三角形四心 與向量的完美結(jié)合

1、三角形的“四心”與向量的完美結(jié)合三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件的向量形式一 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1）O是的重心;若O是的重心，則故;為的重心.2）O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，則故3）O是的外心(或)若O是的外心則故4）O是內(nèi)心的充要條件是引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡潔。如果記的單位向量為，則剛才O是內(nèi)心的充要條件可以寫成 O是內(nèi)心的充要條件也可以是若O是的內(nèi)心，則故;的內(nèi)心;向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；二 范例(一)將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查ACBCCP例1O是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）（

2、A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因?yàn)槭窍蛄康膯挝幌蛄吭O(shè)與方向上的單位向量分別為， 又，則原式可化為，由菱形的基本性質(zhì)知AP平分，那么在中，AP平分，則知選B.點(diǎn)評(píng)：這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、陌生”，首先是什么？沒見過！想想，一個(gè)非零向量除以它的模不就是單位向量？ 此題所用的都必須是簡單的基本知識(shí)，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，解這道題一點(diǎn)問題也沒有。(二)將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2 H是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)H是ABC的垂心.由,同理，.故H是ABC的垂心. （反之亦然（證略）例

3、3.(湖南)P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則P是ABC的（D）A外心B內(nèi)心C重心D垂心解析:由. 即則所以P為的垂心. 故選D.點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識(shí).將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直” 等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。(三)將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4 G是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，=0點(diǎn)G是ABC的重心.證明 作圖如右，圖中連結(jié)BE和CE，則CE=GB，BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點(diǎn)，AD為BC邊上的中線. 將代入=0，得=0，故G是ABC的重心.（反之亦然（證

4、略）例5 P是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是ABC的重心.證明 G是ABC的重心=0=0，即由此可得.（反之亦然（證略）例6若 為內(nèi)一點(diǎn)， ，則 是 的（     ）A內(nèi)心           B外心        C垂心          D重心解析：由得，如圖以O(shè)B、OC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，

5、則，由平行四邊形性質(zhì)知，同理可證其它兩邊上的這個(gè)性質(zhì)，所以是重心，選D。點(diǎn)評(píng)：本題需要扎實(shí)的平面幾何知識(shí)，平行四邊形的對(duì)角線互相平分及三角形重心性質(zhì)：重心是三角形中線的內(nèi)分點(diǎn)，所分這比為。本題在解題的過程中將平面向量的有關(guān)運(yùn)算與平行四邊形的對(duì)角線互相平分及三角形重心性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。(四)將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若 為內(nèi)一點(diǎn)，則 是 的（     ）A內(nèi)心           B外心     

6、;   C垂心          D重心解析：由向量模的定義知到的三頂點(diǎn)距離相等。故 是 的外心 ，選B。點(diǎn)評(píng)：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。(五)將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例8已知向量，滿足條件+=0，|=|=|=1，求證 P1P2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）證明 由已知+=-，兩邊平方得·=， 同理 ·=·=， |=|=|=，從而P1P2P3是正三角形.反之，若點(diǎn)O是正三

7、角形P1P2P3的中心，則顯然有+=0且|=|=|.即O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，+=0且|=|=|點(diǎn)O是正P1P2P3的中心.例9在ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG:GH=1:2?！咀C明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn)，則有：AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF由題設(shè)可設(shè),即，故Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG：GH=1：2【注】：本例如果用平面幾何知識(shí)、向量的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算處理，都相當(dāng)麻煩，而借用向量的坐標(biāo)形

8、式，將向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算，這樣就將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起，從而，很多對(duì)稱、共線、共點(diǎn)、垂直等問題的證明，都可轉(zhuǎn)化為熟練的代數(shù)運(yùn)算的論證。例10若O、H分別是ABC的外心和垂心.求證 .證明 若ABC的垂心為H，外心為O，如圖.連BO并延長交外接圓于D，連結(jié)AD，CD.，.又垂心為H，AHCD，CHAD，四邊形AHCD為平行四邊形，故.著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置關(guān)系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線“歐拉線”；（2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為外垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍。“歐拉定理”的向量形式

9、顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題.例11 設(shè)O、G、H分別是銳角ABC的外心、重心、垂心.求證 證明 按重心定理 G是ABC的重心 按垂心定理 由此可得 .補(bǔ)充練習(xí)1已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是三角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足= (+2),則點(diǎn)P一定為三角形ABC的 （ B ）A.AB邊中線的中點(diǎn) B.AB邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C.重心 D.AB邊的中點(diǎn)1. B取AB邊的中點(diǎn)M，則，由= (+2)可得3，即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且點(diǎn)P不過重心，故選B.2在同一個(gè)平面上有及一點(diǎn)滿足關(guān)系式： ，則為的 （  D  ）

10、外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心2已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足：，則P為的 （  C  ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心3已知O是平面上一 定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P 滿足：，則P的軌跡一定通過ABC的 （  C  ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心4已知ABC，P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)為三角形的 （  D   ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心5已知ABC，P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：，

11、則P點(diǎn)為三角形的 （ B   ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心6在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)軌跡一定通過ABC的： （ B ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量與滿足(+)·=0且·= , 則ABC為( )A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形 D.等邊三角形解析：非零向量與滿足()·=0，即角A的平分線垂直于BC， AB=AC，又= ，A=，所以ABC為等邊三角形，選D8.的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m = 19.點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則