滬科版九上數(shù)學(xué)第21章：二次函數(shù)與反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上滬科版九上數(shù)學(xué)第21章:二次函數(shù)與反比例函數(shù)強(qiáng)化記憶知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系.二次函數(shù)中圖象與系數(shù)的關(guān)系:（1）二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小 a>0時(shí)，開口向上，a<0時(shí)，開口向下。越大，開口越小。越小，開口越大。（2）一次項(xiàng)系數(shù)，在確定的前提下，決定了拋物線對(duì)稱軸的位置若，則對(duì)稱軸在軸左邊，若，則對(duì)稱軸在軸的右側(cè)。若b=0，則對(duì)稱軸0,即對(duì)稱軸是軸.概括的說就是“左同右異,y軸0” （3）常數(shù)項(xiàng)，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)在軸的正半軸上 ;當(dāng)時(shí)，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，;當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上, 簡記為“上正下

2、負(fù)原點(diǎn)0”(4) =b24ac 決定了拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù). 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸沒有交點(diǎn).另外當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有； 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有注：a+b+c 表示x=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。a-b+c表示x= 1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值. 4a+2b+c表示x=2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。9a-3b+c表示x= 3時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.等知識(shí)2：一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系.一次函數(shù):y=kxb(k,b是常數(shù)，k0) 中圖象與系數(shù)的關(guān)系:（1）走向：k>0，圖象經(jīng)過第一、三象限；k<0，圖象經(jīng)過第二、四象

3、限b>0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0，圖象經(jīng)過第三、四象限直線經(jīng)過第一、二、三象限 直線經(jīng)過第一、三、四象限直線經(jīng)過第一、二、四象限 直線經(jīng)過第二、三、四象限（2）增減性： k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.（3）截距: 當(dāng)b>0時(shí)，圖象交于y軸正半軸, 當(dāng)b<0時(shí)，圖象交于y軸負(fù)半軸,當(dāng)b=0時(shí)，圖象交于原點(diǎn).（4）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.知識(shí)3：反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系以及反比例函數(shù)性質(zhì).反比例函數(shù):y（k為常數(shù)，k0）中圖象與系數(shù)的關(guān)系:（1）反比例函數(shù)的增減性不連續(xù)，在討論函數(shù)增減

4、問題時(shí)，必須有“在每一個(gè)象限內(nèi)”這一條件。（2）反比例函數(shù)圖像的兩個(gè)分只可以無限地接近x軸、y軸，但與x軸、y軸沒有交點(diǎn)。3） 越大，圖象的彎曲度越小， 越小，圖象的彎曲度越大，雙曲線越靠近坐標(biāo)軸反比例函數(shù)y（k為常數(shù)，k0）k的取值k0k0圖像性質(zhì)a) x的取值范圍是x0；y的取值范圍是y0;b) 函數(shù)的圖像兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大。a) x的取值范圍是x0；y的取值范圍是y0;b) 函數(shù)的圖像兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小。（1）反比例函數(shù)解析式（k0）的確定：利用待定系數(shù)法（只需一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出）

5、為了計(jì)算的方便通常變形成k=xy,即k等于圖像上任意一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的乘積。（2） 反比例函數(shù)y（k0）中的比例系數(shù)k的幾何意義:表示反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸所作的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積。如圖，過雙曲線y（k0）上的任意一點(diǎn)P（x , y）做x軸、y軸的垂線PA、PB，所得矩形OBPA的面積:推論：過雙曲線上的任意一點(diǎn)做坐標(biāo)軸的垂線，連接原點(diǎn)，所得三角形的面積為 (3）反比例函數(shù)y（k0）圖象的對(duì)稱性： 圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱:即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）在雙曲線的另一支上 圖象關(guān)于直線y=-x和y=x對(duì)稱:即若（a，b）在雙曲線的一支上，則(-b,-a)或（b,a

6、）在雙曲線的另一支上反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:反比例函數(shù)雙曲線，待定只需一個(gè)點(diǎn)，k為正,圖在一、三(象)限；k為負(fù),圖在二、四(象)限;圖在一、三函數(shù)減,兩個(gè)分支分別減；圖在二、四正相反,兩個(gè)分支分別增;線越長越近軸,永遠(yuǎn)與軸不沾邊.圖象上面任意點(diǎn)，矩形面積都不變，對(duì)稱軸是角分線.知識(shí)點(diǎn)4：二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的性質(zhì)函數(shù)的圖象圖象特點(diǎn)函數(shù)性質(zhì) 當(dāng)a>O時(shí)向上無限伸展； 當(dāng)a<O時(shí)向下無限伸展自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)當(dāng)a>O時(shí)開口向上； 當(dāng)a<O時(shí)開口向下； 頂點(diǎn)為(,)a>O時(shí)，當(dāng)x=時(shí)，y有最小值為；a<O時(shí)，當(dāng)x=時(shí)，

