基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)試卷

1、基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)試卷試卷2一、 填空題（每小題2分，共20分）1. 設(shè)為離散空間的子集, 那么_.2. 設(shè)為度量空間的子集, 若, 則準(zhǔn)確表示與的關(guān)系的式子是_.3. 拓?fù)淇臻g的每一個(gè)有限集是閉集當(dāng)且僅當(dāng)是_空間.4. 設(shè)為拓?fù)淇臻g,為的子集, , 如果_, 則稱是的凝聚點(diǎn).5. 點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)是研究_.6. 對于拓?fù)淇臻g的一個(gè)子空間, 與滿足: .7. 設(shè)為滿足第一可數(shù)公理的拓?fù)淇臻g, 那么每一個(gè)有一個(gè)的鄰域基具有如下特點(diǎn):_.8. 設(shè)為拓?fù)淇臻g的積空間, , 是緊拓?fù)淇臻g, 則每一個(gè)為_空間.9. 任何一族連通空間的積空間都是_空間.10. 一個(gè)拓?fù)淇臻g的可分性定義為_.二、單項(xiàng)選擇題 (

2、每小題2分, 共20分)11. 設(shè), 則下面不正確的命題是（ ）A. B. C. D. 12. 設(shè)為拓?fù)淇臻g, , 則下面不正確的命題是( )A. B. C. D. 13. 設(shè)為拓?fù)淇臻g, 是中的收斂序列, 則下面正確的命題是( )A. 對于任何拓?fù)淇臻g, 的極限唯一.B. 若是Hausdorff空間, 則的極限唯一.C. 若是第一可數(shù)的, 則的極限唯一.D. 若是正則空間, 則的極限唯一.14. 設(shè)集合, 那么下面不是上的拓?fù)涞募迨? )A. B. C. D. 15. 設(shè)為拓?fù)淇臻g, 下面不正確的命題是( )A. 若是第二可數(shù)的, 則是第一可數(shù)的.B. 若是第二可數(shù)的, 則是可分的.C.

3、若是可分的度量空間, 則是Lindelf的.D. 若是Lindelf的空間, 則是可分的.16. 對任意集合, 下面命題正確的是( )A. 若cardcard Y, 則是的子集.B. 若是的子集, 則cardcard Y.C. 若是的子集, 則cardcard Y.D. 若, 則cardcard.17. 設(shè)為拓?fù)淇臻g, 下面正確的命題是( )A. 若是正規(guī)空間, 則是空間.B. 若是空間且正則, 則是空間.C. 若是正則空間, 則是空間.D. 若是完全正則空間, 則是空間.18. 設(shè)為拓?fù)淇臻g, 是的子集, 下面不正確的命題是( )A. 是列緊的當(dāng)且僅當(dāng)是序列緊的.B. 若是序列緊的, 則是可

4、數(shù)緊的.C. 若是可數(shù)緊的, 則是列緊的.D. 若是緊的, 則是列緊的.19. 設(shè), 為拓?fù)淇臻g, 關(guān)于的積拓?fù)? 分別是到和的投射, 則下面不正確的命題是( )A. 是積拓?fù)涞囊粋€(gè)基.B. 是積拓?fù)涞囊粋€(gè)子基.C. 是積拓?fù)涞囊粋€(gè)基.D. 是積拓?fù)涞囊粋€(gè)子基.20. 設(shè)為拓?fù)淇臻g, 為實(shí)數(shù)空間, 則為連續(xù)映射的充分必要條件是(). 對任意實(shí)數(shù)是的開集. 對任意實(shí)數(shù), 集合是的開集. 對任意實(shí)數(shù), 集合是的開集. 對任意實(shí)數(shù)是的閉集.三、簡答題 (每小題5分, 共20分)21. 證明維實(shí)數(shù)空間的每一個(gè)子空間都是可分空間.22. 證明:若是空間, 則是空間.23. 證明:在一維實(shí)數(shù)空間的子空間中, 是開集.24. 敘述度量的定義.四、反例論證題 (本題10分)25. 舉例說明存在這樣的一個(gè)集合和上的兩個(gè)拓?fù)浜? 使得不是上的一個(gè)拓?fù)?五、論證題 (每小題15分, 共30分)26. 證明:若