擴展Dicke模型的量子相變

1、3擴展Dicke模型的熱力學(xué)極限性質(zhì)13.1正常相23.2超輻射相43.3相變討論83.4系統(tǒng)量子糾纏和量子關(guān)聯(lián)133擴展Dicke模型的熱力學(xué)極限性質(zhì) 早在1954年Dicke23提出了N個兩能級原子的集體相干輻射率超過單獨的N個原子自發(fā)的輻射率，原子集體屬于一種相干的輻射。把N個自發(fā)輻射的原子放在光學(xué)腔場里，所有原子和一個共同的輻射場發(fā)生作用，因此不能簡單看成每個原子是獨立的自發(fā)輻射態(tài)。由于原子之間的距離比輻射波長小很多，但是比粒子物質(zhì)波長大許多，這樣原子之間相互作用可以忽略，但是可以形成相干自發(fā)輻射波。他說，該系統(tǒng)中的這些相關(guān)多個原子態(tài)展示的非同尋常的大輻射率叫“超輻射態(tài)”(super-

2、radiance)。超輻射態(tài)是指原子集體激發(fā)的密度與N2成比例，而不是N，原子是相干輻射的。這樣，由N個兩能級原子和單模玻色場相互作用的系統(tǒng)叫做Dicke模型。這是凝聚態(tài)物理和量子光學(xué)關(guān)聯(lián)的一個重要物理模型，比如在研究量子點中的超輻射行為641，玻色一愛因斯坦凝聚f651以及一些耦合的光學(xué)腔場模擬強關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的行為66，量子電動腔場QED等系統(tǒng)中有廣泛的應(yīng)用。Dicke模型中原子看成是由N個相同但可區(qū)別的兩能級原子形成的集體系統(tǒng)，并且每個原子的上下能級差為。Dicke哈密頓量描述玻色場與N個原子的相互作用如同在一個理想腔場里的偶極子作用。這里，多個兩能級原子看成是由N個相同但可區(qū)別的集體系統(tǒng)，并

3、且每個原子的上下能級差為。其中，第i個原子可以描述成一個自旋的算符，遵從對易關(guān)系我們考慮單模波色場的情況，這些兩能級原子與頻率為的單模玻色場發(fā)生作用，耦合強度為，擴展的Dicke模型哈密頓量可以寫成 （3-1）這里 ，是波色產(chǎn)生和湮滅算符，為原子-原子相互作用項，這里為Ising耦合。原子-波色場相互作用項出現(xiàn)的因為是因為偶極子耦合強度最初與成比例，是強場體積。強場里原子密度,因此耦合強度正比于，帶入相互作用項我們得到因子。利用原子算符的集體算符形式，,這些算符遵從一般的角動量對易關(guān)系希爾伯特空間可以按照Dicke態(tài)展開，Dicke態(tài)是和的本征態(tài)：。上升和下降算符作用在這些態(tài)上得到：。是Dic

4、ke態(tài)的“共同量子數(shù)”，當(dāng)N確定后，取值為，我們選擇的最大值。個兩能級原子系統(tǒng)可以看成是一個能級的系統(tǒng)，總的贗自選矢量長度。利用集體算符，上面的哈密頓量可以表示為 （3-2）熱力學(xué)極限下，原子個數(shù)無窮，也就是說角動量，零溫下，擴展Dicke模型在耦合強度會發(fā)生量子相變。為了描述這種相變，把哈密頓量分成兩個有效哈密頓量，一個描述正常相的系統(tǒng)，另一個描述對稱性破缺的超輻射相。首先角動量部分做Holstein-Primakoff皮化，用玻色子表示，并且玻色算符滿足對易關(guān)系。將上述變化帶入哈密頓量（3-2），可以得到兩類玻色子的哈密頓量 （3-3）3.1正常相通過對哈密頓量（3-3）中含的項做簡單的近

5、似處理：因為，所以令。我們得到系統(tǒng)正常相的有效的哈密頓量 （3-4）為了將這個含有雙線性的玻色算符的哈密頓量對角化，引入以下兩個具有玻色模式的位置和動量算符： 令，用上面的位置動量算符去表示正常相的哈密頓量（3-4）： （3-5）用下面的方法變化位置算符，即將平面旋轉(zhuǎn)一個角度到另一個平面上，可以將上面的哈密頓量對角化：， ， （3-6）這里旋轉(zhuǎn)角度滿足條件：對于共振態(tài)，這時和。這樣的變化消除了哈密頓量中的相互作用項，得到兩種退耦合諧振子的形式 （3-7）現(xiàn)在引進(jìn)兩個新的玻色算符去量子化哈密頓量 （3-8）故對角形式的哈密頓量為 （3-9）這里使得哈密頓量對角化的玻色算符是玻色算符的線性組合。至

