高三理數(shù)一輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望1.導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景；(2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(1)能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)yc(c為常數(shù))，yx，yx2，yx3，y，y的導(dǎo)數(shù)；(2)能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(axb)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).3.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用(1)了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)；(2)了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般

2、不超過三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).4.生活中的優(yōu)化問題會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.5.定積分與微積分基本定理(1)了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念；(2)了解微積分基本定理的含義.本章重點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的概念；2.利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率；3.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間；4.利用導(dǎo)數(shù)求極值或最值；5.利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題最優(yōu)解.本章難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.導(dǎo)數(shù)與定積分是微積分的核心概念之一，也是中學(xué)選學(xué)內(nèi)容中較為重要的知識(shí)之一.由于其應(yīng)用的廣泛性，為我們解決有關(guān)函數(shù)、數(shù)列問題提供了更一般、更有效的方法.因此，本章知識(shí)在高考題

3、中常在函數(shù)、數(shù)列等有關(guān)最值不等式問題中有所體現(xiàn)，既考查數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，也考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法的能力.考題可能以選擇題或填空題的形式來考查導(dǎo)數(shù)與定積分的基本運(yùn)算與簡單的幾何意義，而以解答題的形式來綜合考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力.知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 3.1導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算典例精析題型一導(dǎo)數(shù)的概念【例1】 已知函數(shù)f(x)2ln 3x8x，求的值.【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義知：22f(1)20.【點(diǎn)撥】導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)值相對(duì)于自變量的變化率，即求當(dāng)x0時(shí)， 平均變化率的極限.【變式訓(xùn)練1】某市在一次降雨過程中，降雨量y(mm)與時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為f(t)，則在

4、時(shí)刻t10 min的降雨強(qiáng)度為()A. mm/minB. mm/minC. mm/minD.1 mm/min【解析】選A.題型二求導(dǎo)函數(shù)【例2】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)yln(x)；(2)y(x22x3)e2x；(3)y.【解析】運(yùn)用求導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)法則.(1)y(x)(1).(2)y(2x2)e2x2(x22x3)e2x2(x2x2)e2x.(3)y(x (1x) 【變式訓(xùn)練2】如下圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A、B、C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(0) ； (用數(shù)字作答).【解析】f(0)4，f(f(0)f(4)2，由導(dǎo)數(shù)定義f(1).

5、當(dāng)0x2時(shí)，f(x)42x，f(x)2，f(1)2.題型三利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率【例3】 已知曲線C：yx33x22x， 直線l：ykx，且l與C切于點(diǎn)P(x0，y0) (x00)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).【解析】由l過原點(diǎn)，知k (x00)，又點(diǎn)P(x0，y0) 在曲線C上，y0x3x2x0，所以 x3x02.而y3x26x2，k3x6x02.又 k， 所以3x6x02x3x02，其中x00， 解得x0.所以y0，所以k，所以直線l的方程為yx，切點(diǎn)坐標(biāo)為(，).【點(diǎn)撥】利用切點(diǎn)在曲線上，又曲線在切點(diǎn)處的切線的斜率為曲線在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)來列方程，即可求得切點(diǎn)的坐標(biāo). 【變式訓(xùn)練3】若函數(shù)yx3

6、3x4的切線經(jīng)過點(diǎn)(2，2)，求此切線方程.【解析】設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，則由y3x23得切線的斜率為k3x3.所以函數(shù)yx33x4在P(x0，y0)處的切線方程為yy0(3x3)(xx0).又切線經(jīng)過點(diǎn)(2,2)，得2y0(3x3)(2x0)，而切點(diǎn)在曲線上，得y0x3x04， 由解得x01或x02.則切線方程為y2 或 9xy200.總結(jié)提高1.函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)通常有以下兩種求法：(1) 導(dǎo)數(shù)的定義，即求的值；(2)先求導(dǎo)函數(shù)f(x)，再將xx0的值代入，即得f(x0)的值.2.求yf(x)的導(dǎo)函數(shù)的幾種方法：(1)利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；(2)利用四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)公式；(