7、y有最大值為對(duì)稱軸為x=，當(dāng)a>O時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)圖象從左到右下降，對(duì)稱軸右側(cè)圖象從左到右上升；當(dāng)a<O時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)圖象從左到右上升，對(duì)稱軸右側(cè)圖象從左到右下降 a>O時(shí)，當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大； a<O時(shí)，當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減小二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)0yxO0圖 象開 口 向上 向下對(duì) 稱 軸x=hx=h頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k)(h,k)最 值當(dāng)x h 時(shí)，y有最 小值當(dāng)x h 時(shí)，y有最 大 值增減性在對(duì)稱軸左側(cè)即當(dāng)x<h時(shí)y隨x的增大而減小 y 隨x的增大而增大 在對(duì)稱軸

8、右側(cè)即當(dāng)x>h時(shí)y隨x的增大而增大 y隨x的增大而減小 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開口向上當(dāng)時(shí)開口向下(軸)(0,0)(軸)(0, )(,0)(,)()二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:二次方程零換y，二次函數(shù)便出現(xiàn)。全體實(shí)數(shù)定義域， 圖像叫做拋物線。二次函數(shù)拋物線，圖象對(duì)稱是關(guān)鍵；兩邊單調(diào)正相反, 增減特性可看圖。線軸交點(diǎn)叫頂點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)最重要, 橫標(biāo)即為對(duì)稱軸, 縱標(biāo)函數(shù)最值現(xiàn)。開口、大小由a斷,c與y軸來相見,b的符號(hào)較特別，符號(hào)與a相關(guān)聯(lián)；y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；的符號(hào)最簡便，x軸上數(shù)交點(diǎn).一般、頂點(diǎn)、交點(diǎn)式，不同表達(dá)能互

9、換。如果要畫拋物線，描點(diǎn)平移兩條路。提取配方定頂點(diǎn)，兩條途徑再挑選。列表描點(diǎn)后連線，平移規(guī)律記心間。左加右減括號(hào)內(nèi)，號(hào)外上加下要減。知識(shí)點(diǎn)5：有關(guān)拋物線的平移問題由于拋物線的開口方向與開口大小均由二次項(xiàng)系數(shù)a確定，所以兩個(gè)二次函數(shù)如果a相等，那么其中一個(gè)函數(shù)的圖象可以由另一個(gè)函數(shù)的圖象平移得到，所以形如y=ax2，y=ax2+k，y=a(xh)2+k(aO，a、k、h為常數(shù))形式的函數(shù)圖象可以相互平移得到，而具體平移方式一般由各函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)來確定平移方式如下圖：任意拋物線y=ax2+bx+c可以由拋物線y=ax2經(jīng)過適當(dāng)?shù)仄揭频玫?，具體平移方法下圖所示：數(shù)形結(jié)合法： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)

10、式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（抓住頂點(diǎn)） 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處。公式法（結(jié)論法）：概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減” y=ax2+bx+c沿 x軸向左平移h個(gè)單位得 y=a(x+h)2+b(x+h)+c y=ax2沿 x軸向左（右）平移h個(gè)單位得y=a(x+h)2y=a(x+h)2+k沿 x軸向左（右）平移m個(gè)單位得y=a(x+h+m)2+k （或y=a(x+h-m)2+k） y=ax2+bx+c 沿 y 軸向上（下）平移k個(gè)單位得 y=ax2+bx+c+k （或y=ax2+bx+c-k）y=ax2沿 y軸向上（下）平移k個(gè)單位得y=ax2 +k （或y=ax2-k）y=a(x+h)

11、2+k沿 y軸向上（下）平移n個(gè)單位得y=a(x+h)2+k+n（或y=a(x+h)2+k+n）注：對(duì)于一般式抓住與y軸的交點(diǎn)或頂點(diǎn)，對(duì)于頂點(diǎn)式抓住頂點(diǎn)。函數(shù)圖像的移動(dòng)規(guī)律口訣: 若把一次函數(shù)解析式寫成y=k（x+0）+b，二次函數(shù)的解析式寫成y=a（x+h）2+k的形式，則用下面后的口訣：“左右平移在括號(hào),上下平移在末稍,左加右減須牢記,上加下減錯(cuò)不了”知識(shí)點(diǎn)6：.二次函數(shù)三種表示方法及解析式求法：（1）一般式：（，為常數(shù)，）；（2）頂點(diǎn)式：（，為常數(shù)，）；（3）交點(diǎn)式（兩根式）：（，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）求二次函數(shù)解析式的方法.(1)利用待定系法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，一般先設(shè)函數(shù)關(guān)系式

