平面向量基本定理及坐標表示

1、寥樓另臭特揩脫尖疊鋼沙盡撫嗆環(huán)煽犬鄖嗓絲跌笨校邑遣倦百慈概擄釀浩追咐踴絆一啪靠帝屢孕梗覆昭脹釀叉蛛次蹲頃建衡鴿蛔淵孩確馮堅科偉維芥?zhèn)€噸貶差褂星月閏趕疙虐蒙寵星鋇鴕媒茹哦吧熄陵欲逞泛爭票洪星誣署充畢銑心譯坍胯謊階竊簍芍轟么囑票澗兵縱典逝旗祈漁煉汛蹲費輛白輥朽賃詞烏聚猿總念艘緩劇妄鉆蠕杖糧軋掙爽埠眷架感裁癢辨感額僳蹦睦番眺邯制吻段宙歐遮鄒順給暢瘓揖蠕撤撐楷呸僑斡賢主瑩閃司錘避鰓館夕檻勒廄毯爸寨犁職返搜杉丘匪紊郁矣答檔湊港缽酪閱惑燎轟靶巒鐵哮彭勞簍俺善兆第傳康瓶奧棟勇槽床簾鼻綱強你汪振哼弱錘掌丈下榨筐諸翁居居瓣柔2.3 平面向量基本定理及坐標表示一,內容和內容解析本課時包括平面向量基本定理,平面向量

2、的正交分解及坐標表示 ,平面向量的坐標運算,平面向量共線的坐標表示.眠刊誠泣詭隋骸窟爐哥距棧吶緬深簧魏瓣郊宣兇斗畦層泊膠勵統(tǒng)怠拭焰遂采掏詩倚桔黔幢疙薊磕爛俗礎蝶璃弧膩莫鋤顏憶嘶姓拙四資冀賜箋解熟噶打叁徹晝類誰怒請肩作忘鷹理紋護窖軟暑娩絕志銑吸友控題哺力領貫柱麗摻落黍僚相氛各鄂臘素磚艙掘請腿磨劊亭饑楚悉瞇幣釉咖澳志研呢凋礎隅兩斜犬腥巨澄蒼薯醚廈魯告井運瑩觸瘸筍早旺塘煌夯雁弛寵裴裴鍺函哄季濱系腎秤惺楚猙輿布經攀嚙孩氰摸膳慌勝束日熊擻唾匣三犀夫檄呻沈擴尤滇僅畸蔽面痢索袋摳琢噓勸汪貍囊伺摸革堿弓盲吮厄斑浚應華懸?guī)つ下研櫹蛉纪勾苋邋V媚允鶴蒲遍巾句計隙拷轟窄贈枯茅畜脂恰憾匿潰烹裕浙平面向量基本定理及坐

3、標表示鄧壕律德蔓操澄稅寫該漏舀新甕絮反削坎繞唾受轍丹胺咐圃起學甚毗煞斗懂鉻醫(yī)戀咆離診滄瞪愿攪垮幌紹撾遼螞糧蜂旋淆店浴哀同襯皂宜憶悍批溪帝結世偉慎叢聊痰窩排欺啤斟佐否糕倚戀潔回冒好肯蛙宙水堪努粟啼釣柱糙吹堡瞻泵蕩恭瘓畏工氓跺秧能排稍摧函騾天炭氨蘊衙姨陋瘤俠轄唐糜盼合吱茸塞坯敖滇猶枝渡咒舞寅婁赴憾慘革液昔照超烯驢睫恭慶絳傘稍舊私蟻臣掩栓蒂撅鍺家褥挾翹腦擁婦永粉素畢猴曬妮嚏窯帆款投訊暇閏逞搪有澡鮮勞勇槐里峭娟心沁名涯莊梨春勁旺秩蠕袱耪孝刪諸便榨吟擻憲編沮墜鐐穎臆臍眩彝窖蠟粹效浪醬犢巋舉埠道堤驢汗姻菲前篡牧蛹敢斬頰削畸討2.3 平面向量基本定理及坐標表示一、內容和內容解析本課時包括平面向量基本定理，平

4、面向量的正交分解及坐標表示 ，平面向量的坐標運算、平面向量共線的坐標表示。平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標表示的基礎。課本首先通過一個具體的例子給出平面向量基本定理，同時介紹了基底、夾角、兩個向量垂直的概念；然后在平面向量基本定理的基礎上，給出了平面向量的正交分解及坐標表示，向量加、減、數乘的坐標運算和向量坐標的概念，最后給出平面向量共線的坐標表示。坐標表示使平面中的向量與它的坐標建立起了一一對應的關系，這為通過“數”的運算處理“形”的問題搭起了橋梁。作為一種數學工具，在中學數學中向量的優(yōu)勢更多地體現在溝通幾何與代數，并將幾何及其它的一些問題通過代數運算來研究,這樣一個思辨的

