課堂導(dǎo)學(xué)（1.3.3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（二））

1、.課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、利用導(dǎo)數(shù)求最值【例1】 x、y為正實(shí)數(shù),且滿(mǎn)足關(guān)系式x2-2x+4y2=0,求x·y的最大值.思路分析:題中有兩個(gè)變量x和y,首先應(yīng)選擇一個(gè)主變量,可利用換元法,然后再求導(dǎo).解：由x2-2x+4y2=0,得x-12+4y2=1x>0,y>0.設(shè)x-1=cos,y=sin0<<,x·y=sin1+cos.設(shè)f=sin1+cos=sin+sincos,f=cos+cos2-sin2=2cos2+cos-1=cos+1cos-.令f=0,得cos=-1或cos=.0<<,=,此時(shí)x=,y=.f=.fmax=,即當(dāng)x=,y=

2、時(shí),x·ymax=.溫馨提示 在實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的過(guò)程中,關(guān)鍵是要注意變量的取值范圍必須滿(mǎn)足題設(shè)條件,以免陷入困境.二、求最值的常見(jiàn)技巧【例2】2019北京高考 函數(shù)fx=-x3+3x2+9x+a,1求fx的單調(diào)減區(qū)間;2假設(shè)fx在區(qū)間-2,2上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.解：1fx=-3x2+6x+9.令fx<0，解得x<-1或x>3，所以函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為-,-1，3+.2因?yàn)閒-2=8+12-18+a=2+a,f2=-8+12+18+a=22+a,所以f2>f-2.因?yàn)樵?1，3上fx>0，所以fx在-1，2上單調(diào)遞增，又由于fx在-2，

3、-1上單調(diào)遞減，因此f2和f-1分別是fx在區(qū)間-2，2上的最大值和最小值.于是有22+a=20,解得a=-2.故fx=-x3+3x2+9x-2.因此f-1=1+3-9-2=7,即函數(shù)fx在區(qū)間-2，2上的最小值為-7.溫馨提示 注意比較求函數(shù)的極值與最大值的不同.三、綜合應(yīng)用【例3】 設(shè)函數(shù)fx是定義在-1,00,1上的偶函數(shù),當(dāng)x-1,0時(shí),fx=x3-axaR.1當(dāng)x0,1時(shí),求fx的解析式;2假設(shè)a>3,試判斷fx在0,1上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;3是否存在a,使得當(dāng)x0,1時(shí),fx有最大值1.解：1x0,1時(shí),-x-1,0,f-x=-x3-a-x=ax-x3.又fx為偶函數(shù),

4、f-x=fx,即fx=ax-x3.2fx=-3x2+a,x0,1,x20,1.-3x2-3.a>3,-3x2+a>0,故fx在0,1上為增函數(shù).3假設(shè)存在a,使得當(dāng)x0,1時(shí),fx有最大值1.fx=a-3x2.令fx=0,-3x2+a=0,即a>0時(shí),x=±.又x0,1,x=且<1.fx在0,上大于0,在,1上小于0.fxmax=f=-=1.a=時(shí),fx有最大值1.溫馨提示 關(guān)于存在性問(wèn)題,處理的方法可以先假設(shè)存在,再尋找所得的結(jié)論.各個(gè)擊破類(lèi)題演練 1求以下函數(shù)的最值.1fx=3x-x3-x3;2fx=6-12x+x3,x-,1.解:1fx=3-3x2,令f

5、x=0,得x=±1,f1=2,f-1=-2.又f-3=0,f3=-18,fxmax=2,fxmin=-18.2fx=-12+3x2=0,x=±2.當(dāng)x-,-2時(shí),fx>0,fx為增函數(shù).當(dāng)x-2,2時(shí),fx<0,fx為減函數(shù).當(dāng)x,1時(shí),fx為減函數(shù).fxmin=f1=-5,fxmax=f=.變式提升 1 求y=|3x-x3|在-2,2上的最大值及最小值.解:fx=y=|3x-x3|=|x|·|3-x2|滿(mǎn)足f-x=fx為偶函數(shù),只需考察其在0,2上的最大值或最小值.又fx=|3x-x3|=故fx= 令fx=0,得x=1.f0=0,f2=2,f=0,f