7、3)利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法.3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)，就是函數(shù)yf(x)的曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率.3.2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)典例精析題型一求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間【例1】已知函數(shù)f(x)x2axaln(x1)(aR)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】函數(shù)f(x)x2axaln(x1)的定義域是(1，).f(x)2xa，若a0，則1，f(x)0在(1，)上恒成立，所以a0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(1，).若a0，則1，故當(dāng)x(1，時(shí)，f(x)0；當(dāng)x，)時(shí)，f(x)0，所以a0時(shí)，f(x)的減區(qū)間為(1，f(x)的增區(qū)間為，).【點(diǎn)撥】在定義域x

8、1下，為了判定f(x)符號(hào)，必須討論實(shí)數(shù)與0及1的大小，分類討論是解本題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)x2ln xax在(0,1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍.【解析】因?yàn)閒(x)2xa，f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，所以2xa0在(0,1)上恒成立，即a2x恒成立.又2x2(當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，取等號(hào)).所以a2，故a的取值范圍為(，2.【點(diǎn)撥】當(dāng)f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)時(shí)f(x)0在(a，b)上恒成立；同樣，當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上為減函數(shù)時(shí)f(x)0在(a，b)上恒成立.然后就要根據(jù)不等式恒成立的條件來求參數(shù)的取值范圍了.題型二求函數(shù)的極值【例2】已知f(x)ax3b

9、x2cx(a0)在x±1時(shí)取得極值，且f(1)1.(1)試求常數(shù)a，b，c的值；(2)試判斷x±1是函數(shù)的極小值點(diǎn)還是極大值點(diǎn)，并說明理由.【解析】(1)f(x)3ax22bxc.因?yàn)閤±1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，所以x±1是方程f(x)0，即3ax22bxc0的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系，得 又f(1)1，所以abc1. 由解得a，b0，c.(2)由(1)得f(x)x3x，所以當(dāng)f(x)x20時(shí)，有x1或x1；當(dāng)f(x)x20時(shí)，有1x1.所以函數(shù)f(x)x3x在(，1)和(1，)上是增函數(shù)，在(1,1)上是減函數(shù).所以當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(1)1；

10、當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)1.【點(diǎn)撥】求函數(shù)的極值應(yīng)先求導(dǎo)數(shù).對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)f(x)來講， f(x)在點(diǎn)xx0處取極值的必要條件是f(x)0.但是， 當(dāng)x0滿足f(x0)0時(shí)， f(x)在點(diǎn)xx0處卻未必取得極值，只有在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)時(shí)，x0才是f(x)的極值點(diǎn).并且如果f(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x0是f(x)的極大值點(diǎn)，f(x0)是極大值；如果f(x)在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x0是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x0)是極小值.【變式訓(xùn)練2】定義在R上的函數(shù)yf(x)，滿足f(3x)f(x)，(x)f(x)0，若x1x2，且x1x23，則有()A. f(x1)f

11、(x2)B. f(x1)f(x2)C. f(x1)f(x2)D.不確定【解析】由f(3x)f(x)可得f3(x)f(x)，即f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x對(duì)稱.又因?yàn)?x)f(x)0，所以當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，f(x1)f(x2)，因?yàn)閤1x23，所以，相當(dāng)于x1，x2的中點(diǎn)向右偏離對(duì)稱軸，所以f(x1)f(x2).故選B.題型三求函數(shù)的最值【例3】 求函數(shù)f(x)ln(1x)x2在區(qū)間0,2上的最大值和最小值.【解析】f(x)x，令x0，化簡為x2x20，解得x12或x21，其中x12舍去.又由f(x)x0，且x0,2，得知函數(shù)f(

12、x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，同理， 得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,2)，所以f(1)ln 2為函數(shù)f(x)的極大值.又因?yàn)閒(0)0，f(2)ln 310，f(1)f(2)，所以，f(0)0為函數(shù)f(x)在0,2上的最小值，f(1)ln 2為函數(shù)f(x)在0,2上的最大值.【點(diǎn)撥】求函數(shù)f(x)在某閉區(qū)間a，b上的最值，首先需求函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值，然后，將f(x)的各個(gè)極值與f(x)在閉區(qū)間上的端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，才能得出函數(shù)f(x)在a，b上的最值.【變式訓(xùn)練3】(2008江蘇)f(x)ax33x1對(duì)x1,1總有f(x)0成立，則a.【解析】若

