偶性不同，那么甲就勝，否則乙勝請(qǐng)問(wèn)：誰(shuí)有必勝的策略，具體的策略是怎樣的?答案：甲有必勝的策略，甲先擦去一個(gè)奇數(shù)，以后每次擦去和乙不同奇偶性的一個(gè)數(shù)解析：l，2，3，4

8、，5，2009擦到剩最后兩個(gè)數(shù)時(shí)，甲比乙多擦了一次，且2009個(gè)數(shù)中奇數(shù)比偶數(shù)多1個(gè)，所以甲先擦去一個(gè)奇數(shù)，以后每次擦去和乙不同奇偶性的一個(gè)數(shù)，這樣最后會(huì)剩下一奇一偶，甲獲勝。10兩人輪流往一個(gè)圓桌面上放同樣大小的硬幣，規(guī)則是：每人每次只能放一枚，硬幣不許重疊，誰(shuí)放完最后一枚硬幣而使對(duì)方再也無(wú)處可放，誰(shuí)就獲勝問(wèn)：先放者如何取勝?答案：先放者先在桌面中心放一枚，無(wú)論后者放在哪里，先放者都將硬幣放在與之關(guān)于中心對(duì)稱的位置上。解析：因?yàn)閳A為中心對(duì)稱圖形，先放者占據(jù)了中心點(diǎn)后，無(wú)論對(duì)方放那個(gè)位置他都有對(duì)稱位置可放。拓展篇1小悅中午做燒豆腐，共需要七道工序，每道工序的時(shí)間如下：切豆腐2分鐘，切肉片2分鐘

9、，準(zhǔn)備蔥姜蒜3分鐘，準(zhǔn)備佐料1分鐘，燒熱鍋2分鐘，燒熱油2分鐘，炒菜4分鐘那么小悅燒好這道菜最短需要多少分鐘?答案：12分鐘解析：題目中在炒菜之前一定要準(zhǔn)備好所有材料并將鍋燒熱，油燒熱，但是在燒熱鍋的時(shí)候可以切豆腐，在燒熱油的時(shí)候可以切肉片，所以共需要的時(shí)間是3+1+2+2+4=12分鐘。2小雜貨店里有一位售貨員賣(mài)貨，同時(shí)來(lái)了A、B、C、D、E五個(gè)顧客A買(mǎi)糖果需要2分鐘；B買(mǎi)大米需要6分鐘；C買(mǎi)香煙和啤酒需要4分鐘；D買(mǎi)水果需要3分鐘；E買(mǎi)蔬菜需要5分鐘請(qǐng)問(wèn)：售貨員應(yīng)該如何安排五個(gè)人的順序，使得這五個(gè)人排隊(duì)等候的時(shí)間總和最短?這個(gè)最短的時(shí)間是多少?(只計(jì)算每個(gè)人排隊(duì)的時(shí)間，不計(jì)算買(mǎi)東西的時(shí)間)

10、答案：按照ADCEB的順序進(jìn)行購(gòu)買(mǎi)；這個(gè)最短時(shí)間是30分鐘。解析：若使排隊(duì)等候的時(shí)間最短，則需按照購(gòu)物時(shí)間從短到長(zhǎng)的順序排隊(duì)，即這五人按照ADCEB的順序進(jìn)行購(gòu)買(mǎi)，總共需要等候的時(shí)間是2×4+3×3+4×2+5×1=30分鐘。3有47位小朋友，老師要給每人發(fā)1支紅筆和1支藍(lán)筆商店中每種筆都是5支一包或3支一包，不能打開(kāi)零售5支一包的紅筆61元，藍(lán)筆70元，3支一包的紅筆40元，藍(lán)筆47元老師買(mǎi)所需要的筆最少要花多少元?答案：1265元解析：紅筆5支一包的單價(jià)為61÷5=12.2元，3支一包的單價(jià)為40÷3=13.33元藍(lán)筆5支一包的單