12、，然后通過解方程（組）來求待定的系數(shù)。有3種設(shè)法。頂點(diǎn)未知時(shí)，設(shè)一般式：（） 已知頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),設(shè)頂點(diǎn)式：（）已知拋物線與軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1 ,0）與 (x2,0),設(shè)交點(diǎn)式（）注：以下4種是以上3種的特例：已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，可設(shè)y=ax2 （）對(duì)稱軸是y軸或頂點(diǎn)在y軸上，可設(shè)y=ax2+c（）頂點(diǎn)在x軸上，可設(shè)y=a(x-h)2（）拋物線過原點(diǎn)，可設(shè)y=ax2+bx （）另外選擇一般式時(shí), 把三點(diǎn)或三對(duì)、的值代入外,有時(shí)通過對(duì)稱軸方程或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程.(2)根據(jù)拋物線間的關(guān)系求二次函數(shù)解析式.解這類題的關(guān)鍵是深刻理解平移前后兩拋物線間的關(guān)系，以及所對(duì)應(yīng)的解析式間的聯(lián)系，并注意逆

13、向思維的應(yīng)用。另外，還可關(guān)注拋物線的頂點(diǎn)發(fā)生了怎樣的移動(dòng)，常見的幾種變動(dòng)方式有：開口反向（或旋轉(zhuǎn)1800），此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)不變，只是反號(hào)；兩拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，反號(hào)；兩拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱；這類問題，必須把已知二次函數(shù)的解析式化成“頂點(diǎn)式”。(3)已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)間的距離求二次函數(shù)解析式當(dāng)已知二次函數(shù)與x軸兩交點(diǎn)間的距離時(shí)，常用一般式、韋達(dá)定理和關(guān)系式：(4) 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求二次函數(shù)關(guān)系式。知識(shí)點(diǎn)7：求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法（1） 公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線. （2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸

14、是直線. （3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：設(shè)A(x1，ya），B (x2，yb）是拋物線上的兩點(diǎn)，且ya=yb，則拋物線的對(duì)稱軸為直線 用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失. 知識(shí)點(diǎn)8：直線與拋物線的交點(diǎn) （1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ). （2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,). （3）拋物線與軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切； 沒有交點(diǎn)拋物線與軸相離. （4）平行于軸的直線與拋

15、物線的交點(diǎn) 同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)由方程組 的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無解時(shí)與沒有交點(diǎn). （6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離： 其它補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)；知識(shí)點(diǎn)1：中考二次函數(shù)壓軸題?？脊剑ū赜洷貢?huì)，理解記憶）兩點(diǎn)間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí)，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法） y如圖：點(diǎn)A坐標(biāo)為（x1，y1）點(diǎn)B坐標(biāo)為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的長度為 A 0 x 兩點(diǎn)間距

16、離公式： 同軸兩點(diǎn)求距離，大減小數(shù)就為之。 與軸等距兩個(gè)點(diǎn)，間距求法亦如此。 平面任意兩個(gè)點(diǎn)，橫縱標(biāo)差先求值。 差方相加開平方，距離公式要牢記。 知識(shí)點(diǎn)2：不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征 1、各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征 點(diǎn)P(x,y)在第一象限 點(diǎn)P(x,y)在第二象限點(diǎn)P(x,y)在第三象限 點(diǎn)P(x,y)在第四象限2、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征點(diǎn)P(x,y)在x軸上，x為任意實(shí)數(shù) 點(diǎn)P(x,y)在y軸上，y為任意實(shí)數(shù)點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時(shí)為零，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，0）口訣助記：X軸上y為0,x為0在Y軸。3、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x

17、與y相等點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數(shù)4、和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。位于平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。5、關(guān)于x軸、y軸或原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)P與點(diǎn)p關(guān)于x軸對(duì)稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)點(diǎn)P與點(diǎn)p關(guān)于y軸對(duì)稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)點(diǎn)P與點(diǎn)p關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)口訣助記：對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)要記牢,相反數(shù)位置莫混淆，X軸對(duì)稱y相反, Y軸對(duì)稱,x前面添負(fù)號(hào)； 原點(diǎn)對(duì)稱最好記,橫縱坐標(biāo)變符號(hào)。6、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離（1）點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于（2）點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于（3）點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于知識(shí)點(diǎn)3：拋物線的對(duì)稱問題（不須記憶，只要理解即可）關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析