導數(shù)與積分復習建議——區(qū)簡版

1、導數(shù)與積分復習建議一、導數(shù)的要求考試內容要求層次ABC導數(shù)及其應用導數(shù)的概念與幾何意義導數(shù)的概念導數(shù)的幾何意義導數(shù)的運算根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y=c,y=x,的導數(shù)導數(shù)的四則運算簡單的復合函數(shù)（僅限于f(ax+b)形式）導數(shù)公式表導數(shù)在研究函數(shù)中的應用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性（其中多項式函數(shù)不超過三次）函數(shù)的極值、最值（其中多項式函數(shù)不超過三次）利用導數(shù)解決某些實際問題定積分與微積分基本定理定積分的概念微積分基本定理二、近年導數(shù)題在北京高考試題中的位置（2007年北京1913分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓

2、上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值（2008年北京1813分）已知函數(shù)，求導函數(shù)，并確定的單調區(qū)間（2009年北京115分）設是偶函數(shù)，若曲線在點處的切線的斜率為1，則該曲線在處的切線的斜率為_.（2009年北京1813分）設函數(shù)（）求曲線在點處的切線方程；（）求函數(shù)的單調區(qū)間；（）若函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，求的取值范圍.（2010年北京1813分)已知函數(shù)()=In(1+)-+(0)。()當=2時，求曲線=()在點(1，(1)處的切線方程；()求()的單調區(qū)間。三、第一輪導數(shù)復習建議明確考試說明的要求。應對：1、熟練基本求導公式，正確求導、

3、明確概念；(1) 幾個常用的特例:, , , （2） 導數(shù)的四則運算:對結構的熟悉可以靈活逆用公式來構造函數(shù)解決問題。（3） 復合函數(shù)的求導法則:（一定注意一次函數(shù)的系數(shù)與符號、求導徹底?。?、各種類型的求導：強調求導三步曲：定義域、求導（徹底、正確）、因式分解3、明確相關概念以及書寫： 極大值、極小值，最大值，最小值極值、極值點: 極值點、零點4、熟練導數(shù)的基本應用（單調性、極值、最值），書寫規(guī)范；（1）切線問題（2）單調性問題（3）極值與最值（4）證明不等式（5）恒成立（6）公共點個數(shù)等5、會含參一次、二次不等式的討論；（1）注意函數(shù)的定義域；（2）注意討論的順序；（3）別忘了取等的情況；

4、（4）數(shù)形結合；6、會常見的求參數(shù)范圍的問題與解決方法，熟練恒成立問題的解決方法。四、參考做法1、前后一致選配例題，最大限度節(jié)省課時，提高效率； 求導練習，（同時寫出函數(shù)的單調區(qū)間）第一組：(1)/對于高次函數(shù)求導，不建議展開后求導，直接求導方便因式分解！(2) /(3) /(4)/第二組：(1) f(x)=x2 ax + (a1), /(2), 其中/(3) /(4)/(5)/(6) / (7) /(8) /第三組：(1) /(2)/ = (3) /(4) /2、最大限度應用一個題，深入研究各種問法與解法跳出題海訓練，對熟悉的題目進行挖掘改造，來達到我們的目的。原題： 對于R上可導的任意函數(shù)

5、f(x), 若滿足 , 則必有( C ) A. f(0) + f(2) < 2f(1) B. f(0) + f(2) £2f(1) C. f(0) + f(2) ³2f(1) D. f(0) + f(2) >2f(1)變式1：若改為已知的圖象，原函數(shù)的圖象大致？變式2：若已知的圖象呢？變式3：若已知的圖象呢？4、導數(shù)的應用復習課效率從哪來？導數(shù)還能怎么考？1、總結常規(guī)應用，規(guī)范結題格式；2、導數(shù)還能怎么考，換個問法，或是與函數(shù)、不等式、數(shù)列、線性規(guī)劃綜合，更多的是對導數(shù)本質的理解與工具性知識的變通與應用。1. (04全國文.改) 已知函數(shù)(1) 若函數(shù)f(x)在

6、區(qū)間(1,4)上為減函數(shù), 在區(qū)間(6, +) 上為增函數(shù), 求實數(shù)a的取值范圍;aÎ 5,7 (2) 若函數(shù)f(x) 的單調遞減區(qū)間是(1, 4), 求實數(shù)a的值;a = 5(3) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,4)上為減函數(shù), 在區(qū)間(4, +) 上為增函數(shù), 求實數(shù)a的值;a = 5(4) 若函數(shù)f(x) 存在單調遞減區(qū)間, 求實數(shù)a的取值范圍.a¹ 2(5)若函數(shù)f(x)在（1，4）內不單調，求實數(shù)a的取值范圍。2<a<52. 已知函數(shù)(1) 若k = e, 確定函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(2) 若k > 0, 且對于任意,恒成立, 求實數(shù)k的取值范圍;