11、價(jià)為70÷5=14元，3支一包的單價(jià)為47÷3=15.67元兩種筆均是5支一包的比較便宜，因此我們盡量購(gòu)買(mǎi)5支一包的，且保證沒(méi)有多余的筆。47÷5=92， 2不能被3整除，拿出兩包5支的與2支湊夠12支，可以被三整除。因此老師需購(gòu)買(mǎi)5支裝的紅筆與藍(lán)筆各7包，購(gòu)買(mǎi)3支裝的紅筆與藍(lán)筆各4包，需花費(fèi)（61+70）×7+（40+47）×4=1265元4圖16-3是一張道路圖，每段路旁標(biāo)注的數(shù)值表示小悅走這段路所需的分鐘數(shù)問(wèn)：小悅從A出發(fā)走到B最快需要多少分鐘?答案：18分鐘解析：路線如右圖紅線所示5+1+10+2=18分鐘5如圖16-4，一條路上從西向

12、東有A、B、C、D、E五所學(xué)校，分別有200人、300 人、400人、500人、600人任意相鄰的兩所學(xué)校之間的距離都是100米，現(xiàn)在要在某所學(xué)校的門(mén)口修建一個(gè)公共汽車(chē)站，要使所有人到達(dá)車(chē)站的距離之和最小，車(chē)站應(yīng)該建在什么地方?距離的總和最少是多少?答案：車(chē)站建在D，距離總和為220千米解析：當(dāng)人數(shù)相同時(shí)，將車(chē)站建在C比較好，但現(xiàn)在從A到E人數(shù)逐漸增加，所以車(chē)站應(yīng)該偏右，即考慮在D或E建車(chē)站，計(jì)算比較D建學(xué)校距離總和最少。距離和為200×300+300×200+400×100+600×100=220000米=220千米6北京和上海分別制成同樣型號(hào)的車(chē)床1

13、0臺(tái)和6臺(tái)，這些車(chē)床準(zhǔn)備分配給武漢11臺(tái)、西安5臺(tái)，每臺(tái)車(chē)床的運(yùn)費(fèi)如圖16-5所示，單位為百元那么總運(yùn)費(fèi)最少是多少元?答案：9700元解析：運(yùn)費(fèi)排序從低到高依次為北京到武漢、北京到西安、上海到武漢以及上海到西安，因此，上海的6臺(tái)全部運(yùn)到武漢，北京分配給武漢和西安各5臺(tái)，運(yùn)費(fèi)總計(jì)6×7+5×5+5×6=97（百元）=9700元7甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他們輪流向如圖16-6所示的3×3的方格中放棋子，每次放1枚，誰(shuí)的棋子中有3枚連成一條線(橫、豎、斜均可)，誰(shuí)就獲勝如果甲首先占據(jù)了中問(wèn)位置，乙要想不敗，第1枚棋子應(yīng)該放在哪里?答案：左上角、右上

14、角、左下角或者右下角解析：角上的位置可以堵住兩天通路，使乙可以不敗。8有12枚棋子，甲、乙兩人輪流取，規(guī)定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者為勝者如果甲先取，那么誰(shuí)有必勝策略?如果取走最后一枚棋子者為敗者，并且仍然是甲先取，那么誰(shuí)有必勝策略?答案：乙；甲解析：1+3=4，取到最后一枚棋子為勝者，則他還必須取到第8和第4枚棋子，因?yàn)榧紫热?，?個(gè)為一組，甲取不到4個(gè)，而乙每次在甲后面取，每次甲取完，乙就湊夠4根，這樣乙肯定可以取到最后一枚。同樣道理，只是如果取走最后一枚棋子者為敗者，則取到第11枚棋子者為勝，取到第11枚棋子的人必須取到第7根和第3根，因?yàn)槊看巫疃嗳?根，所以只要甲

