高中數(shù)學基本不等式幾大題型

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上題型1基本不等式反用例1：(1)函數(shù)f(x)x(1x)(0<x<1)的值域為_； (2)函數(shù)f(x)x(12x)的值域為_解析：(1)0<x<1，1x>0, x(1x)2， f(x) 值域為. (2)0<x<，12x>0. x(12x)×2x(12x)·2， f(x) 值域為.答案：(1)(2)例2：(教材習題改編)已知0<x<1，則x(33x)取得最大值時x的值為_解析：由x(33x)×3x(33x)×， 當且僅當3x33x，即x時等號成立答案：例3：函數(shù)yx的最大值

2、為_解析：x.例4：已知0<x<1，則x(33x)取得最大值時x的值為()A. B. C. D.答案B解析0<x<1，1x>0.x(33x)3x(1x)32.當x1x，即x時取等號例5：已知x0，a為大于2x的常數(shù)，求函數(shù)yx(a2x)的最大值；解：x0，a2x，yx(a2x)×2x(a2x)×2，當且僅當x時取等號，故函數(shù)的最大值為.題型2基本不等式正用ab2例6：（1）函數(shù)f(x)x(x>0)值域為_； 函數(shù)f(x)x(xR)值域為_； （2）函數(shù)f(x)x2的值域為_解析：(1)x >0，x22， f(x)(x >0)值

3、域為2，)； 當xR時，f(x)值域為(，22，)； (2)x2(x21)1211， 當且僅當 x0 時等號成立答案：(1)2，) (，22，) (2)1，)例7：(2013·鎮(zhèn)江期中)若x>1，則x的最小值為_解析：xx11415.當且僅當x1，即x3時等號成立答案：5例8：(1)已知x0，則f(x)2x的最大值為_(1)x0，x0，f(x)2x2.(x)24，當且僅當x，即x2時等號成立f(x)2242，f(x)的最大值為2.例9：當x0時，則f(x)的最大值為_ 解析：(1)x0，f(x)1， 當且僅當x，即x1時取等號例10：函數(shù)y(x>1)的最小值是_解析：x&

4、gt;1，x1>0.yx122 222.當且僅當x1，即x1時，取等號答案：22例11：已知x0，a為大于2x的常數(shù)，求yx的最小值解：y2 .當且僅當x時取等號故yx的最小值為.題型3：利用基本不等式求最值例12：已知t>0，則函數(shù)y的最小值為_答案2解析：t>0，yt4242，且在t1時取等號例13：當x>0時，則f(x)的最大值為_解析：x>0，f(x)1， 當且僅當x，即x1時取等號例14：(1)求函數(shù)f(x)x(x3)的最小值； (2)求函數(shù)f(x)(x3)的最小值；思維突破：(1)“添項”，可通過減3再加3，利用基本不等式后可出現(xiàn)定值(2)“拆項”，把

5、函數(shù)式變?yōu)閥M的形式解析：(1)x3，x30. f(x)(x3)3235. 當且僅當x3，即x4時取等號， f(x)的最小值是5. (2)令x3t，則xt3，且t0. f(x)t3235. 當且僅當t，即t1時取等號，此時x4， 當x4時，f(x)有最小值為5.技巧總結(jié)：當式子不具備“定值”條件時，常通過“添項”達到目的；形如y(a0，c0)的函數(shù)，一般可通過配湊或變量替換等價變形化為yt(p為常數(shù))型函數(shù)，要注意t的取值范圍；例15：設(shè)x>1，求函數(shù)yx6的最小值；解：x>1，x1>0. yx6x15259，當且僅當x1，即x1時，取等號當x1時，函數(shù)y的最小值是9.例16

6、：若x>0，y>0，且xy18，則xy的最大值是_答案：81解析：由于x>0，y>0，則xy2，所以xy281，當且僅當xy9時，xy取到最大值81.例17：已知x，yR，且滿足1，則xy的最大值為_答案：3解析：x>0，y>0且12，xy3.當且僅當時取等號例18：(2013·大連期中)已知x，y為正實數(shù)，且滿足4x3y12，則xy的最大值為_解析：124x3y2，xy3.當且僅當即時xy取得最大值3.答案：3例19：已知m>0，n>0，且mn81，則mn的最小值為_解析：m>0，n>0，mn218.當且僅當mn9時，等號