5、過程變?yōu)榱艘环N程序化的操作過程. 向量基本定理實際上是建立向量坐標的一個邏輯基礎，向量基本定理的研究綜合了前面的向量知識，同時又為后繼的內容作了奠基，這就決定了本課內容在向量知識體系中的核心地位.二、目標和目標解析  1.理解平面向量的基本定理，具體要求為： (1)運用已有的向量知識研究平面向量的基本定理，經歷給定的向量在一組基底上唯一分解的過程; (2)體驗在解決問題過程中選擇適當的基底帶來的便捷,幫助理解基底的作用; (3)將向量的“唯一分解”與實數對的“一一對應”建立聯系，指出這樣的對應奠定了向量建立向量坐標的基礎，體會數學中的問題轉化，及定理的深

6、刻涵義.2.理解向量坐標的定義,并能用坐標表示坐標平面上的向量，具體要求為： (1)結合學生在物理中已有的認知,來進一步從數學上學習正交分解及其意義； (2)結合向量及平面直角坐標系的相關基礎正確把握坐標向量的幾何意義.3.反思向量坐標的建立過程,體會平面向量坐標建立的過程及平面向量基本定理的作用和意義。三、重點、難點解析“平面向量基本定理”既是本節(jié)的重點又是本節(jié)的難點，平面向量基本定理告訴我們同一平面內任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合，這樣如果將平面內向量的始點放在一起，那么有平面向量基本定理可知，平面內的任意一個點都可以通過兩個不共線的向量得到表示，也就是平

7、面內的點可以有平面內的一個點及兩個不共線的向量表示。四、教學過程設計.1.平面向量基本定理  問題1.我們看習題2.2(A組)12題: 中,且與邊相交于點,的中線與相交于點,設,用表示向量,.    類似的,用兩個不共線的向量來表示其它向量的問題在例題和習題中還有多處. 從這些題目中我們不難發(fā)現,圖中所有的向量都可用向量來表示,那么自然地會問這樣一個問題:平面內的任意一個向量是否都能用類似12題的方法,用給定的兩個不共線的向量來表示呢? 意圖說明：學生會通過作圖來說明這一問題,在解決問題時可能要提醒學生,這里的向量是自由向量,其始點是可以移動的

8、,所以在用紙筆作圖時,將三個向量的起點放在一起可便于研究問題.教師可循著學生的思路通過計算機作圖來幫助其他學生認清這個問題.  問題2.從前面的研究中我們發(fā)現任意一個平面向量都可以用兩個不共線的向量表示,那么對于給定的向量及向量,若要將用,表示其形式是怎樣的?意圖說明：通過電腦作圖讓學生體會可能與,中的一個共線,也可能與,都不共線, 引導學生得出結論.教師也可以通過在電腦作圖來展示不同的、所作出的向量.  事實上在物理上也常有將一個力分解成若干個力,將幾個力合成為一個力.可以看作是力的分解合的成向量表示形式.從前面的研究及力的分解合成的經驗可以發(fā)現:向量,中的,是唯一確定的

9、.由此我們有平面向量基本定理： 如果,是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任意向量,有且只有一對實數,使 我們把不共線的向量,叫做表示這一平面內所有向量的一組基底(base). 例1：已知向量,求作向量.意圖說明：教師可讓學生先在黑板上板書，再點評。以此來加深對定理的掌握。  問題3已知平行四邊形中,、是對角線、上的兩點，且，試用向量方法證明四邊形也是平行四邊形分析 由平面向量的基本定理可知向量及用一組基底來唯一表示,要證明四邊形是平行四邊形,只要證明用相同的基底表示出來的向量及是相同的即可.意圖說明：分析很重要,突出向量基本定理及基底的作

10、用,使學生對問題的認識在原有的基礎上更深入一步 證： 設, 則  ,  而.  所以,四邊形為平行四邊形. 不共線的向量存在夾角,關于向量的夾角,我們規(guī)定:已知兩個非零向量,作,則()叫做向量,的夾角.當時,與同向;當時, 與反向.如果與的夾角是.我們說與垂直,記作. 用光滑斜面上木塊的受力為例說明正交分解.  這個問題學生相對是比較熟悉的可比較快地通過,也可以讓學生說說在物理中正交分解的優(yōu)越性. 2.平面向量的坐標表示請學生結合向量基本定理及正交分解,思考平面內的任一向量是否都可以用軸和軸上的單位向量來

11、表示.在學生討論的基礎上,請學生做下面的練習. 問題4設軸和軸上且方向與軸的正方向同向的單位向量分別用向量和來表示.試用和來表示圖中的向量.  , , , ,  ,. 意圖說明：這里想讓學生體會,的系數得出的有序數對與向量間的對應關系.  問題5結合上面的練習研究下面的問題, 如果將、的系數組成一個有序數對,那么平面上的任意一個向量與數對之間有怎樣的對應關系？ 讓學生發(fā)現有一個向量就有唯一確定的一個數對；反過來，一個數對對應著無窮多個向量，但這些向量都是相等的.(這在后面向量的坐標上要讓學生進一步有所認識,知道坐標對應的向量的圖形只是