15、第一次取3根，以后每次乙取后甲都湊夠四根，便可以讓乙取最后一根，甲勝。9現(xiàn)有2008根火柴，甲、乙兩個(gè)人輪流從中取出火柴每次最少?gòu)闹腥〕?根，最多取出4根誰(shuí)無(wú)法再次取出火柴誰(shuí)就贏如果甲先取，請(qǐng)問(wèn)誰(shuí)有必勝的策略?答案：甲解析：2+4=6，題目意思為取到最后一根火柴者為勝，由題意得取到第2002根火柴的人肯定可以取到最后一根火柴，以此倒推，勝利者一定取到了第1996、199010、4根火柴，所以，第一次甲先取出四根火柴，以后每次乙取完火柴，甲都取能與其湊夠6根的火柴，這樣甲肯定能贏。10甲、乙兩人玩一個(gè)游戲：有兩堆小球，甲、乙兩人輪流從中取球，每次只能從同一堆中取，個(gè)數(shù)不為零即可，規(guī)定取到最后一個(gè)

16、球的人贏，現(xiàn)在甲先取球(1)如果開(kāi)始時(shí)兩堆球數(shù)分別是兩個(gè)和兩個(gè)，那么誰(shuí)有必勝策略?請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如果開(kāi)始時(shí)兩堆球數(shù)分別是兩個(gè)和三個(gè)，那么誰(shuí)有必勝策略?請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如果開(kāi)始時(shí)兩堆球數(shù)分別是五個(gè)和八個(gè)，那么誰(shuí)有必勝策略?請(qǐng)說(shuō)明理由答案：乙有必勝策略，乙每次都和甲取相同數(shù)目的球；甲有必勝策略，甲先從三個(gè)堆里取走一個(gè)，以后乙取幾個(gè)，甲就取幾個(gè)；甲有必勝策略，甲先從八個(gè)里取走三個(gè)，以后乙取幾個(gè)甲取幾個(gè)。解析：見(jiàn)答案理由部分回答。11如圖16-7，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后輪流移動(dòng)這枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿450角走1步，最終將棋子走到方格B的人獲勝請(qǐng)問(wèn)：誰(shuí)有必勝策略，策略是什么?

17、如果每次允許往同一方向(上、右或右上)走任意多步，結(jié)果又如何呢?答案：甲有必勝策略；甲有必勝策略解析：圖a中處為第一種情況下的制勝點(diǎn)，甲先向上走一步，以后乙每走一步，甲都走到制勝點(diǎn)處，最后到達(dá)B;圖b中處為第二種情況下的制勝點(diǎn),每一個(gè)制勝點(diǎn)到B至少要走兩步。甲先向右走三步，以后乙每走一步，甲或者直接到達(dá)B或者走到下一處制勝點(diǎn)，最終到達(dá)B12桌上有一塊巧克力，它被直線劃分成3行7列的21個(gè)小方塊，如圖16-8所示現(xiàn)在讓你和對(duì)手進(jìn)行一種兩人輪流切巧克力的游戲，規(guī)則如下：每次只許沿一條直線把巧克力切成兩塊；拿走其中一塊，把另一塊留給對(duì)手再切；誰(shuí)能留給對(duì)手恰好是一個(gè)小方塊，誰(shuí)就取勝如果請(qǐng)你首先切巧克力

18、，那么你第一次應(yīng)該切走多少個(gè)小方塊，才能使你最后獲勝?答案：第一次切走3×4=12個(gè)小方塊，才能獲勝。解析：依據(jù)倒推法，每次都留一個(gè)正方形，因此第一次切下12塊，留給對(duì)方一個(gè)3×3的正方形，這樣才能獲勝。超越篇1甲、乙、丙三名車(chē)工準(zhǔn)備在同樣效率的三個(gè)車(chē)床上車(chē)出七個(gè)零件，加工各零件所需要的時(shí)間分別為4、5、6、6、8、9、9分鐘三人同時(shí)開(kāi)始工作。問(wèn)：經(jīng)過(guò)合理分工，最少經(jīng)過(guò)多少分鐘可以車(chē)完全部零件?答案：17分解析：七個(gè)零件最省時(shí)的分配是三個(gè)人分別加工3個(gè)、2個(gè)、2個(gè)零件，且使每組零件加工時(shí)間中的最大值最小，因此可以如下分配4+5+6=15 6+9=15 8+9=17，這樣所需

