第二章23（一）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）

1、第二章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）明目標(biāo)、知重點(diǎn) 1. 掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路2. 經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思3.熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)量a1，d，n，an，Sn的關(guān)系，能夠由其中三個(gè)求另外兩個(gè)知識(shí)梳理1 數(shù)列前n項(xiàng)和的概念把a(bǔ)1a2an叫數(shù)列an的前n項(xiàng)和，記做Sn.a1a2a3an1Sn1(n2)2 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式(1)若an是等差數(shù)列，則Sn可以用首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an表示為Sn ；(2)若首項(xiàng)為a1，公差為d，則Sn可以表示為Snna1n(n1)d.3 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)若數(shù)列an是

2、公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列，且公差為.(2)Sm，S2m，S3m分別為an的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，則Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差數(shù)列，公差為m2d.(3)設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則.情境導(dǎo)學(xué)“數(shù)學(xué)王子”高斯是德國(guó)數(shù)學(xué)家在高斯10歲時(shí)，老師出一道數(shù)學(xué)題為1到100的所有整數(shù)的和為多少？很快高斯即得出答案為5 050.老師大吃一驚，而更使人吃驚的是高斯的算法，高斯的算法是老師未曾教過(guò)的方法，那么這是一個(gè)什么樣的方法呢？它用于解決什么類型的問(wèn)題呢？這種方法叫倒序相加法，是等差數(shù)列求和的一種重要方法，本節(jié)我們就來(lái)研究它探究點(diǎn)一等差數(shù)列前n項(xiàng)和

3、公式思考1高斯是用怎樣的方法快速求出123100？.思考2人們從“高斯的算法”受到啟示，創(chuàng)造了“倒序相加法”，即設(shè)S12399100，把加數(shù)倒序?qū)懸槐椋篠100999821.兩式相加有2S(1100)(299)(992)(1001)100×101，S50×1015050.你能利用此種方法123n等于多少嗎？答思考3如何用“倒序相加法”求首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn呢？答小結(jié)(1)我們稱a1a2a3an為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，用Sn表示，即Sna1a2a3an.(2)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式：Snna1d.例12000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)

4、實(shí)施“校校通”的工程通知某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元那么從2001年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？解依題意得，反思與感悟建立等差數(shù)列的模型時(shí)，要根據(jù)題意找準(zhǔn)首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)或者首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)本題是根據(jù)首項(xiàng)和公差選擇前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解易錯(cuò)方面：把前n項(xiàng)和與最后一項(xiàng)混淆，忘記答或?qū)憜挝桓櫽?xùn)練1甲、乙兩物體分別從相距70 m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲第1分鐘走2 m，以后每分鐘

5、比前1分鐘多走1 m，乙每分鐘走5 m.(1)甲、乙開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇？(2)如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即返回，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1 m，乙繼續(xù)每分鐘走5 m，那么開(kāi)始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇？解例2已知一個(gè)等差數(shù)列an前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1 220，由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？解方法一； 方法二：反思與感悟(1)在解決與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題中，要注意方程思想和整體思想的運(yùn)用；(2)構(gòu)成等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二跟蹤訓(xùn)練2在等差數(shù)列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.探究點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)

6、和的性質(zhì)思考1設(shè)an是等差數(shù)列，公差為d，Sn是前n項(xiàng)和，那么Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差數(shù)列嗎？如果是，它們的公差是多少？答思考2設(shè)Sn、Tn分別為兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和，那么與有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)證明之答例3(1)等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求數(shù)列an的前3m項(xiàng)的和S3m(2) 兩個(gè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，已知，求的值(3) 解(1)方法一 方法二反思與感悟等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的有關(guān)性質(zhì)在解題過(guò)程中，如果運(yùn)用得當(dāng)可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易、事半功倍的效果跟蹤訓(xùn)練3設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S77，S1575，

