四奧——定義新運算

1、課 題： 四奧第四講 定義新運算 教學(xué)目標(biāo)：1、使學(xué)生認(rèn)識什么是定義新運算；2、使學(xué)生理解新運算的規(guī)則并能夠按新運算的要求進(jìn)行計算；3、培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；重難點：重點：理解新運算的定義并能夠按新運算的要求進(jìn)行計算；難點：對于題目沒有直接告訴我們符號的運算規(guī)則時，可以通過觀察條件，找到符號的運算規(guī)則；教具與學(xué)具：本周通知事項：教學(xué)過程：一、 引入：同學(xué)們，告訴你們一個好消息，Ali也來到了巨人課堂，但是他遇到了困難希望同學(xué)們能夠幫幫他，老師相信樂于助人的你們一定很想快點幫Ali解決困難，好吧，那我們就一起來看看Ali遇到的是什么困難吧。二、新課教授：例1：設(shè)a,b都表示數(shù)，規(guī)定a

2、b表示a的4倍減去b的3倍，即ab=4×a3×b。試計算56，65?！纠蠋煛?哦，原來是題目中出現(xiàn)了一個奇怪的三角形，Ali不知道是怎么回事，那聰明的你們知道怎么辦嗎？【學(xué)生甲】“”和我們所學(xué)的符號不一樣【老師】 說的很對，我們以前是沒有見過，那我們可不可以根據(jù)他所給的來尋找規(guī)律，解決下面的題目呢？【學(xué)生乙】 老師，我知道，根據(jù)已知的條件可以知道“”表示的是前面一個數(shù)乘以4減去后一個數(shù)乘以3的差?！纠蠋煛?好！同學(xué)們掌聲鼓勵下，這位同學(xué)觀察得非常仔細(xì)，只要我們找到了這個規(guī)律，那我們解決下面的問題還難嗎？！我們一起來看看。 請同學(xué)們上黑板做，然后再一起規(guī)范過程解：因為ab=4

3、×a3×b 56= 4×5-3×6 65= 4×6-3×5 =20-18 =24-15 =2 =9同學(xué)們確實很聰明，Ali看到這個都不知道該怎么辦，但是我們能夠很快的解決，不得不承認(rèn)大家都是聰明的，但是同學(xué)們，你們有沒有發(fā)現(xiàn)，“”前后的數(shù)字交換后，結(jié)果就不一樣了，所以呢，今天Ali的困難也就是我們今天要學(xué)習(xí)的新內(nèi)容“定義新運算”，它不同于我們所學(xué)的、×、÷，賦予我們一種新的定義，在這一講中，我們會學(xué)習(xí)利用一些特殊的符號，比如、，并利用、×、÷定義一些新的運算規(guī)則。接下來我們來看下Ali遇到的第二

4、個問題是什么呢？例2：對于兩個數(shù)a,b,規(guī)定ab表示3×a2×b。試計算(1)32(2)23(3)（56）7，5（67）?！纠蠋煛浚?）“”被定義成了一種什么樣的新運算呢？【學(xué)生】表示3乘以前一個數(shù)加上2乘以后一個數(shù)的和【老師】好，很正確，看來同學(xué)們的眼睛都很厲害，這樣下去老師得下臺了 第一問和第二問請兩個同學(xué)上黑板做，其他同學(xué)在下面做。【老師】(2) 32和23的結(jié)果一樣嗎？【學(xué)生】不一樣！【老師】所以老師在這里再一次強(qiáng)調(diào)，計算時要嚴(yán)格按照運算規(guī)則進(jìn)行運算，不能隨便交換符號前后兩個數(shù)?！纠蠋煛浚?6）7的運算順序是什么？ 老師強(qiáng)調(diào)，在新運算里，有括號就先算括號（建議分步計

5、算）解：（1）32=3×3+2×2=13 （2）23=3×2+2×3=12 （3）在（56）7中，應(yīng)該先算括號里面的，所以建議大家分步算。 56=3×5+2×6=27， 277=3×27+2×7=95在5（67）中， 67=3×6+2×7=32， 532=3×5+2×32=79練一練：定義新運算ab=a×b+a+b,（1）求62,26； （答案：20，20）（2）求（12）3,1（23）； （答案：23，23）【老師】Ali看到這些題目是越看越糊涂，完全不知道怎么辦

6、，這不，看到下面這個題目幾乎傻眼，那我們也來看看是什么題目讓Ali感覺那么困難。 例3：例3、規(guī)定運算“”為：若ab，則abab；若ab，則abab1；若ab，則aba×b；那么，234475 等于多少？【老師】這個題就有些復(fù)雜了，同學(xué)們先看看題目，然后請同學(xué)告訴我，你發(fā)現(xiàn)了什么？【學(xué)生】老師，這個運算不統(tǒng)一【老師】好，回答很正確，那又知不知道是怎么不統(tǒng)一的呢？【學(xué)生】符號前后的數(shù)字需要比較大小，分情況討論老師學(xué)生：怎么討論？當(dāng)符號前面的數(shù)大于后面的數(shù)時，運算法則是兩個數(shù)相加；當(dāng)符號前面的數(shù)等于后面的數(shù)時，符號前面的數(shù)減去后面的數(shù)再加上1；當(dāng)符號前面的數(shù)小于后面的數(shù)時，運算法則是兩數(shù)

