構造函數(shù)利用導數(shù)解決函數(shù)問題

1、構造函數(shù)解決不等式問題例：2011遼寧卷函數(shù)f(x)的定義域為 R, f(1)=2,對任意xC R, f' (x)>2,則f(x)>2x+4的解集為()A. (1,1) B. (1, +°°)c. ( oo, 1) D. (00, +oo )【解析】構造函數(shù) G(x) = f(x)-2x-4,所以G' (x)=f' (x)2,由于任意xCR, f'(x)>2, 所以G' (x) = f' (x)2>0恒成立，所以 G(x) = f(x)-2x-4是R上的增函數(shù)，又由于 G(1)=f(1)2X(1) 4=

2、 0,所以 G(x)=f(x)-2x-4>0,即f(x)>2x+4的解集為(1, +8),故選B.訓練：1.已知函數(shù)y f(x)的圖象關于y軸對稱，且當x (,0), f(x) xf '(x) 0成、02_02的大小關系是立 a 2 gf (2 ), b log 3gf(log 3), c log 3 9gf (log3 9)，貝U a,b,c ()a. b a c b. c a b c. cba d. a c b解：因為函數(shù)y f(x)關于y軸對稱，所以函數(shù)y xf(x)為奇函數(shù).因為xf(x)' f(x) xf'(x),所以當 x (,0)時，xf(x)

3、' f(x) xf '(x) 0,函數(shù)y xf(x)單調遞減，當x (0,)時，函數(shù)y xf(x)單調遞減.因為 1 20.2 2, 0 1og 3 1, 1og39 2,所以 0 1og 3 20.2 1og39,所以 b a c,選 A.2.已知f (x)為R上的可導函數(shù)，且x R,均有f(x) f (x),則有2013 一一一2013 一B. e2013f( 2013)C. e2013f( 2013)D. e2013 f ( 2013)A. e f( 2013)f(0), f (2013) e f (0)f(0), f (2013) e2013f (0)f(0), f (

4、2013)e2013 f (0)f(0), f (2013)e2013f (0)x x解：構造函數(shù) g(x)舉，則 g(x) f(x)e x(e)f(x) f (x) xf(x), e(e )e因為 x R,均有f(x) f(x),并且ex 0,所以g(x) 0,故函數(shù)g(x)上學在R上單 e調遞減，所以 g( 2013) g(0), g(2013) g(0),即 f( 20l3)“0),上嚶31f(0),ee也就是 e2013 f ( 2013) f(0) , f (2013) e2013f(0),故選 D.1x16.已知函數(shù)f(x)(x R)滿足f(1) 1 ,且f (x)的導函數(shù)f

5、9;(x)一,則f(x) 的222解集為()A. x 1 x 1 B. xx 1 C. x x1 或x 1 D. xx 1解：構造新函數(shù)F(x) f(x)1),則 F(1)2_1 ，一F '(x) f '(x)-,對任意 x2R,有 F '(x) f減，則F(x) 0的解集為(1,)，即 f (x) |,11f(1) (- -) 1 1 0， 2 21-'(x) 0,即函數(shù)F(x)在R上單調遞 21,萬的解集為(1,)，選D.3. 2013 綏化一模已知函數(shù)y = f(x 1)的圖象關于點(1,0)對稱，且當 xC(8, 0)時，f(x)+xf ' (x

6、)<0 成立(其中 f ' (x)是 f(x)的導函數(shù))，若 a= (30.3) f (3 0.3),1、1、b= (log 3) - f(log 3), c=(iog21) fOog21),則 a, b, c 的大小關系是,()9A. a>b>c B . c>a>b C . c>b>a D . 解：因為函數(shù)y= f(x1)的圖象關于點(1 數(shù)，所以函數(shù) g(x)= xf (x)為偶函數(shù).又當9a>c>b,0)對稱，所以“刈關于(0, 0)中心對稱為奇函 xC(8, 0)時，f (x) +xf ' (x)<0 成立，故