7、成立答案：18例20：已知x0，y0，lg xlg y1，則z的最小值為_解析：由已知條件lg xlg y1，可得xy10.則2 2，故min2，當且僅當2y5x時取等號又xy10，即x2，y5時等號成立答案：2例21：(2012·天津高考)已知log2alog2b1，則3a9b的最小值為_解析：由log2alog2b1得log2(ab)1， 即ab2，3a9b3a32b2×3(當且僅當3a32b，即a2b時取等號) 又a2b24(當且僅當a2b時取等號)， 3a9b2×3218. 即當a2b時，3a9b有最小值18.例22：設(shè)x，yR，a>1，b>1

8、，若axby3，ab2，則的最大值為()A2 B. C1 D.答案：C解析：由axby3，得：xloga3，ylogb3，由a>1，b>1知x>0，y>0，log3alog3blog3ablog321，當且僅當ab時“”成立，則的最大值為1.例23：(2011·湖南)設(shè)x，yR，且xy0，則·的最小值為_答案：9解析：54x2y2529，當且僅當x2y2時“”成立例24：若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，求xy的最小值解：x0，y0，則5xyx3y2，xy，當且僅當x3y時取等號xy的最小值為. 例25：若正實數(shù)x，y滿足2xy6xy，則xy的最小值是_

9、答案：18解析：由x>0，y>0,2xy6xy，得xy26(當且僅當2xy時，取“”)，即()2260，(3)·()0.又>0，3，即xy18.xy的最小值為18.例26：已知x>0，y>0，x2y2xy8，則x2y的最小值是()A3 B4 C. D.解析：依題意，得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)26，即x2y4.當且僅當即時等號成立x2y的最小值是4.例27：若x，y(0，)，x2yxy30.(1)求xy的取值范圍；(2)求xy的取值范圍解：由x2yxy30，(2x)y30x，則2x0，y0,0x30.(1)xyx323418，當且僅當x6時

10、取等號，因此xy的取值范圍是(0,18(2)xyxx1x2383，當且僅當時，等號成立，又xyx2330，因此xy的取值范圍是83,30)例28：已知a>b>0，則a2的最小值是_解析：a>b>0，b(ab)2，當且僅當a2b時等號成立a2a2a2216，當且僅當a2時等號成立當a2，b時，a2取得最小值16.例29：設(shè)x，y，z為正實數(shù)，滿足x2y3z0，則的最小值是_解析：由已知條件可得y，所以3，當且僅當xy3z時，取得最小值3.答案：3例30：已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，則實數(shù)m的最大值是_解析：由x0，y0，xyx2y2，得xy8，于是由m2

11、xy恒成立，得m28，即m10.故m的最大值為10.例31：已知正數(shù)x，y滿足x2(xy)恒成立，則實數(shù)的最小值為_解析：依題意得x2x(x2y)2(xy)，即2(當且僅當x2y時取等號)，即的最大值是2；又，因此有2，即的最小值是2.答案：2例32：已知關(guān)于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為_解析：因為x>a，所以2x2(xa)2a22a2a4，即2a47，所以a，即a的最小值為.答案：例33：圓x2y22x4y10關(guān)于直線2axby20 (a，bR)對稱，則ab的取值范圍是()A. B.C. D.答案：A解析：由題可知直線2axby20過圓心(1,2)，故可得a

12、b1，又因ab2 (ab時取等號)故ab的取值范圍是.典例：(12分)已知a、b均為正實數(shù)，且ab1，求y的最小值易錯分析：在求最值時兩次使用基本不等式，其中的等號不能同時成立，導致最小值不能取到審題視角：(1)求函數(shù)最值問題，可以考慮利用基本不等式，但是利用基本不等式，必須保證“正、定、等”，而且還要符合已知條件(2)可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性，但要注意變量的取值范圍規(guī)范解答：解：方法一y22222.10分當且僅當ab時，y取最小值，最小值為.12分方法二yabababab2.8分令tab2，即t.又f(t)t在上是單調(diào)遞減的，10分當t時，f(t)min，此時，ab.當ab時，y有最小值.1