7、相乘。我們一起來看看。解： 234475=2×3+44+1+7+5=6+1+12=19【老師】看來這些題目根本就難不倒聰明的你們，那老師出一個題目給你們練練。練一練：設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定： 若ab，a*b=3×a2×b。 若ab，a*b=a÷3b 那么（5*6）*7等于多少？ 看來大家都掌握了， 下面這個題目，老師想讓同學(xué)們自己來當(dāng)小老師，老師來當(dāng)學(xué)生， 給大家講講這個題目。 例4 ，對于任意兩個不相等的自然數(shù)a 和b，ab 表示a、b 中較大的數(shù)除以較小的數(shù) 的余數(shù)，如：1353，2372，求749，860，29（368）。 解： 74÷9

8、=82，所以 749=2 60÷8=74，所以 860=4 29（368）先算括號，36÷8=44， 368=4 所以29（368）=294 29÷4=71 294=1 29（368）=1【老師】看來大家都很有當(dāng)老師的天賦，以后我們會經(jīng)常請同學(xué)們上來展示。例5：規(guī)定：aba（a1）（a2）（ab1），其中a、b 表示自然數(shù)。求1100 等于多少？【老師】同學(xué)們觀察一下，這個題中的被定義成了一種什么樣的新運算？可通過設(shè) 數(shù)法幫助學(xué)生分析或者可以直接把1和100代進(jìn)定義即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律?！緦W(xué)生】ab表示計算從a開始b個連續(xù)自然數(shù)的和?！纠蠋煛恳?guī)律發(fā)現(xiàn)了，那解決這個題海難不

9、難？【異口同聲】不難！【老師】不難還不趕緊寫。解：1100=1+2+3+4+5+100 =（1+100）×100÷2 =5050練一練：如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此規(guī)律計算5！。 5！=1×2×3×4×5例6，假設(shè)15=1+11+111+1111+11111，24=2+22+222+2222，32=3+33， 那么64應(yīng)等于什么？20062又等于什么？【老師】此題與之前題目的區(qū)別？此題沒有直接告訴被定義成了什么樣的新運算。 讓學(xué)生回答 解： 64=6+66+666+6666=

10、7404 20062=2006+20062006=20064012練一練：規(guī)定： 6*2=666=72，2*3=222222=246，1*4=1111111111=1234。求7*5。 解：7*5=7+77+777+7777+77777=86415 【老師】同學(xué)們都很不錯，那敢不敢挑戰(zhàn)一下老師給你們的題目呢？【異口同聲】敢！例7，有一個運算符號“”，使下列算式成立：248，5313，3511，9725，求73。【老師】咦，這個題好像和之前的大不一樣，你能發(fā)現(xiàn)“”被定義成了什么樣的運算嗎？【學(xué)生】思索狀?！纠蠋煛刻崾荆?48可以經(jīng)過怎樣的運算得到8呢，5313，3511 9725 呢？【學(xué)生】老

11、師我知道，24=2×2+4 53=2×5+3=13 35=2×3+5=11 972×9+7=25【老師】好，很不錯，那我們把這個規(guī)律用a、b來表示就是ab=2×a+b，顯然73=2×7+3=17那同學(xué)們在自己做做，這個是什么規(guī)律呢？練一練：有一個數(shù)學(xué)運算符號“”，使下列算式成立：62=12，43=13，34=15，51=8。按此規(guī)律計算：84。分析：ab=a+3×b 84=8+3×4=20例8、有A、B、C、D 四種計算裝置，裝置A：將輸入的數(shù)乘以5；裝置B：將輸入的數(shù) 加3；裝置C：將輸入的數(shù)除以4；裝置D：將輸

12、入的數(shù)減6。這些裝置可以連接， 如裝置A 后面連接裝置B，寫成AB，輸入4，結(jié)果是23；裝置B 后面接裝置A， 就寫成BA，輸入4，結(jié)果是35；（1）裝置ACD 連接，輸入19，結(jié)果是多少？（2）裝置DCBA 連接，輸入什么數(shù)字，可得結(jié)果75？【老師】這個題目呢，其實不難，大家往往會有一個誤區(qū)，認(rèn)為題目長的灰很難，在這里老師要告訴大家，老師最喜歡的就是題目長的，越長越喜歡，因為越長越簡單，所以不要害怕，耐心的看下去，題目看透理解了，那就不難?，F(xiàn)在同學(xué)們認(rèn)真看看題目。 我們一起看下，裝置A：將輸入的數(shù)乘以5， 裝置B：將輸入的數(shù)加3 裝置C：將輸入的數(shù)除以4 裝置D：將輸入的數(shù)減6我們再看看，裝