13、x0，則無論a為何值，f(x)0恒成立.當(dāng)x(0,1時(shí)，f(x)0可以化為a，設(shè)g(x)，則g(x)，x(0，)時(shí)，g(x)0，x(，1時(shí)，g(x)0.因此g(x)maxg()4，所以a4.當(dāng)x1,0)時(shí)，f(x)0可以化為a，此時(shí)g(x)0，g(x)ming(1)4，所以a4.綜上可知，a4.總結(jié)提高1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域D；(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)根據(jù)f(x)0，且xD，求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；根據(jù)f(x)0，且xD，求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.2.求函數(shù)極值的步驟是：(1)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)判斷f(x)在

14、方程根左右的值的符號(hào)，確定f(x)在這個(gè)根處取極大值還是取極小值.3.求函數(shù)最值的步驟是：先求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；再將f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.3.3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)典例精析題型一利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【例1】已知函數(shù)f(x)x2ln x.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間1，e上的值域；(2)求證：x1時(shí)，f(x)x3.【解析】(1)由已知f(x)x，當(dāng)x1，e時(shí)，f(x)0，因此f(x)在 1，e上為增函數(shù).故f(x)maxf(e)1，f(x)minf(1)，因而f(x)在區(qū)間1，e上的值域?yàn)椋?.(2)證明：令F(x

15、)f(x)x3x3x2ln x，則F(x)x2x2，因?yàn)閤1，所以F(x)0，故F(x)在(1，)上為減函數(shù).又F(1)0，故x1時(shí)，F(xiàn)(x)0恒成立，即f(x)x3.【點(diǎn)撥】有關(guān)“超越性不等式”的證明，構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性是常用的證明方法.【變式訓(xùn)練1】已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0時(shí)，f(x)0，g(x)0，則x0時(shí)()A.f(x)0，g(x)0B.f(x)0，g(x)0C.f(x)0，g(x)0D.f(x)0，g(x)0【解析】選B.題型二優(yōu)化問題【例2】 (2009湖南)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩個(gè)橋墩相距m米，余下工程只需

16、建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2)x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素.記余下工程的費(fèi)用為y萬元.(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最?。俊窘馕觥?1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(1)(2)xm2m256.(2)由(1)知f(x)mx(x512).令f(x)0，得x512.所以x64.當(dāng)0x64時(shí)，f(x)0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64x640時(shí)，f(x)0，f(x)

17、在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù).所以f(x)在x64處取得最小值.此時(shí)n119.故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小.【變式訓(xùn)練2】(2010上海)如圖所示，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先要制作4個(gè)全等的矩形骨架，總計(jì)耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面).當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時(shí)，S取得最大值？并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01平方米).【解析】設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，則由已知可得4(4r2h)9.6，所以2rh1.2.S2.4r3r2，h1.22r0，所以r0.6.所以S2.4r3r2(0r0.6).令f(r)2.4r3r2，則f(r)2

18、.46r.令f(r)0得r0.4.所以當(dāng)0r0.4，f(r)0；當(dāng)0.4r0.6，f(r)0.所以r0.4時(shí)S最大，Smax1.51.題型三導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)問題【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)x3mx2(m24)x，xR.(1)當(dāng)m3時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程；(2)已知函數(shù)f(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，且.若對(duì)任意的x，都有f(x)f(1)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)m3時(shí)，f(x)x33x25x，f(x)x26x5.因?yàn)閒(2)，f(2)3，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，)，切線的斜率為3，則所求的切線方程為y3(x2)，即9x3y200.(2)f(x)x22mx(m

19、24).令f(x)0，得xm2或xm2.當(dāng)x(，m2)時(shí)，f(x)0，f(x)在(，m2)上是增函數(shù)；當(dāng)x(m2，m2)時(shí)，f(x)0，f(x)在(m2，m2)上是減函數(shù)；當(dāng)x(m2，)時(shí)，f(x)0，f(x)在(m2，)上是增函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，且f(x)xx23mx3(m24)，所以解得m(4，2)(2,2)(2,4).當(dāng)m(4，2)時(shí)，m2m20，所以m2m20.此時(shí)f()0，f(1)f(0)0，與題意不合，故舍去.當(dāng)m(2,2)時(shí)，m20m2，所以m20m2.因?yàn)閷?duì)任意的x，都有f(x)f(1)恒成立，所以1.所以f(1)為函數(shù)f(x)在，上的最小值.因?yàn)楫?dāng)x