7、(0<k<e)(3) 若存在x0, 使得, 求:實數(shù)k的取值范圍;(4) 設k > e, 若令,對于-1,1內的任意實數(shù),總存在-1,1滿足:, 求: 實數(shù)k的取值范圍; (5) 設k > e, 若令,對于-1,1內的任意實數(shù),總存在-1,1滿足:, 求: 實數(shù)k的取值范圍; (6)設k > e, 若令,對于-1,1內的任意實數(shù), , 滿足:, 求: 實數(shù)k的取值范圍; (7)求證：不等式 對任意正整數(shù)n恒成立。（8） (08西城二模)當k=1時，求的最小值; 若不等式的解集為, 且, 求實數(shù)的取值范圍; /（7）由（2）可知，當kÎ（0，e）時，f(x

8、)>0成立，即ex>kx成立。 （8）例題與習題1、定義公式的靈活應用，讓我們必須對導數(shù)有更深的認識。1. 設球的半徑為時間t的函數(shù)R(t). 若球的體積以均勻速度C增長,則球的表面積的增長速度與球半徑( D )A.成正比,比例系數(shù)為CB. 成正比,比例系數(shù)為2CC.成反比,比例系數(shù)為CD. 成反比,比例系數(shù)為2C2. (1)若函數(shù)在R上可導且滿足不等式恒成立,且常數(shù)a, b滿足a > b,則下列不等式一定成立的是( A )A. B. C.D. (2) f(x)是定義在上的非負可導函數(shù), 且滿足,對任意正數(shù)a、b, 若a < b,則必有( A ) A. B. C. D.

9、 (3)設函數(shù)f(x)在R上的導函數(shù)為f ¢(x), 且2f(x) + xf ¢(x) > x,下面的不等式在R內恒成立的是（A） A.B.C.D. 2、基本應用：1. (07海南)曲線在點(4, e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為( D )A. B. C. D. 2. (福建09) 若曲線存在垂直于y的切線, 則實數(shù)a取值范圍是_. 3.(全國I.09) 已知直線y = x+1與曲線相切,則a的值為( B )A. 1 B. 2 C. -1 D. -23、關于導數(shù)與原函數(shù)的圖象問題，努力培養(yǎng)學生的數(shù)形結合思想與能力！1. (2007年浙江卷理8) 設是函數(shù)的導函

10、數(shù), 將和的圖象畫在同一個直角坐標系中, 不可能正確的是( )/D yxO yxO y xO yxOABCD2.（2010江西理）12.如圖，一個正五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為，則導函數(shù)的圖像大致為（A）3.（2009湖南卷文）若函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是( A )yababaoxoxybaoxyoxybA B C D4、應用導數(shù)知識的綜合1、函數(shù)，極大值點在(0,1)內，極小值點在(1,2)內，則的取值范圍是_。2、（2010 海淀區(qū)上學期期末14）考慮以下數(shù)列，： ； ； .其中滿足性質“對任意正整數(shù)，

11、都成立”的數(shù)列有（寫出滿足條件的所有序號）；若數(shù)列滿足上述性質，且，則的最小值為.;285、恒成立問題的兩種解決方法（2010海淀一模18）已知函數(shù)其中a為常數(shù)，且.（）當時，求在（e=2.718 28）上的值域；（）若對任意恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.解：（I）（）6、積累幾種常見的技巧遼寧09已知函數(shù)f(x)=x-ax+(a-1)，。（1）討論函數(shù)的單調性；（2）證明：若，則對任意x，x，xx，有。(II)考慮函數(shù) /陜西09已知函數(shù)，其中若在x=1處取得極值，求a的值；求的單調區(qū)間；（）若的最小值為1，求a的取值范圍。四川08已知是函數(shù)的一個極值點。（）求；（）求函數(shù)的單調區(qū)間；（）若直

12、線與函數(shù)的圖象有3個交點，求的取值范圍。解（）（）的單調增區(qū)間是的單調減區(qū)間是（）。學探診：判斷函數(shù)是否存在最小值，若存在求出來，若不存在說明理由。解： 存在最小值。已知函數(shù) （1）若函數(shù)在其定義域內為單調遞增函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍。 （2）若函數(shù)，若在1，e上至少存在一個x的值使成立，求實數(shù)p的取值范圍。五、積分復習建議要求：1、掌握定積分的公式、性質、幾何意義；2、會計算定積分，能利用定積分求所求圖形的面積。1定積分基本公式被積函數(shù)一個原函數(shù)2定積分的性質3定積分的幾何意義幾何意義的重要性，解決相關面積問題的方法。4定積分的應用（1）求定積分運算（用公式、幾何意義）（2）定積分求曲邊梯形

