小升初專題簡單幾何體的表面積與體積的計算

1、簡單幾何體的表面積與體積的計算一、四種常見幾何體的平面展開圖1.正方體沿正方體的某些棱將正方體剪開鋪平，就可以得到它的平面展開圖，這一展開圖是由六個全等的正方形組成的，見圖61。圖6l只是正方體平面展開圖的一種畫法，還有別的畫法（從略）。2.長方體沿長方體的某些棱將長方體剪開鋪平，就可以得到它的平面展開圖。這一展開圖是六個兩兩彼此全等的長方形組成的，見圖62。圖62只是長方體平面展開圖的一種畫法，還有別的畫法（從略）。3.（直）圓柱體沿圓柱的一條母線和側(cè)面與上、下底面的交線將圓柱剪開鋪平，就得到圓柱體的平面展開圖。它由一個長方形和兩個全等的圓組成，這個長方形的長是圓柱底面圓的周長，寬是圓柱體的

2、高。這個長方形又叫圓柱的側(cè)面展開圖。圖63就是圓柱的平面展開圖。4.（直）圓錐體沿圓錐體的一條母線和側(cè)面與下底面圓的交線將圓錐體剪開鋪平，就得到圓錐的平面展開圖。它是由一個半徑為圓錐體的母線長，弧長等于圓錐體底面圓的周長的扇形和一個圓組成的，這個扇形又叫圓錐的側(cè)面展開圖。具體圖形見圖64。二、四種常見幾何體表面積與體積公式1.長方體長方體的表面積=2×（a×b+b×c+c×a）長方體的體積=a×b×c（這里a、b、c分別表示長方體的長、寬、高）。2.正方體正方體的表面積=6×a2正方體的體積=a3（這里a為正方體的棱長）。3

3、.圓柱體圓柱體的側(cè)面積=2Rh圓柱體的全面積=2Rh+2R2=2R（h+R）圓柱體的體積=R2h（這里R表示圓柱體底面圓的半徑，h表示圓柱的高）。4.圓錐體圓錐體的側(cè)面積=Rl圓錐體的全面積=Rl+R2母線長與高）。三、例題選講例1 圖65中的幾何體是一個正方體，圖66是這個正方體的一個平面展開圖，圖67（a）、（b）、（c）也是這個正方體的平面展開圖，但每一展開圖上都有四個面上的圖案沒畫出來，請你給補上。分析與解：從圖65和圖66中可知： 與；與；與互相處于相對面的位置上。只要在圖67（a）、（b）、（c）三個展開圖中，判定誰與誰處在互為對面的位置上，則標有數(shù)字的四個空白面上的圖案便可以補上

4、。先看圖67中的（a），仔細觀察可知，1與4，3與處在互為對面的位置上。再看圖67中的（b），同上，1與3，2與處在互為對面的位置上。最后再看圖67中的（c），同上，1與，2與4處在互為對面的位置上。圖67（a）、（b）、（c）標有數(shù)字的空白面上的圖案見圖68中的（a）、（b）、（c）。例2 圖69中的幾何體是一個長方體，四邊形APQC是長方體的一個截面（即過長方體上四點A、P、Q、C的平面與長方體相交所得到的圖形），P、Q分別為棱A1B1、B1C1的中點，請在此長方體的平面展圖上，標出線段AC、CQ、QP、PA來。分析與解：只要能正確畫出圖69中長方體的平面展開圖，問題便能迎刃而解。圖610

5、中的粗實線，就是題目中所要標出的線段AC、CQ、QP、PA。例3 在圖611中，M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點，若從M點繞圓柱體的側(cè)面到達N，沿怎么樣的路線路程最短？分析與解：沿圓柱體的母線MN將圓柱的側(cè)面剪開鋪平，得出圓柱的側(cè)面展開圖，見圖612，從M點繞圓柱體的側(cè)面到達N點。實際上是從側(cè)面展開圖的長方形的一個頂點M到達不相鄰的另一個頂點N。而兩點間以線段的長度最短。所以最短路線就是側(cè)面展開圖中長方形的一條對角線，見圖612和圖613。例4 圖614中的幾何體是一棱長為4厘米的正方體，若在它的各個面的中心位置上，各打一個直徑為2厘米，深為1厘米的圓柱形的孔，求打孔后幾何

6、體的表面積是多少（=3.14）？分析與解：因為正方體的棱長為2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方體沒有被打透。這一來打孔后所得幾何體的表面積，等于原來正方體的表面積，再加上六個完全一樣的圓柱的側(cè)面積、這六個圓柱的高為1厘米，底面圓的半徑為1厘米。正方體的表面積為42×6=96（平方厘米）一個圓柱的側(cè)面積為2×1×1=6.28（平方厘米）幾何體的表面積為96+6.28×6=133.68（平方厘米）答：（略）例5 圖615是由18個邊長為1厘米的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積是多少？分析與解：從圖615中可以看出，18個小正方體一共擺了三層，第一層2