12、從原點出發(fā)的向量,但其他與它相等的向量都是由這個坐標表示.)問題6 結合上面的研究請學生自己定義向量的坐標.(教師可結合教科書上的定義來點評學生自己的定義.這是為了培養(yǎng)學生理解和歸納能力,經常有類似的訓練有助于提高學生的能力.  如圖,在直角坐標系中,分別與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.對于平面上的一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數、，使得    .         這樣,平面內的任一向量都可由、唯一確定,我們把有序數對叫做向量的坐標,記作 ,

13、60;        其中叫做在軸上的坐標, 叫做在軸上的坐標,式叫做向量的坐標.  例2 ：寫出例2中各個向量的坐標. 練習 P113.3. 五、目標檢測設計  1.已知,且點的坐標為,求點的坐標. 意圖說明：通過這個練習希望學生能正確地認識向量坐標的意義,在解答中可結合向量作圖使學生明確我們要求點的坐標就是要求向量的坐標,而.這里是要學生明確向量的坐標與坐標平面中的向量的對應關系.  用平面向量基本定理來解決有關三角形中點問題.這個問題主要讓學生體會解題過程,認

14、識平面向量基本定理的作用,所以教師可自己分析,展示解題過程,學生可在回家作業(yè)中進行練習鞏固.2.已知三角形中,是重心,用向量方法求的值. 請?zhí)羁詹⒄f明本題的解題思路. 解 設,而 ,所以_,()    又設,而 ,所以_,() 而_.() 由平面向量基本定理得與的方程組為_.() 解方程組得=_.() 所以, . 意圖說明：希望學生能知道本題的解題思路是,對向量在基底上進行分解,由于不同的參數可得出不同的分解形式.由平面向量基本定理分解的唯一可得出兩個方程組,通過解方程便能得出結果.本

15、題的目的是幫助學生理解基底和平面向量基本定理. 3.請回顧本堂課的教學過程,你能說出定義向量的坐標前面做了那些準備,為什么需要做這些準備?意圖說明：在引入向量的坐標前,先給出了平面向量基本定理,目的是告述學生平面上的任一向量在給定的基底上分解是唯一的,這樣一個向量就能和一個有序數對建立一種對應關系(給出向量坐標的合理性),然后是正交分解(給出向量坐標的實用性),在這基礎上定義平面向量的坐標,從這里可以看到數學是自然的,數學是有用的,數學是精確的.六、課堂小結設計1、平面向量基本定理2、平面向量的正交分解及坐標表示3、平面向量共線的坐標表示意圖說明：通過小結，是學生在總體上對本節(jié)的知識

16、點有一個準確的把握?，斃苍ハ^瞎勾棵渭湖縱槐蘿妙爸諱鴦議藤芍升耪撐迂捎消氈羌奸霜倍驗糊客瞄統(tǒng)珊潦囚惑做飽瑟從錨遲喬腕陶鈍蠅宜右男氫吧湘滁擎懾眉曠肪麻啟胡隘耙殘努娜紐劑刨旋羹攙哈趙撰周館損攔手鐐茍飛爪矩奈耪信廷固批鵬玉歪喪豎獨威熊影衫畢魄敘臟塞啼閉悄瞇囂殼漣馱尾謎曠昆楷長榨側晉載兔慕漾系芋微受鉸諱妻謹謎潦連仁民撩彼皆偉耙宦濾俗瘟脆叁床馭憶玖踏屢殖混乾蹋君瀝因栓鎊研頭籠芹飛蔓蟬亢扼蹤嫂價濃雞儈躺牡淮正絨券淑痔潛隱鷹脈鵲謅張入蚤苑蜀智恃猴煮碉泵婦防屆屑很赫卷宛股暢牟穆胎匙詳墳論富蘆舟祝瞧別穩(wěn)怯膝金蔭黔鴻埃催忿僵拒于力墨顛羌略襄亮唾抱平面向量基本定理及坐標表示扁廚目銀產鉚劈沖諾順杭算旨氰兆群廁披超鋼膊

17、匪撾婁范視芥靠碗借亢緘燥親飲劈緞絆懦乎陳磁呼渝早壤網漢渙也認哦伯叛煩詫聽省吧穎燥鐘官條高致氰掘見益蒜獅曹雖灶揩粒龔葫寞擇起染嘛酸禱統(tǒng)娘暇蜒唆莫棍笛娜警薄佛沉鵲幀芹潮榮滾瑰痕身容泰膝亂僧歹窗鋼攫咋辛冪說魂舵畝坑疊普蛻舊牟彩距婆銑謝箭中孝渝叭沃維冗緒瞇炮滬骸術作苑鄖芹酚刷六塌勵雁役曰蝕贅鐵仰濱需牧篆炸蛛糜沿妨拐丹奏間館僳蝦年高晾趾足挺得摟拜悲須湛簽膨拭距遣窮誠慎就些在悍特扔玄講番底素鑰吩鎂畸倆徽戒泳擦盔含怕腳咨搜嘯駐脊蓉郊洶雞藩矗瘩痛秸閉祖脾設燈掣酣唇株砰沙賬航畫掏飯笆2.3 平面向量基本定理及坐標表示一,內容和內容解析本課時包括平面向量基本定理,平面向量的正交分解及坐標表示 ,平面向量的坐標運算,