141曲邊梯形的面積與定積分１

1、1.4.1曲邊梯形的面積與定積分教學(xué)目標(biāo)：1) 定積分概念的引入2）“分割、近似求和、取極限”數(shù)學(xué)思想的建立 教學(xué)重點(diǎn)：定積分概念的引入 教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用二、引入新課1 曲邊梯形的面積 我們已經(jīng)學(xué)會了正方形，三角形，梯形等面積的計算，這些圖形有一個共同的特征：每條邊都是直線段。但我們生活與工程實(shí)際中經(jīng)常接觸的大都是曲邊圖形,他們的面積怎么計算呢？我們通常用一些小矩形面積的和來近似它。abxyoabxyo（四個小矩形）（九個小矩形）上面用九個小矩形近似的情況顯然比用四個小矩形近似的情況精度高，但這樣得到的仍然是曲邊圖形面積的近似值。如何求取曲邊圖形的準(zhǔn)確面積呢？比如舉世矚目的長

2、江三峽溢流壩，其斷面形狀是根據(jù)流體力學(xué)原理設(shè)計的，如圖1所示，上端一段是是拋物線，中間部分是直線，下面部分是圓弧。建造這樣的大壩自然要根據(jù)它的體積備料，計算它的體積就需要盡可能準(zhǔn)確的計算出它的斷面面積。該斷面最上面拋物線所圍的那BACD 長江三峽溢流壩斷面一塊面積該怎樣計算呢？在介紹微分定義時我們已經(jīng)知道，直與曲雖然是一對矛盾，但它們可以相互轉(zhuǎn)化，早在三國時代，我代數(shù)學(xué)家劉徽就提出了“割圓術(shù)”，以“直”代“曲”把圓的面積近似看成多邊形面積來計算?，F(xiàn)在我們我們來計算一下溢流壩上部斷面面積。假設(shè)拋物線方程為 將 等分成n等份，拋物線下面部分分割成n個小曲邊梯形第i個小曲邊梯形用寬為，高為 的矩形代

3、替， 它的面積 所求的總面積我們分別取n=10, 50, 100用計算機(jī)把它的圖象畫出來，并計算出面積的近似值： clf, n=10; x=0:1/n:1; y=1-x.2; y1=1-x.2; sn=sum(1/n)*(1-x.2) bar(x,y,m) sn = 0.7150 clf, n=50; x=0:1/n:1; y=1-x.2; y1=1-x.2; sum(1/n)*(1-x.2) bar(x,y,m), axis(0,1,0,1) ans =0.6766 clf, n=100; x=0:1/n:1; y=1-x.2; y1=1-x.2; sum(1/n)*(1-x.2) bar(

4、x,y,m) ans = 0.6717S(10)= 0.7150; S(50)= 0.6766; S(100)=0.6717 由此可知，分割越細(xì)，越接近面積準(zhǔn)確值 。 再看一個變力做功的問題。F(x)AB設(shè) 質(zhì)點(diǎn) m 受力 的作用，沿直線由A點(diǎn)運(yùn)動到B 點(diǎn)，求變力作的功F 雖然是變力，但在很短一段間隔內(nèi)，F(xiàn)的變化不大，可近似看作是常力作功問題。按照求曲邊梯形面積的思想，1） 對作分割 當(dāng)每個小區(qū)間的長度都很小時，小區(qū)間 上的力 在 上，力F作的功 2）求和 力F在 上作的功分割越細(xì)，近似程度，分割無限細(xì)時，即分割細(xì)度 ，3）取極限 對上面和式取極限，極限值,就是力在 上作的功。從上面兩個例子看

5、出，不管是求曲邊梯形的面積或是計算變力作的功，它們都?xì)w結(jié)為對問題的某些量進(jìn)行“分割、近似求和、取極限”，或者說都?xì)w結(jié)為形如 的和式極限問題。我們把這些問題從具體的問題中抽象出來，作為一個數(shù)學(xué)概念提出來就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分下一個定義：（簡要定義見教材，這里給出嚴(yán)格定義，供參考）定義 設(shè) 是定義在區(qū)間上的一個函數(shù)，在閉區(qū)間上任取n-1個分點(diǎn) 把 a,b 分成 n個小閉區(qū)間，我們稱這些分點(diǎn)和小區(qū)間構(gòu)成的一個分割，用T表示, 分割的細(xì)度用表示，在分割T所屬的各個小區(qū)間內(nèi)各取一點(diǎn)稱為介點(diǎn)，作和式 以后簡記為 此和式稱為 在上屬于分割T的積分和（或黎曼和，設(shè)是一個確定的數(shù)，若對任意總

6、存在某個，使得 上的任何分割T，只要它的細(xì)度，屬于分割T的所有積分和 都有 則稱在上可積，稱J為函數(shù)在區(qū)間上的定積分(或黎曼積分)，記作 其中稱為積分函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，分別稱為積分 的上限和下限。利用積分的定義，前面提到曲邊梯形面積可簡潔的表示為 變力作功問題可表示為 例 用定義求積分 .注：理解定積分定義要注意以下三點(diǎn)：1）定積分定義與我們前面講的函數(shù)極限的“”定義形式上非常相似，但是兩者之間還是有很大差別的。對于定積分來說，給定了細(xì)度以后，積分和并不唯一確定，同一細(xì)度分割由無窮多種，即使分割確定，介點(diǎn)仍可以任意選取，所以積分和的極限比前面講的函數(shù)極限要復(fù)雜的多。2）定積分是積分和的極限，積分值與積