6、此，我們就得到了正常相的兩支獨立震蕩模式的能量表： （3-10）如果激發(fā)態(tài)能量是實數(shù)，那么必須滿足條件，等價于。因此可以看到哈密頓量僅在有效，即正常相。在正常相，系統(tǒng)的基態(tài)能量是： （3-11）這里忽略了高階項，而上面的激發(fā)態(tài)能量是忽略了，也就是說在基態(tài)上面的激發(fā)態(tài)譜在是準(zhǔn)連續(xù)的。3.2超輻射相為了描述超輻射相，考慮到場與原子系綜都有宏觀占據(jù)數(shù)，采用Holstein-Primakoff變換去轉(zhuǎn)換哈密頓量（3-3），假設(shè)兩類玻色子算符做如下變化嚴(yán)格來說，我們做上面的變換，其實就意味著平移參量和是，也就是說在時，他們滿足非零宏觀場。將上面的平移算符帶入H-P變換的式子中，可以得到 （3-12）其中

7、根式為，并且。在熱力學(xué)極限下將根式按照冪級數(shù)綻開至，則將式子（3-12）代入哈密頓量（3-3），這樣我們得到了含有的雙線性項的哈密頓量 （3-13）現(xiàn)在用平移算符將波色算符的線性項消除掉，所以 （3-14）平庸解是滿足正常相哈密頓量的解，這里對超輻射相有意義的解是 （3-15）這里，而且令。利用這些參量，獲得了有效哈密頓量 （3-16）為了促進(jìn)這個雙線性哈密頓量的對角化，我們引進(jìn)如下定義的位置-動量算符： （3-17）這樣超輻射相的有效哈密頓量變?yōu)椋?（3-18）雖然（3-17）式的位置-動量算符表達(dá)式與（3-6）定義的有所不同，但是這里的對角化過程與之前正常相的過程是類似的，也就是將平面旋轉(zhuǎn)

8、一個角度到另一個平面上，使得上面的有效哈密頓量對角化， （3-19）這里旋轉(zhuǎn)角度滿足條件：為 （3-20）現(xiàn)在為了量子化哈密頓量，引進(jìn)兩個新的玻色算符： （3-21）故對角形式的哈密頓量為 （3-22）這里使得哈密頓量對角化的玻色算符是玻色算符的線性組合。至此，我們就得到了超輻射相的兩支獨立震蕩模式的能量表： （3-23）如果激發(fā)態(tài)能量是實數(shù)，那么必須滿足條件 （3-24）化簡（3-24）可以得到 （3-25）現(xiàn)在討論超輻射相下的臨界值，所以我們得到了如下的圖象圖3.1通過上面的圖象3.1，我們可以知道當(dāng)為我們的超輻射相。對于超輻射相，系統(tǒng)的基態(tài)能量是： （3-26）從基態(tài)能量出發(fā)，臨界點也可

9、以通過下面的方程組獲得：可以解得：，與式子（3.15）一致。這樣我們得到了一個二階相變點。3.3相變討論熱力學(xué)極限下，系統(tǒng)用兩個有效哈密頓量描述成兩相，并給出激發(fā)態(tài)能量。在圖3.2中我們給出了激發(fā)態(tài)能量關(guān)于原子相互作用和耦合強度的變化圖象，依據(jù)無耦合激發(fā)態(tài)的性質(zhì)，上下兩支分別對應(yīng)“原子”與“聲子”分支。從圖3.2可以看到，耦合強度接近于臨界點時，聲子模式的那一支激發(fā)態(tài)能量接近于0，即當(dāng)時，,表明存在量子相變。而接近于。 圖3.2：激發(fā)態(tài)能量關(guān)于原子相互作用和耦合強度的變化圖象， 是正常相的激發(fā)態(tài)能量，是超輻射相的激發(fā)態(tài)能量。在原子相互作用取不同的值時，基態(tài)能量及其一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)關(guān)于耦合強度

10、的變化如圖3.3，從左到右，原子相互作用從1逐漸減小到-5。能量及其一階導(dǎo)在連續(xù)，而其二階導(dǎo)數(shù)在的非連續(xù)性表現(xiàn)了二級相變現(xiàn)象。需要特別說明的是，當(dāng)時，因為臨界耦合強度，這時能量二階導(dǎo)還是連續(xù)的。（這里相變點；這里避開了區(qū)域里的特殊情況。并且當(dāng)時，因為利用無法解出實數(shù)相變點，所以沒有去畫出這種情況下的圖象。但是如果利用相變點的話就可以畫出時的圖象）。圖3.3：基態(tài)能量（藍(lán)色線）及其一階導(dǎo)數(shù)（棕色線），二階導(dǎo)數(shù)（黃色線）關(guān)于耦合強度的變化圖象，這里原子相互作用從1逐漸減小到-5?；蛘邎D3.3為了簡單看出，也可以采用下面圖3.31的圖象，這里三條線分別對應(yīng)。圖3.31在熱力學(xué)極限下，平均玻色子數(shù)隨耦