13、2分溫馨提醒(1)這類題目考生總感到比較容易下手但是解這類題目卻又常常出錯 (2)利用基本不等式求最值，一定要注意應用條件：即一正、二定、三相等否則求解時會出現(xiàn)等號成立、條件不具備而出錯 (3)本題出錯的原因前面已分析，關(guān)鍵是忽略了等號成立的條件.方法與技巧1基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用基本不等式的切入點2恒等變形：為了利用基本不等式，有時對給定的代數(shù)式要進行適當變形比如：(1)當x>2時，x(x2)2224.(2)0<x<，x(83x)

14、(3x)(83x)2.失誤與防范1使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其前提“一正、二定、三相等”的忽視要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可2在運用重要不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足重要不等式中“正”“定”“等”的條件 3連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致題型4：利用基本不等式整體換元例34：若正數(shù) a，b 滿足 abab3，求 ab 及 ab 的取值范圍思維突破：本題主要考查均值不等式在求最值時的運用，并體現(xiàn)了換元法、構(gòu)造法等重要思想自主解答：方法一：由abab323，即ab230. 即(3)(1)0.0，11.故3

15、0，ab9.當且僅當ab3時取等號又，abab32.當且僅當ab3時取等號即(ab)24120，(ab6)(ab2)0.ab20，有ab60，即ab6.ab的取值范圍是6，)方法二：由abab3，則b.abaa4a15259，當且僅當ab3時取等號ab的取值范圍是9，)由abab3，得b，abaa1(a1)2226，當且僅當ab3時取等號ab的取值范圍是6，)技巧總結(jié)：整體思想是分析這類題目的突破口，即ab與ab分別是統(tǒng)一的整體，把ab 轉(zhuǎn)換成ab 或把ab 轉(zhuǎn)換成ab.例35：已知正數(shù)a，b滿足a2b1，則的最小值是_試解：33232.易錯點評：多次利用基本不等式解題，沒有考慮等號能否同時成

16、立。在解題過程中先后兩次用到了重要不等式，第一次等號成立的條件是“當且僅當 a2b 時”；而第二次等號成立的條件是“當且僅當時”；這顯然不可能同時成立，因此等號取不到例36：已知x>0，y>0，且2xy1，則的最小值是_答案8解析因為(2xy)4428，等號當且僅當y，x時成立例37：已知x>0，y>0，且2xy1，則的最小值為_；解析x>0，y>0，且2xy1，332.當且僅當時，取等號例38：已知x0，y0，且1，求xy的最小值思維突破：“整體代換”，將1用代替，則xy(xy)，再化簡，用基本不等式求解解析：1，xy(xy)1010216.當且僅當且1，

17、即x12，y4時取等號當x12，y4時，xy有最小值為16.總結(jié)：已知條件與“1”有關(guān)，常利用“1”進行整體代換，轉(zhuǎn)化為能使積為定值的形式例39：已知x，y為正實數(shù)，且1，求xy的最小值解析：1，xy(xy)·1717225.當且僅當且1時，等號成立x5，y20時，xy有最小值25.例40：(2012·浙江)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A. B. C5 D6答案C解析x>0，y>0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)×25(當且僅當x2y時取等號)，3x4y的最小值為5.例41：(2013·泉州模擬)正數(shù)x，y

18、滿足1.(1)求xy的最小值；(2)求x2y的最小值解：(1)由12 得xy36，當且僅當，即y9x18時取等號，故xy的最小值為36.(2)由題意可得x2y(x2y)19192 196，當且僅當，即9x22y2時取等號，故x2y的最小值為196.例42：函數(shù)yloga(x3)1 (a>0，且a1)的圖像恒過定點A，若點A在直線mxny10上，其中m，n均大于0，則的最小值為()A2 B4 C8 D16答案C解析點A(2，1)，所以2mn1.所以(2mn)48，當且僅當n2m，即m，n時等號成立典例(2011·重慶高考)已知a>0，b>0，ab2，則y的最小值是_嘗

19、試解題ab2，1.2 .故y的最小值為.答案易錯提醒解答本題易兩次利用基本不等式，如：a>0，b>0，ab2，ab1.又yf(1,a)f(4,b)24，又ab1，y44.但它們成立的條件不同，一個是ab，另一個是b4a.這顯然是不能同時成立的，故不正確.使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可.在運用基本不等式時，還要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.題型5：利用基本不等式證明簡單不等式例43：已知正數(shù)a，b滿足ab1，求證：(1)ab； (2)a2b2；(

