第18講巧解最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題

1、 才子教育 小學奧數(shù)系列第18講 巧解最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題巧點晴方法和技巧任取幾個非零數(shù)，它們都會有很多相同的約數(shù)，也會有一些相同的倍數(shù)。相同約數(shù)中最小的一檢點總是1，最大的一個就是它們的最大公約數(shù)；而零則是每個非零整數(shù)的倍數(shù)，這些數(shù)的相同倍數(shù)中沒有最大的，最小的一個就是它們的最小公倍數(shù)。 巧指導例題精講A級 沖刺名?；A點晴【例1】一張長方形的紙，長7公米5厘米、寬6分米。現(xiàn)在要把它裁成面積相等的正方形，而且正方形邊長為整厘米數(shù)，問：有幾種裁法？如果要使裁得的正方形面積最大，問：可以裁成多少塊？分析與解 7分米5厘米=54厘米，6分米=60厘米。因為裁成的正方形的邊長必須能同時整除75

2、厘米和60厘米，所以邊長是75和60的公約數(shù)。75和60的公約數(shù)有1，3，5，15，所以有4種裁法。如果要使正方形面積最大，那么邊長也應該最大，應該取75和60的最大公約數(shù)15作為正方形的邊長。所以可以裁成（7515）（6015）=20（塊）。答：有4種裁法，共能裁成20塊。做一做1 將一塊長80米、寬60米的長方形土地劃分成面積相等的小正方形，問：小正方形的面積最大是多少？【例2】甲、乙、丙三人是朋友，他們每隔不同天數(shù)到圖書館去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他們三人恰好在圖書館相會，問：至少再過多少天，他們三人又會在圖書館相會？分析與解 從第一次三人在圖書館相會到下

3、一次再相會，相隔的天數(shù)應該是3，4，5的最小公倍數(shù)，因為3，4，5的最小公倍數(shù)是60，所以至少再過60天他們三人又會在圖書館相會。答：至少再過60天，他們三人又會在圖書館相會。做一做2 五年級一班的同學每周一都要去看望軍屬張爺爺，二班的同學每6天去看一次，三班的同學每兩周看一次。如果“六一”兒童節(jié)三個班的同學同一天去看張爺爺，那么，再過多少天這三個班的同學會再次同一天去張爺爺家？【例3】把26，33，34，35，63，85，91，143這8個數(shù)分成若干組中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)都是1。那么，至少要分幾組？分析與解 26=213 33=311 34=217 35=57 63=97 85=517

4、91=713 143=1113這8個數(shù)每個都有兩個質因數(shù)，要使其中每兩個數(shù)的最大公約數(shù)都為1，則同一質因數(shù)最多只能在一個組中出現(xiàn)1次。現(xiàn)在，35，63，91這三個數(shù)中都有質因數(shù)7；26，91，143這三個數(shù)中都有質因數(shù)13。因此，至少要分3組，才有可能把這兩組數(shù)分開?，F(xiàn)取26，33，35為一組，34，63，143為一組，91，85為一組。同組的數(shù)中，每兩個數(shù)的最大公約數(shù)都為1。答：至少要分3組。做一做3 把下面幾個數(shù)平均分成兩組，使第一組數(shù)的乘積與第二組數(shù)的乘積相等。14，33，35，30，75，39，143，169B級 培優(yōu)競賽更上層樓【例4】從一張長2 002毫米、寬847毫米的長方形紙片

5、上，剪下一個邊長盡可能大的正方形。按照上面的過程不斷地重復，最后剪得的正方形的邊長是多少毫米？分析與解 由于847的兩倍比2 002小，因此，開始時的長方形紙片上，可以連剪兩個邊長為847的正方形。2 002=8472308剩下的部分是長、寬分別為847與308的長方形，依此類推有：847=3082231，308=231177，231=773也就是說，當剩下長為231，寬為77的長方形時，剛好可以剪成三個邊長為77的正方形。所以，最后剪得的正方形邊長是77毫米。上面的過程可以用輾轉相除法來表達。答：最后剪得的正方形的邊長為77毫米。做一做4 用一張長1 072毫米、寬469毫米的長方形紙，剪成