11、合強度和原子相互作用變化的三維圖象，以及在原子相互作用取不同的值時，角動量隨耦合強度變化的圖象我們在圖3.4中也給出來了，從左到右，原子相互作用從1逐漸減小到-5。從圖3.4我們可以看到，在臨界點處，角動量從突然增大到，平均玻色子數(shù)從0突然增大到，出現(xiàn)相變現(xiàn)象。經(jīng)過相變點之后，可以得到下面可觀測量的解析結(jié)果表格3.1是基態(tài)能量，平均玻色子數(shù)，角動量的熱力學(xué)極限解析分析結(jié)果。不管是從圖3.4還是表格3.1，都可以看出平均玻色子數(shù)隨的增大是發(fā)散的，而角動量隨的增大是收斂的，且收斂于0。 圖3.4：平均玻色子數(shù)隨耦合強度和原子相互作用變化的三維圖象；原子相互作用取不同的值時（從1逐漸減小到-5），角

12、動量隨耦合強度變化的圖象。或者圖3.4為了簡單看出，也可以采用下面圖3.41的圖象，這里三條線分別對應(yīng)。圖3.413.4系統(tǒng)量子糾纏和量子關(guān)聯(lián)我們知道，量子糾纏和量子相變有緊密關(guān)系，糾纏可以來探測量子相變【87】。對于多體系統(tǒng)，量子態(tài)的糾纏是不容易表征的，Dicke多原子集體模型中，所有自旋完全一樣，concurrence更合適來表征兩體糾纏，不依賴所選擇的兩個自旋。因此我們將討論多原子與玻色場多體系統(tǒng)中任意兩個原子的量子糾纏-concurrence。量子糾纏就是子系統(tǒng)之間的某種量子關(guān)聯(lián)，它會影響強關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的物理性質(zhì)，尤其是量子相變。量子相變發(fā)生在零溫時，這時系統(tǒng)處于基態(tài)，是一個純態(tài)，其子系統(tǒng)

13、之間的關(guān)聯(lián)與量子糾纏有很大的關(guān)系。量子糾纏是一種奇特的純量子現(xiàn)象，反映了量子理論的本質(zhì)一相干性，空間非局域性，廣泛應(yīng)用于量子通信和量子計算中。從實驗觀測角度來說，量子糾纏是測量中體現(xiàn)的關(guān)聯(lián)，這種關(guān)聯(lián)具有相干性，是量子關(guān)聯(lián)，不是經(jīng)典關(guān)聯(lián)。由于Dicke模型的N個自旋的對稱性，所以任意兩個自旋的約化密度矩陣在基矢空間中總是可以表示成以下的X形式： （3-28）其中矩陣元的具體表達(dá)式為：這里，。，對于。對于兩自旋X形式的密度矩陣，量子關(guān)聯(lián)QD是可以被解析求解的。按照陳慶虎的文章中的計算，我們可以推導(dǎo)出（3-28）式中約化密度矩陣的矩陣元： （3-29）按照陳慶虎文章中推導(dǎo)出的量子關(guān)聯(lián)QD和經(jīng)典糾纏C

14、的表達(dá)式這里為了表述簡單，我們將含有的根式重寫為：。對于我們的擴展的Dicke模型，在圖3.5中我們給出了量子關(guān)聯(lián)QD和經(jīng)典糾纏C,以及QD的一介導(dǎo)和C的一介導(dǎo)關(guān)于原子相互作用和耦合強度的三維變化圖象： 圖3.5：量子關(guān)聯(lián)QD和經(jīng)典糾纏C,以及QD的一介導(dǎo)和C的一介導(dǎo)關(guān)于原子相互作用和耦合強度的三維變化圖象?；蛘甙凑?，時，為正常相的猜想，可以得到下面圖3.51圖3.51N個自旋的體系中，對自旋以外的其他自旋自由度求跡，可以得到第和自旋的約化密度矩陣。定義自旋-翻轉(zhuǎn)密度矩陣，那么自旋的concurrence定義為 （3-27）是的本征值，并且。如果，則自旋是糾纏的。對于N個自旋對稱態(tài)的系統(tǒng)，和與自旋的選擇無關(guān)，以下忽略角標(biāo)。將集體算符帶入上面糾纏