7、個，第二層7個，因為18-7-2=9，所以第三層擺了9個。另外，上、下兩個面的表面積是相同的，同樣，前、后；左、右兩個面的表面積也是分別相同的。因為小正方體的棱長是1厘米，所以上面的表面積為12×9=9（平方厘米）前面的表面積為12×8=8（平方厘米）左面的表面積為12×7=7（平方厘米）幾何體的表面積為9×2+8×2+7×2=答：（略）例6 圖616中所示圖形，是一個底面直徑為20厘米的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6厘米，高20厘米的一個圓錐體鉛錘，當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？（=3.14）分析與

8、解：因為玻璃杯是圓柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實際是一個小圓柱，這個圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20厘米的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積，這個小圓柱的高就是水面下降的高度。因為圓錐形鉛錘的體積為設(shè)水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為x（20÷2）2×x=100x（立方厘米）所以有下列方程：60=100x，解此方程得：x=0.6（厘米）答：鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6厘米。例7橫截面直徑為2分米的一根圓鋼，截成兩段后，兩段表面積的和為75.36平方分米，求原來那根圓鋼的體積是多少（=3.14）？分析與解：根據(jù)圓柱體的體積公式，體積=底面積

9、5;高。假設(shè)圓鋼長為x，因為將圓鋼截成兩段后，兩段表面積的和，等于圓鋼的側(cè)面積加上四個底面圓的面積，所以有下面式子：2×（2÷2）×x+4×（2÷2）2=2x+4根據(jù)題目中給出的已知條件，可得下面方程：2x+4=75.36解方程：圓鋼的體積為×（2÷2）2×1031.4（立方分米）答：（略）。例8 一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為10厘米、圓心角為216°的扇形，求此圓錐的體積是多少（=3.14）？分析與解：要想求出圓錐的體積，就要先求出它的底面圓的半徑與高。按題意畫圖617。在圖617中，字母R、h分別

10、表示底面圓的半徑和圓錐體的高，根據(jù)弧長公式：弧長=2R×n÷360（這里R是圓的半徑，n為弧所對圓心角的度數(shù)），便可求出弧長來。這個弧長就是底面圓的周長，再利用周長公式，就可求出底面圓的半徑R。另外從圖617中可以看出：圓錐的高、母線、底面圓的半徑正好構(gòu)成一個直角三角形，利用勾股定理便可求出圓錐的高h。所以 2R=12，得R=6（厘米）在直角三角形中，根據(jù)勾股定理有：102=h2+R2，即h2=102-R2 =100-36=64，h=8（厘米）答：（略）例9 圖618中的圖形是一個正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點?，F(xiàn)在沿三角形GFH所在平面鋸掉正方體的一個

11、角，問鋸掉的這塊的體積是原正方體體積的幾分之幾？分析與解：因為鋸掉的是立方體的一個角，所以HA與AG、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方體的上底面，實際上鋸掉的這個角，是以三角形AGF為底面，H為頂點的一個三棱錐，如果我們假設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3。三棱錐的底面是直角三角形AGF，而角FAG為90°，G、F又分別為AD、而三棱錐的體積等于底面積與高的乘積再除以3，所以鋸掉的那一角的體積為答：（略）例10 圖619是一個里面裝有水的三棱柱封閉容器，圖620是這個三棱柱的平面展開圖。當以A面作為底面放在桌面上時，水高2厘米，如果以B面與C面分別作為底面放在桌面

12、上時，水面高各為多少厘米？分析與解：我們先求以A面作為底面放在桌面上時容器內(nèi)的水的體積。此時水的體積，與以梯形FJQP為底面、JI為高的棱柱的體積相等。棱柱的體積等于底面積乘以高，從圖620可以看出，此棱柱的高JI為12厘米，梯形FJQP的下底FJ為3厘米，高QJ為2厘米。因為PTJQ是個長方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q點是GJ的中點，PQ平行于FJ，這樣可以推算出QP為FJ的一半，為1.5厘米，這一來梯形FJQP的面積為以C面為底面時，水的體積與以C（即三解形EHI）為底面，高為某數(shù)值此時水面的高度為：54÷6=9（厘米）以B面作為底面時，原來以A面為底面時不裝水的那一部分，現(xiàn)在應(yīng)裝水，原來裝水的某一部分現(xiàn)在應(yīng)空出來，下面來討論這兩份之間的數(shù)量關(guān)系。為方便起見，我們把C面適當放大成圖621，在圖621中，因為PQ平行于FJ，PT垂直于FJ，所以J