20、m2時(shí)，函數(shù)f(x)在，上取最小值，所以m21，即m1.當(dāng)m(2,4)時(shí)，0m2m2，所以0m2m2.因?yàn)閷?duì)任意的x，都有f(x)f(1)恒成立，所以1.所以f(1)為函數(shù)f(x)在，上的最小值.因?yàn)楫?dāng)xm2時(shí)，函數(shù)f(x)在，上取最小值，所以m21，即m1(舍去).綜上可知，m的取值范圍是1.【變式訓(xùn)練3】已知f(x)ax2(aR)，g(x)2ln x.(1)討論函數(shù)F(x)f(x)g(x)的單調(diào)性；(2)若方程f(x)g(x)在區(qū)間，e上有兩個(gè)不等解，求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a0時(shí)，F(xiàn)(x)的遞增區(qū)間為(，)，遞減區(qū)間為(0，)；當(dāng)a0時(shí)，F(xiàn)(x)的遞減區(qū)間為(0，).(2)ln

21、2，).總結(jié)提高在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)處理方程、不等式有關(guān)問題時(shí)，首先應(yīng)熟練地將方程、不等式問題直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性、極值或最值.3.4定積分與微積分基本定理典例精析題型一求常見函數(shù)的定積分【例1】 計(jì)算下列定積分的值.(1)(x1)5dx；(2) (xsin x)dx.【解析】(1)因?yàn)?x1)6(x1)5，所以 (x1)5dx.(2)因?yàn)?cos x)xsin x，所以(xsin x)dx1.【點(diǎn)撥】(1)一般情況下，只要能找到被積函數(shù)的原函數(shù)，就能求出定積分的值；(2)當(dāng)被積函數(shù)是分段函數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)每個(gè)區(qū)間分段積分，再求和；(3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)

22、后積分；(4)當(dāng)被積函數(shù)具有奇偶性時(shí)，可用以下結(jié)論：若f(x)是偶函數(shù)時(shí)，則f(x)dx2f(x)dx；若f(x)是奇函數(shù)時(shí)，則f(x)dx0.【變式訓(xùn)練1】求(3x34sin x)dx.【解析】(3x34sin x)dx表示直線x5，x5，y0和曲線y3x34sin x所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和，且在x軸上方的面積取正號(hào)，在x軸下方的面積取負(fù)號(hào).又f(x)3(x)34sin(x)(3x34sin x)f(x).所以f(x)3x34sin x在5,5上是奇函數(shù)，所以(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx，所以(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx(3x34sin

23、x)dx0.題型二利用定積分計(jì)算曲邊梯形的面積【例2】求拋物線y22x與直線y4x所圍成的平面圖形的面積.【解析】方法一：如圖，由得交點(diǎn)A(2,2)，B(8，4)，則S()dx4x()dx18.方法二：S(4y)dy18.【點(diǎn)撥】根據(jù)圖形的特征，選擇不同的積分變量，可使計(jì)算簡捷，在以y為積分變量時(shí)，應(yīng)注意將曲線方程變?yōu)閤(y)的形式，同時(shí)，積分上、下限必須對(duì)應(yīng)y的取值.【變式訓(xùn)練2】設(shè)k是一個(gè)正整數(shù)，(1)k的展開式中x3的系數(shù)為，則函數(shù)yx2與ykx3的圖象所圍成的陰影部分(如圖)的面積為.【解析】Tr1C()r，令r3，得x3的系數(shù)為C，解得k4.由得函數(shù)yx2與y4x3的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1,3.所以陰影部分的面積為S(4x3x2)dx(2x23x.題型三定積分在物理中的應(yīng)用【例3】 (1) 變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度為v(t)1t2，初始位置為x01，求它在前2秒內(nèi)所走過的路程及2秒末所在的位置；(2)一物體按規(guī)律xbt3作直線運(yùn)動(dòng)，式中x為時(shí)間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方，試求物體