13、面積數(shù)形結合（幾何意義）幾個例題1.寫成定積分的形式，可記為（C）A.B.C.D.2. 計算下列定積分（1）|sinx|dx;(2)3求面積：（1）曲線y=cosx（0x）與坐標軸所圍成的面積是（）A.2 B.3 C.D.4（2）求由曲線與圍成的平面圖形的面積.（）（3）求拋物線y2=2x與直線y=4-x圍成的平面圖形的面積.（18.）導數(shù)單元測試題（理科）北京八中提供一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1已知函數(shù)，那么等于（ ）（A）（B）（C）（D）2若函數(shù)y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf(x)恒成立，且常數(shù)a,b滿足

14、ab,則下列不等式一定成立的是（ ）（A）af(b)bf(a)（B）af(a)bf(b)（C）af(a)bf(b)（D）af(b)bf(a)3設曲線y=在點（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，則a等于（D ）（A） 2（B）（C）（D）-24函數(shù)F(x)=t(t-4)dt在-1,5上 （ ）（A）有最大值0,無最小值（B）有最大值0和最小值（C）有最小值,無最大值（D）既無最大值也無最小值5函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（）（A）0f(3)f(2)（B）0f(3)f(2) （C）0f(3)f(3)f(2)（D）0f(3)f(2)6已知函數(shù)的定義域是，關于函數(shù)給出下列

15、命題：對于任意，函數(shù)是上的減函數(shù)；對于任意，函數(shù)存在最小值；存在，使得對于任意的，都有成立；存在，使得函數(shù)有兩個零點其中正確的命題是（ ）（A）（B）（C）（D）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 把答案填在題中橫線上.7.如圖所示，曲線y=x21及x軸圍成圖形的面積S為.8. 已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為,且滿足f(x)=3x2+2x,則=.9.若函數(shù)f(x)=在區(qū)間（m,2m+1)上是單調遞增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是.10. 用邊長為48 cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊接成鐵盒，所做的鐵盒容積最大時，在四

16、角截去的正方形的邊長為.三、解答題：本大題共4小題，共50分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.11（本小題滿分12分）設函數(shù)f（x）=x33ax2+3bx的圖象與直線12x+y1=0相切于點（1，11）.（I）求a，b的值；（II）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間.12（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x3x2+bx+c.(I)若f(x)在（，+）上是增函數(shù)，求b的取值范圍;(II)若f(x)在x=1處取得極值，且x1,2時，f(x)c2恒成立，求c的取值范圍.13（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)=(1+x)2-aln(1+x)2在(-2,-1)上是增函數(shù)，在（-，2）上為減函數(shù).（I

17、）求f(x)的表達式；（II）若當x1, e1時，不等式f(x)m恒成立，求實數(shù)m的值；（III）是否存在實數(shù)b使得關于x的方程f(x)=x2+x+b在區(qū)間0，2上恰好有兩個相異的實根.若存在，求實數(shù)b的取值范圍.14（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中（）求函數(shù)的零點；（）討論在區(qū)間上的單調性；（）在區(qū)間上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由參考答案1.A 2.B 3.A 4.B 5.B 6.C7.8. 69.（1，010. 811解 （I）求導得=3x26ax+3b.由于f（x）的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，11），所以f（1）=11，=12，即解得a=1

18、，b=-3.（II）由a=1，b=-3得=3x26ax+3b=3(x22x3)=3(x+1)(x3).由0,解得x1或x3;又令0,解得1x3.所以當x(-,1)和(3,+）時,f(x)是增函數(shù);當x(1,3)時,f(x)是減函數(shù).12解 （I）=3x2-x+b,因f(x)在（，+）上是增函數(shù)，則0.即3x2x+b0,bx-3x2在（，+）恒成立.設g(x)=x3x2,當x=時，g(x)max=,b.(II)由題意知=0，即3-1+b=0，b=-2.x1,2時，f(x)<c2恒成立，只需f(x)在-1，2上的最大值小于c2即可.因=3x2x2,令=0,得x=1或x=.f(1)=-+c,f(,f(2)=2+c.f(x)max=f(2)=2+c,2+c<c2.解得c>2或c<-1，所以c的取值范圍為（-，1）（2，+）.13解 (I)=2(1+x)-