7、g(x)= xf ( x)在(8, 0)上為減函數(shù).由偶函數(shù)的性質得函數(shù) xf (x)在(0 , +°°)上為增函數(shù), 又 log 39 >30.3 >log 工3>0,所以 c>a>b.9例：巳知函數(shù) f (x) = ax2 bx 1nx,其中 a, bC R。(I)當 a=3, b=-1 時，求函數(shù) f (x)3的最小值；(n)若曲線y=f (x)在點(e, 為自然對數(shù)的底數(shù))，求a, b的值；f(e)處的切線方程為 2x3ye=0 (e=2.71828h (x) =xf (x) +1nx對任意的 xi>x2>4,總有h(x)h

8、(x2)x1 x21成立,試用a表不出b的取值范圍;【知識點】導數(shù)的綜合應用解：因為ln x,x 0,，所以f' x12x 1 x2x 1 x 1令f' xr 1 , a/ a或1,所以f(x)在1 、一，01上單調遞減2上單調遞增,則f(x)在x1 一，一處取得最小值為2ln2;(n)因為2一 ax31 一1,所以f ' e x-ae b 3又因為切點(e,f(e)在直線2x 3y e=0上，所以切點為所以f e1一 ae 32 bee，聯(lián)立解得 a 1,b 3e(m)由題意，對于任意x1x24,總有h x1x1h x2x20成立,x x2(出)當 a>0,且a

9、為常數(shù)時，若函數(shù)所以pax所以F(x)在13x x - ax 32ax2bx 10 ,x12bx x, x0,0,X上單調遞減，在4,則函數(shù)p(x)在x e 4+ 8)上單調遞增,4,上恒成立.構造函數(shù)1ax2 1x a 22 ,x x上單調遞增.上單調遞增當近 4即0 a工時，F(xiàn)(x)在4, 上單調遞減，在,a16aa所以F(x)的最小值為F 叵2«,所以2b 2 m n ,(2)當迎aa114a -，即 b 2a , 4814即a 行時F(x)在(4, +8)上單調遞增，2b111綜上，當0 a 時b , v3 ,當a 時，b ,2a 16168【思路點撥】 本題主要考查的是利用

10、導數(shù)求函數(shù)的最值及利用導數(shù)研究曲線的切線，利用導數(shù)求最值一般先判斷函數(shù)的單調性，再結合單調性確定最值位置，對于由不等式恒成立求參數(shù)參數(shù)范圍問題通常轉化為函數(shù)的最值問題解答變式練習：21.函數(shù) f(x) ax (a 2)x ln x. (i)當 a 1 時，求曲線 y f (x)在點(1, f(1)處的切線方程；(n)當a 0時，若f(x)在區(qū)間1,e上的最小值為-2,求a的取值范圍；(出)若對任意xi,X2 (0,),x1 x2,且f(x1) 2x1f(x2) 2x2恒成立，求a的取值范圍.1斛：(I)當 a 1 時，f(x) x 3x lnx, f(x) 2x 3 - 2分x因為f'

11、(1) 0, f (1)2.所以切線方程是 y 2. 4分(n)函數(shù) f(x) 2ax (a 2)x ln x 的定義域是(0,). 5分當 a 0時，f'(x) 2ax (a 2) - 2ax-(a 2)x 1(x 0)令 f'(x)。，即,(幻 2ax2 (a 2)x 1(2x 1)(ax 1)0,一,11所以x或x. 7分2a,1 一 一. 當0 - 1,即a 1時，f (x)在1, e上單倜遞增， a所以f(x)在1, e上的最小值是f (1)2;.1 1當1 e時，f(x)在1, e上的最小值是f(一) f (1)2,不合題意；aa,1,當- e時，f(x)在(1,

12、e)上單調遞減，a所以f(x)在1, e上的最小值是f(e) f(1)2,不合題意 9分(出)設 g(x) f (x) 2x,貝U g(x) ax2 ax lnx,只要g(x)在(0,)上單調遞增即可10分1而 g'(x) 2ax a 一 x22ax ax 1x1 一一當 a 0 時，g'(x) 一 0,此時 g(x)在(0,x)上單調遞增;11分當a 0時，只需g'(x) 0在(0,)上恒成立，因為x (0,)，只要2ax2 ax 1 0,2.1則需要a 0 ,對于函數(shù)y 2ax ax 1 ,過定點(0,1),對稱軸x 0 ,只需 42 a2 8a 0,即 0 a 8