7、Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求Tn.解當(dāng)堂檢測(cè)1 在等差數(shù)列an中，S10120，那么a1a10的值是()A12 B24 C36 D48答案B解析由S10，得a1a1024.2 記等差數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，若S24，S420，則該數(shù)列的公差d等于()A2 B3 C6 D7答案B解析方法一 由，解得d3.方法二由S4S2a3a4a12da22dS24d，所以20444d，解得d3.3 在一個(gè)等差數(shù)列中，已知a1010，則S19_.答案190解析S1919a1019×10190.4 已知等差數(shù)列an中，(1)a1，d，Sn15，求n及an；(2)a11，an512，Sn1 022，求d.解(1)

8、Snn·()×15，整理得n27n600，解之得n12或n5(舍去)，a12(121)×()4.(2)由Sn1 022，解之得n4.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解之得d171.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法稱為倒序相加法，在某些數(shù)列求和中也可能用到2 等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五個(gè)量，若已知其中三個(gè)量，通過(guò)方程思想可求另外兩個(gè)量，在利用求和公式時(shí)，要注意整體思想的應(yīng)用，注意下面結(jié)論的運(yùn)用：若mnpq，則anamapaq(n，m，p，qN*)；若mn2p，則anam2ap.3 本節(jié)基本思想：方程思想，

9、函數(shù)思想，整體思想，分類討論思想.一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1 已知等差數(shù)列an中，a2a88，則該數(shù)列的前9項(xiàng)和S9等于()A18 B27 C36 D45答案C解析S9(a1a9)(a2a8)36.2 等差數(shù)列an中，S104S5，則等于()A. B2 C. D4答案A解析由題意得：10a1×10×9d4(5a1×5×4d)，10a145d20a140d，10a15d，.3 已知等差數(shù)列an中，aa2a3a89，且an<0，則S10為()A9 B11 C13 D15答案D解析由aa2a3a89得(a3a8)29，an<0，a3a83，S1015.4 設(shè)等

10、差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S39，S636，則a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27答案B解析數(shù)列an為等差數(shù)列，則S3，S6S3，S9S6為等差數(shù)列，即2(S6S3)S3(S9S6)，S39，S6S327，則S9S645.a7a8a9S9S645.5 在小于100的自然數(shù)中，所有被7除余2的數(shù)之和為()A765 B665 C763 D663答案B解析a12，d7,2(n1)×7<100，n<15，n14，S1414×2×14×13×7665.6 含2n1項(xiàng)的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為()A. B. C

11、. D.答案B解析S奇，S偶，a1a2n1a2a2n，.7 設(shè)Sn為等差數(shù)列an前n項(xiàng)和，若S33，S624，求a9.解設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則S33a1d3a13d3，即a1d1，S66a1d6a115d24，即2a15d8.由解得故a9a18d18×215.二、能力提升8 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知am1am1a0，S2m138，則m等于()A38 B20 C10 D9答案C解析因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以am1am12am，由am1am1a0，得：2ama0，由S2m138知am0，所以am2，又S2m138，即38，即(2m1)×238，解得m10，故選C.9現(xiàn)

12、有200根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為()A9 B10 C19 D29答案B解析鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數(shù)組成了一個(gè)等差數(shù)列，最上面一層鋼管數(shù)為1，逐層增加1個(gè)鋼管總數(shù)為：123n.當(dāng)n19時(shí)，S19190.當(dāng)n20時(shí)，S20210>200.n19時(shí)，剩余鋼管根數(shù)最少，為10根10設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則等于()A. B. C. D.答案A解析方法一，a12d，.方法二由，得S63S3.S3，S6S3，S9S6，S12S9仍然是等差數(shù)列，公差為(S6S3)S3S3，從而S9S6S32S33S3S96S3，S12S9S3

13、3S34S3S1210S3，所以.11 已知等差數(shù)列an的前3項(xiàng)依次為a,4,3a，前k項(xiàng)和Sk2 550，求a及k.解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由題意得，.(注：k51舍)a2，k50.12一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和為100，前100項(xiàng)之和為10，求前110項(xiàng)之和解方法一設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則Snna1d.由已知得×10整理得d，代入，得a1，S110110a1d110××110110.故此數(shù)列的前110項(xiàng)之和為110.方法二設(shè)Snan2bn.S10100，S10010，解得Snn2n.S110×1102×110110.三、探究與拓展13已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a3a4117，a2a522.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)