6、面積相等的正方形，并且最后沒剩余。問：這些正方形的邊長最長是多少？【例5】兩個自然數(shù)的和為50，它們的最大公約數(shù)是5，則這兩個數(shù)的差是多少？分析與解 由于這兩個數(shù)的公約數(shù)是5，所以它們都是5的倍數(shù)，本題也就是要把50分成兩份，這兩份的最大公約數(shù)是5。分析與解 因為50=545=1040=1535=2030=2525，但（5，45）=5，（15，35）=5，而（10，40）=40，（20，30）=10，（25，25）=25，所以，這兩個數(shù)可能是5與45，也可能是15與35。答：這兩個數(shù)的差為40或20。做一做5 兩個數(shù)的積是5 766，它們的最大公約數(shù)是31，問：這兩個數(shù)是多少？【例6】在一根長

7、木棍上用紅、黃、藍三種顏色做標記，分別將木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。如果沿這三種標記把木棍鋸斷，問：木棍總共被鋸成了多少段？分析與解 因為10，12和15的最小公倍數(shù)是60（厘米），6012=5（厘米），605=4（厘米）因為5和6的最小公倍數(shù)是30，所以紅、黃兩種標記重復的地方有60301=1（處）；另兩種情況分別有2處和4處。因此，木棍總共被鋸成（1012152）124=28（段）。答：木棍總共被鋸成28段。做一做6 用紅筆在一根木棍上做了三次記號，第一次把木棍分成12等份，第二次把木棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿著這些記號把木棍鋸開，問：一共可鋸成多少小

8、段？C級 （選學）決勝總決賽勇奪冠軍 【例7】僅含有兩個質因數(shù)的某自然數(shù)的約數(shù)和為403，則該自然數(shù)最小是多少？分析與解 根據題意，設這個自然數(shù)的表達式為=mbn(,b為質數(shù))，則有（012m）（b0b1b2bn）=403。把403=1331，發(fā)現(xiàn)13=303132，31=2021222324，即=3，m=2,b=2,n=4。因此符合條件的自然數(shù)是=3224=144。做一做7 數(shù)恰有4個約數(shù)，這些約數(shù)之和等于2 040，求數(shù)。巧練習溫故知新（十八）A級 沖刺名校基礎點晴1.有四個自然數(shù)，它們的和是1 111。如果要求這四個數(shù)的公倍數(shù)盡可能大，問：這個最大值是多少？2.有一根長100厘米的木棍上

9、，自左至右每隔6厘米染一個紅點，同時自右至左每隔5厘米染一個紅點，染色后沿紅點將木棍逐段鋸開，那么長度是1厘米的短木棍有多少根？3.10個非零自然數(shù)之和等于1 001，則這十個數(shù)的最大公約數(shù)是多少？4. ,b,c,d,e分別是5個人的年齡數(shù)。已知是b的2倍、c的3倍、d的4倍、e的6倍，問：bcde的最小值是多少？5.甲、乙兩數(shù)都含有質因數(shù)3和5，它們的最大公約數(shù)是45。已知甲數(shù)有12個約數(shù)，乙數(shù)有10個約數(shù)，那么在800到1000之間，甲、乙兩數(shù)之和是多少？B級 培優(yōu)競賽更上層樓6.甲、乙兩個數(shù)都含有質因數(shù)2和7，它們的最大公約數(shù)是98。已知甲數(shù)有12個約數(shù)，乙數(shù)有8個約數(shù)，問：甲、乙兩數(shù)各

10、是多少？7.求1 155的兩位約數(shù)中最大的一個是多少？555 555的約數(shù)中，最大的三位數(shù)是多少？8.自然數(shù)和b恰有99個自然數(shù)因數(shù)（包括1和該數(shù)本身），試問：數(shù)b能不能恰有1 000個自然數(shù)因數(shù)（包括1和該數(shù)本身）？9.下面是四個互相咬合著齒輪，其中最大的那個齒輪通過順時針旋轉可帶動其他三個齒輪，各齒輪的齒數(shù)依次為16，12，10，6。如圖所示，當最大的齒輪按照順時針方向旋轉7周時，每個齒輪上面箭頭所指的四個漢字分別是什么？10.有9個不同約數(shù)的自然數(shù)中，最小的一個是多少？C級 （選學）決勝總決賽勇奪冠軍11.設n是滿足下列條件的自然數(shù)，它們是75的倍數(shù)且恰有75個自然數(shù)因子（包括1和本身），求。12.求自然數(shù)N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內，它共有10個約數(shù)。13.已知三個連續(xù)的自然數(shù)，它們都小2 002，其中最小的一個自然數(shù)能被13整除，中間的一個自然數(shù)能被15整除，最大的一個自然數(shù)能被17整除。那么