6、1=2,fx在-2,2上的最大值為2,最小值為0.類(lèi)題演練 2 求函數(shù)y=5-36x+3x2+4x3在區(qū)間-2,2上的最大值與最小值.解:y=-36+6x+12x2=62x2+x-6.令y=0,解得x1=-2,x2=.單靠“死記還不行,還得“活用,姑且稱(chēng)之為“先死后活吧。讓學(xué)生把一周看到或聽(tīng)到的新穎事記下來(lái),摒棄那些假話(huà)套話(huà)空話(huà),寫(xiě)出自己的真情實(shí)感,篇幅可長(zhǎng)可短,并要求運(yùn)用積累的成語(yǔ)、名言警句等,定期檢查點(diǎn)評(píng),選擇優(yōu)秀篇目在班里朗讀或展出。這樣,即穩(wěn)固了所學(xué)的材料,又鍛煉了學(xué)生的寫(xiě)作才能,同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生的觀(guān)察才能、思維才能等等,到達(dá)“一石多鳥(niǎo)的效果。因?yàn)閒-2=57,f=-28,f2=-23

7、,所以函數(shù)的最大值為57,最小值為-28.變式提升 2 求函數(shù)fx=x3-3x2+6x-2在區(qū)間-1,1上的最值.解:fx=3x2-6x+6=3x2-2x+2,因?yàn)閒x在-1,1內(nèi)恒大于0,所以fx在-1,1上是增函數(shù),故當(dāng)x=-1時(shí),fx獲得最小值-12,當(dāng)x=1時(shí),fx獲得最大值2.即fx的最大值為2,最小值為-12.類(lèi)題演練3： 當(dāng)x1,2時(shí),函數(shù)fx=恒大于正數(shù)a,試求函數(shù)y=lga2-a+3的最小值.解:y=,當(dāng)x1,2時(shí),y<0,fx在1,2上單調(diào)遞減,于是fxmin=f2=.由題意知a的取值范圍是a<.y=lga2-a+3=lga-2+,故當(dāng)a=時(shí),ymin=lg.變

8、式提升 3 如圖,在二次函數(shù)fx=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中,有一矩形ABCD,求這個(gè)矩形ABCD的最大面積.解:設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為x,00<x<2,那么矩形ABCD的面積S=2-x×2×4x-x2=2x3-6x2+8x.S=23x2-12x+8.由S=0得x=23或x=2+3不合題意，舍去,要練說(shuō)，得練看。看與說(shuō)是統(tǒng)一的，看不準(zhǔn)就難以說(shuō)得好。練看，就是訓(xùn)練幼兒的觀(guān)察才能，擴(kuò)大幼兒的認(rèn)知范圍，讓幼兒在觀(guān)察事物、觀(guān)察生活、觀(guān)察自然的活動(dòng)中，積累詞匯、理解詞義、開(kāi)展語(yǔ)言。在運(yùn)用觀(guān)察法組織活動(dòng)時(shí)，我著眼觀(guān)察于觀(guān)察對(duì)象的選擇，著力于觀(guān)察過(guò)程的指導(dǎo)，著重于幼兒觀(guān)察才能和語(yǔ)言表達(dá)才能的進(jìn)步。當(dāng)0<x<2-3時(shí),S>0;死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式,在我國(guó)有悠久的歷史。但隨著素質(zhì)教育的開(kāi)展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學(xué)生才能開(kāi)展的教學(xué)方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為進(jìn)步學(xué)生的語(yǔ)文素養(yǎng)煞費(fèi)苦心。其實(shí),只要應(yīng)用得當(dāng),“死記硬背與進(jìn)步學(xué)生素質(zhì)并不矛盾。相反,它恰是進(jìn)步學(xué)生語(yǔ)文程度的重要前提和根底。當(dāng)2-<x<2時(shí),S<0.所以x=2-時(shí),S有最大值.死記硬背是一種傳統(tǒng)的教