13、置A 后面連接裝置B，寫成AB 輸入4，結(jié)果是23 也就是，AB=4×5+3=23那裝置ACD 連接，輸入19，結(jié)果是多少呢？ ACD=19×5÷46 =17.5不難吧，理解題意跟本就不是問題。再看下第二問裝置DCBA 連接，輸入什么數(shù)字，可得結(jié)果75？我們想想，DCBA分別是將輸入的數(shù)減去6后除以4然后加3，最后誠意5得到75，是不是就是我們之前所接觸的還原法解題？ -6 ÷4 +3 ×5 75 +6 48 ×4 12 -3 15 ÷5 54 （75÷53）×4+6=54所以輸入的數(shù)字是54?？?結(jié)：今

14、天我們學(xué)習(xí)了利用一些特殊的符號，比如、，在、×、÷的基礎(chǔ)上定義一些新的運算規(guī)則，在解決這類問題時，關(guān)鍵是理解新運算的定義，并嚴(yán)格按新運算的要求進(jìn)行運算，如果題目沒有直接告訴我們符號的運算規(guī)則，我們可以觀察條件，通過規(guī)律找到符號的運算規(guī)則。同學(xué)們都很棒啊，Ali的困惑我們這么輕松就解決了，下面我們壓迫學(xué)的內(nèi)容大家有沒有信心？今天我們就上到這里，下節(jié)課再見。作業(yè)：1、喜羊羊和美羊羊發(fā)現(xiàn)了一個神秘的運算符號“§”，符號“§”的運算規(guī)則是： a§b3×a2×b2，求10§11,4§8。 解：10§11=

15、3×10+2×11-2 4§8=3×4+2×8-2 =30+22-2 =12+16-2 =50 =262、 如果規(guī)定aba×3b÷2，那么（106）8 等于多少？12（52）呢？ 解：（106）8=（10×3-6÷2）8 12（52）=12（5×3-2÷2） =278 =1214 =27×3-8÷2 =12×3-14÷2 =81-4 =36-7 =77 =293、已知：ab 時，規(guī)定ab=3×a2×b，當(dāng)ab 時，規(guī)定ab=2

16、×a3×b。請 計算：341。 解：341=（2×3+3×4）1 =181 =3×18+2×1 =54+2 =564、規(guī)定的運算法則如下，對于任何整數(shù)a，b，有（1）當(dāng)a+b10 時，ab=2×a+b-1（2）當(dāng)a+b<10 時，ab=2×a×b 求：（34）+（45）+（56）+（67）的值。解：（34）+（45）+（56）+（67）=2×3×4+2×4×5+2×5+6-1+2×6+7-1=24+40+15+18=976、對于任意兩個不相

17、等的自然數(shù)a 和b，ab 表示a、b 中較大的數(shù)除以較小的數(shù)的 商與余數(shù)的和，如：724，2256，求627， 50（314）。 解：627=8+6=14 50（314）=50（4+2） =506 =8+2 =107、 若34345618,6567891040。計算19955。（題目有誤） 改：若34345618,6567891040。計算19955。 解：19955=1995+1996+1997+1998+1999=8、有一個數(shù)字符號“”使下列算式成立：62=12，43=13，34=15，51=8，按此規(guī)律計算：84 的值。 解：ab=a+3×b 84=8+3×4=209

18、、因為狼和羊在一起時狼會吃掉羊，所以規(guī)定：狼狼=狼羊羊=羊狼羊=狼羊狼=狼這個運算的意思是：狼與狼在一起是還是狼；羊與羊在一起時還是羊；狼與羊在一起時，狼吃掉了羊，就只剩下狼了。因為善良的小朋友總希望羊能戰(zhàn)勝狼，所以又規(guī)定：狼狼=狼羊羊=羊狼羊=羊羊狼=羊這個運算的意思是：狼與狼在一起是還是狼；羊與羊在一起時還是羊；狼與羊在一起時，羊會趕走狼，就只剩下羊了。現(xiàn)在，請聰明的你算一算下面的式子，看看最后是狼吃掉了羊，還是羊趕走了狼？羊（狼狼）羊（狼羊）解：羊（狼狼）羊（狼羊） =羊狼羊狼 =羊羊狼 =羊狼 =羊10、小明來到紅毛族探險，看到下面向個紅毛族的算式： 8×8=8，9×9×9=5，9×3=3，（93+8）×7=837 老師告訴他，紅毛族算術(shù)中所用的符號“+、-、×、÷、（）、=”與我們算術(shù)中的意 義相同，進(jìn)位也是十進(jìn)制，只是每個數(shù)字雖然與我們的寫法相同，但代表的數(shù)卻不同。 請你按紅毛族的算術(shù)規(guī)則，完成下面算式：89×57。 解：8×8=8 8為0或1 9×9×9=5 9為2,5為8 9×3=3 3為0，則8為1（