20、3)4；(4)9.(5)8；思維突破：本題在考查均值定理等號何時成立的同時，也考查到形如“f(x)x”函數(shù)的單調(diào)性自主解答：(1)，ab.(2)，a2b2.(3)方法一：(ab)2·24.方法二：(ab)11224.方法三：224.（4）19.方法一a>0，b>0，ab1，112，同理，12，52549.9(當且僅當ab時等號成立)方法二1.由(5)知，8，故19.(5)2，ab1，a>0，b>0，2224，8(當且僅當ab時等號成立)例44：已知x>0，y>0，z>0.求證：8.思維啟迪：由題意，先局部運用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)即可

21、得證證明x>0，y>0，z>0，>0，>0，>0，8.當且僅當xyz時等號成立探究提高利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題變式訓練 已知a>0，b>0，c>0，且abc1.求證：9.證明a>0，b>0，c>0，且abc1，3332229，當且僅當abc時，取等號題型六：基本不等式的實際應用例45：某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5

22、m房屋正面的造價為400元/m2，房屋側(cè)面的造價為150元/m2，屋頂和地面的造價費用合計為5 800元，如果墻高為3 m，且不計房屋背面的費用當側(cè)面的長度為多少時，總造價最低？思維啟迪：用長度x表示出造價，利用基本不等式求最值即可還應注意定義域0<x5；函數(shù)取最小值時的x是否在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)，不能用基本不等式求最值，可以考慮單調(diào)性解由題意可得，造價y3(2x×150×400)5 8009005 800 (0<x5)，則y9005 800900×25 80013 000(元)，當且僅當x，即x4時取等號故當側(cè)面的長度為4米時，總造價最低變式訓

23、練 (2011·北京)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產(chǎn)產(chǎn)品()A60件 B80件 C100件 D120件答案B解析設(shè)每件產(chǎn)品的平均費用為y元，由題意得y220.當且僅當(x>0)，即x80時“”成立，故選B.例46：(12分)為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬為2 m的無蓋長方體沉淀箱(如圖所示)，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱的底長為a m，高度為b m已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分別與a，b的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材

24、料60 m2.問：當a，b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小(A，B孔的面積忽略不計)?解方法一設(shè)y為流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，則y，其中k>0為比例系數(shù)，依題意，求使y值最小的a，b的值根據(jù)題設(shè)，有4b2ab2a60 (a>0，b>0)，解得b (0<a<30)于是y，當且僅當a2時等號成立，y取得最小值這時a6或a10(舍)，將其代入式，得b3.故當a為6 m，b為3 m時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小方法二依題意，求使ab值最大的a，b的值由題設(shè)，知4b2ab2a60 (a>0，b>0)，即a2bab30 (a>

25、;0，b>0)因為a2b2，所以2·ab30，當且僅當a2b時，上式取等號由a>0，b>0，解得0<ab18，即當a2b時，ab取得最大值，其最大值為18.所以2b218，解得b3，進而求得a6.故當a為6 m，b為3 m時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小例47：(13分)甲、乙兩地相距s千米，一船由甲地逆水勻速行駛至乙地，水速為常量p(單位：千米/小時)，船在靜水中的最大速度為q千米/小時(q>p)已知船每小時的燃料費用(單位：元)與船在靜水中的速度v(單位：千米/小時)的平方成正比，比例系數(shù)為k.(1)把全程燃料費用y(單位：元)表示為船在靜

26、水中的速度v的函數(shù)，并求出這個函數(shù)的定義域；(2)為了使全程燃料費用最小，船的實際前進速度應為多少？解(1)由題意，知船每小時的燃料費用是kv2，全程航行時間為，于是全程燃料費用ykv2· (p<vq)(2)由(1)，知ykv2·ks·ksvpksvp2pks22p4ksp(當且僅當vp，即v2p時等號成立)當2p(p，q，即2pq時，ymin4ksp，此時船的前進速度為2ppp；當2p(p，q，即2p>q時，函數(shù)ykv2·在(p，q內(nèi)單調(diào)遞減，所以yminks·，此時船的前進速度為qp.故為了使全程燃料費用最小，當2pq時，船的實際前進速度應為p千米/小時；當2p>q時，船的實際前進速度應為(qp)千