13、.綜上 0 a 8. 14分mx2.函數(shù)f(x) lnx , m R(1)求函數(shù)的極值；(2)討論g(x) f '(x) 一的零點的 x3個數(shù)；(3)對 b a 0 f(b) f(a) 1恒成立，求m的取值范圍。 'b am ,1斛： f (x) = In x+ ，: f (x)=m x - m-=,x> 0,m R x x(1)當 m e時，f (x)x-2e, x 0.解f (x) 0得 x. f(x)單調遞增； 同理，當0 x e時, ：f(x)只有極小值f (x) 0, f (x)單調遞減f(e)In ee 2.所以，f(x)的極小值為2.(2)g(x)x(x)-

14、3x - m x -20,. mx 33xh(x) x, x 0,m 63h (x)(1x)(1 - x).令 h (x)0解得h(x)在區(qū)間上遞增，值域為2R,則 h(1)-32(00同理，令 h (x)0解得x 1,.-. g(x)在區(qū)間上遞減，值域為72、(-8，) 3大致畫出函數(shù)g(x)的圖像，則由圖知2 .m 1時，g(x)只有一個答點；當 0 m2 .E時，g(x)有2個答點;m 2時,3g (x)沒有零點;(3)當 b a0時，f (b)- f(a) 1,即f (x) 1在(0,多上包成立. b- a二次函數(shù)x-x2 1 ,4oo時，滿足題意.3 .已知函數(shù)f(x)=lnx (1

15、)若直線y=x+m與函數(shù)f(x)=lnx的圖像相切,求實數(shù)m的值。(2 )證明函數(shù)f(x)=lnx 與曲線y1x 一有唯一的交點。(3)設0<a<b ,比較f(b)-f(a)2的大小，并說明理由31.； c 1 V*(工)=±.C 1 分)誑切點為£M - 1 .= 1 .y* = l* = o t £2 分)(11 )令鼻(JE ) .人4，4(三),* I1U = * + : « *. m . ” I * *C 4 分".£喜一一)3一金一,，.一 j6 .1 I-' * 算-i N4 -小/ < JF.

16、K Y4整一JE寡3 在fO. * ；內(nèi)單詞通或. -(也乂 F- 1 + 1 4口.二« H I的擊政片落嚙：一部J等點. £7 分)抵點t 1 是兩曲小唯一的公共京總分)to2bSAb 1則有 11nb j成立即 lnb lna ”.艮pf(b)-f(a)2ab2 ba 2 b a- I a4.設函數(shù) f(x)=21n x+ mx- x2.(1)若曲線y=f(x)在點(1, f(1)處的切線方程為y=2x + n,求實數(shù)mn的值;,、,f a -f b(2)若 m> 4,求證：當 a>b>0 時，有b>2； 若函數(shù)f(x)有兩個零點x1, x2(

17、x1<x2),且x0 = x1；x2,求證:f' (x0)<0.解：(1)由 f(x)=21n x+mx-x2得 f ' (x) = m-2x, x _2 一故由題意可得 f (1) =m+ 1-2=2, IP m= 2.從而 f(1) =21n 1 +21.又知 f(1) =2X 1 + n, . 2+ n= 1, . . n= 1.，實數(shù)m n的值分別為m= 2, n= - 1.(2)由于 a>b>0,設函數(shù) g( x) =f (x) + 2x2 = x2+m奸 21n x, 則有 g' (x) = 2x+ rm- 2.x由于x>0,且n>- 4,m>0,故g(x)在(0, +8)上遞增，2xi+ mx x2= 0, x2+ mx x2= 0, gz (x)=2x+m+ |>2j2x - x+ m= 4+-g(a)>g(b),.f (a) +2a2>f(b) + 2b2,f(afb) a2 b221n(3)由xi, x2(xi<x2)是f (x)的零點可得1n xi 1n x2故 m= xi + x2 2 21nxi x2(x) =- 2x, x0=x1：X2x2(x0) = m4xi+ x22 1n(xi1n