19、最短時(shí)間為17分鐘。2圖16-9是某縣的道路分布圖小唐要駕車(chē)從縣城出發(fā)，經(jīng)過(guò)甲、乙、丙、丁、戊這些鄉(xiāng)鎮(zhèn)中的每個(gè)至少一次，并且最后回到縣城已知道路旁邊的數(shù)值表示汽車(chē)通過(guò)此段公路所需的分鐘數(shù)，那么小唐完成計(jì)劃的行程最少需要多少分鐘?答案：300分解析：從縣城出發(fā)，走遍各鄉(xiāng)鎮(zhèn)，為使時(shí)間最短，則應(yīng)依次走過(guò)各鄉(xiāng)鎮(zhèn)，所以出縣城到達(dá)某鎮(zhèn)，肯定從其隔壁鄉(xiāng)鎮(zhèn)回城，相鄰鄉(xiāng)鎮(zhèn)到縣城所花時(shí)間最短的為甲乙，所以可從乙出發(fā)，依次選擇到下一鄉(xiāng)鎮(zhèn)的最短時(shí)間路線前進(jìn)，具體為：縣城乙丙縣城丁戊甲縣城，共需時(shí)間20+60+50+40+20+60+50=300分鐘。3如圖16-10，有10個(gè)村坐落在從縣城出發(fā)的一條公路上，圖中的數(shù)字

20、表示各段公路的長(zhǎng)度，單位是千米現(xiàn)在要安裝水管，從縣城送自來(lái)水供給各村可以用粗細(xì)兩種水管，粗管足夠供應(yīng)所有各村用水，細(xì)管只能供一個(gè)村用水。粗管每千米要用8000元，細(xì)管每千米要用2000元把粗管和細(xì)管適當(dāng)搭配，互相連接，可以降低工程的總費(fèi)用按你認(rèn)為最節(jié)約的辦法，費(fèi)用應(yīng)是多少元?答案：414000元解析：粗管雖然單價(jià)高，但其可供各村用水，所以不需重復(fù)使用，所需長(zhǎng)度短，粗管的單價(jià)為細(xì)管的4倍，所以當(dāng)路段重復(fù)次數(shù)大于等于4時(shí)，用粗管合算，因此，從倒數(shù)第四個(gè)村開(kāi)始用三根細(xì)管，一根到倒數(shù)第三個(gè)村，一根到倒數(shù)第二個(gè)村，一根到最后一個(gè)村。費(fèi)用為8000×48+2000×（2+4+9）=41

21、4000元。4甲和乙兩人做數(shù)學(xué)游戲：在黑板上寫(xiě)一個(gè)自然數(shù)，輪到誰(shuí)走時(shí)，誰(shuí)就從該自然數(shù)中減去它的某個(gè)非零數(shù)字，并用所得的差替換原數(shù)兩人輪流走誰(shuí)所得到的數(shù)是零，就算誰(shuí)贏如果開(kāi)始在黑板上寫(xiě)著數(shù)1994，并且甲先走，問(wèn)誰(shuí)有必勝策略?答案：甲解析：甲先拿走四個(gè)，以后無(wú)論乙拿什么，甲對(duì)應(yīng)都拿個(gè)位上的數(shù)，即湊10.5如圖16-11，五角星上共有10個(gè)交點(diǎn)和15條小線段甲首先將一枚棋子放在A點(diǎn)上，并由此出發(fā)沿某條小線段將棋子移到相鄰的一個(gè)交點(diǎn)上，之后乙再將棋子沿某條小線段移到下一個(gè)相鄰的交點(diǎn)上，之后甲再走，如此下去如果要求每條小線段都不能重復(fù)經(jīng)過(guò)，并且輪到某人無(wú)路可走時(shí)便判其失敗，那么甲是否有必勝策略?答案：甲沒(méi)有必勝策