導(dǎo)數(shù)各類題型方法總結(jié)絕對經(jīng)典

1、第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念1.已知f(x)1 , W lim f(2x)f的值是()xx 0xA.11D.2B. 2C44變式1 :設(shè)fr rf34,則 lim -3hf3為()h 02hA.1B.2C.3D.1變式2：設(shè)fx在怡可導(dǎo)次V limf xxf x 3x等于x 0xA.2fX。B. fX。C. 3fXD. 4 f x0導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié)請同學(xué)們高度重視： 首先，關(guān)于二次函數(shù)的不等式 恒成立的主要解法：1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：(1)對稱軸(重視單調(diào)區(qū)間)與定義域的關(guān)系(2)端點處和頂點是最值所在其次，分析每種題型的本質(zhì)，你會發(fā)現(xiàn)大部

2、分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充 分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值*圍。最后，同學(xué)們在看例題時，請注意尋找關(guān)鍵的等價變形和回歸的基礎(chǔ)一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進(jìn)行解決：第一步：令f(x)0得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題,2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值用分離變量時要特別注意是否需分類討論(0,=0, 31 2x2有且僅有3個極值點，求a的取值例9、已知函數(shù)f(x)x33(aR,a 0) (1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間;(2)令 g(x) =

3、-*4 + (* ) (* R)4*圍.解：(1) f (x) ax2 x x(ax1)1 或x 0 ,令f (x)0解得aa11所以f(x)的遞增區(qū)間為(，丄)(0,)，遞減區(qū)間為(丄,0).aa1i當(dāng)a 0時，同理可得f(x)的遞增區(qū)間為(0,丄)，遞減區(qū)間為(,0)(-,).aa1ai(2) g(x)X4X3X2有且僅有3個極值點4323222g (x) x ax x x(x ax 1) =0 有 3 個根，則 x 0或 xax 1 0， a 2方程x2 ax 1 0有兩個非零實根，所以a2 4 0,a 2 或 a 2而當(dāng)a 2或a 2時可證函數(shù)y g (x)有且僅有3個極值點其它例題：

4、1、(最值問題與主兀變更法的例子) .已知定義在R上的函數(shù)f (x) ax3 2ax2 b(a 0)在區(qū)間 2,1上的最大值是5，最小值是一 11.(I)求函數(shù)f (x)的解析式；(n)若t 1,1時，f (x) tx 0恒成立，*數(shù)x的取值*圍. 解：(I) t f(x) ax3 2ax2 b, f (x) 3ax2 4ax ax(3x 4)4令 f (x)=0，得 x,0,x22,113因為a 0,所以可得下表:x2,000,1f (x)+0-f(x)/極大因此 f (0)必為最大值， f (0) 5 因此 b 5 , 丁 f(2) 163 5,f(1) a 5, f(1) f( 2),

5、即 f( 2)16a511, a 1, f(x) x32x25.2 2(n)vf (x) 3x24x,. f (x) tx 0等價于3x24xtx 0,2令g(t) xt 3x 4x，則問題就是g(t) 0在t 1,1上恒成立時，*數(shù)x的取值*圍, 為此只需g(1)0, 即 3x25x 0,g(1)0x2x 0解得0x1,所以所*數(shù)x的取值*圍是0 , 1.2、(根分布與線性規(guī)劃例子)(1)已知函數(shù)f(x)2x3 ax2 bx c3(I )若函數(shù)f (x)在x 1時有極值且在函數(shù)圖象上的點(0, 1)處的切線與直線 3x y 0平行，求f (x)的解析式;(n )當(dāng)f (x)在x (0, 1)

6、取得極大值且在x (1, 2)取得極小值時，設(shè)點M (b 2, a 1)所在平面區(qū)域為S,經(jīng)過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分，求直線L的方程.解：(I ).由 f (x)22x 2ax b,函數(shù)f (x)在x 1時有極值，2ab 2 0/ f(0)1 c 1又T f(x)在(0,1)處的切線與直線3x y 0平行, f (0) b 3 故 a -231x2 3x 12(n )解法f (x)22x 2ax b 及f (x)在x (0,1)取得極大值且在(1,2)取得極小值，易得A(0)(1)2a b4a b令 M(x, y), 2y2 4y0 故點所在平面區(qū)域S為如圖 ABC,2,

7、0), B( 2,1),C(2,2),D(0,1), E(0, 3)S ABC 2同時DEABC的中位線，S1SS DEC3 S四邊形 ABED11所求一條直線L的方程為：x 011另一種情況設(shè)不垂直于*軸的直線L也將S分為面積比為由ykx得點F的橫坐標(biāo)為:Xf22yx202k 1由ykx得點G的橫坐標(biāo)為:Xg64yx604k 1別交于F、G,則k 0 , S四邊形DEGF 161樂邊形DEGF1 3S OGE S OFDA 0/ *-28-1)1:3的兩部分，設(shè)直線L方程為y kx,它與AC,BC分2 2 4k 122k 121 即 16k 2k 5011解得：k或25 (舍去)故這時直線方

8、程為：y -x8 2綜上，所求直線方程為：x 0或y -x2.12分f (x)在x (0,1)取得極大值且在(1,2)取得極小值,f (0)0b0f (1)0即2ab20f04ab80y 1.x20a2yx20故點點Mbx 24yx60(n)解法二：由b及f (x)2ax2x2所在平面區(qū)域 S為如圖 ABC,易得 A( 2,0) , B( 2,令 M (x, y),貝Uy a 131), C(2,2), D(0, 1), E(0,2),S ABC同時DE ABC的中位線，另一種情況由于直線1. y -x由22y x 2-S ABC 2 ,1 、S DECS四邊形ABED 所求一條直線L的方程為

9、:x 030S0或y所求直線方程為(根的個數(shù)問題)f(x)ax3 bx2(c 3a2b)x d (a0)的圖象如圖所示。已知函數(shù)3、(i)求的解析式;川)若解:由題知:c、d的值;n)若函數(shù)f(x)的圖象在點(2,f(2)處的切線方程為3x y 110 ,求函數(shù)fXo 5,方程f(x) 8a有三個不同的根，*數(shù)a的取值*亂f (x) 3ax2 2bx+c-3a-2b(I)由圖可知函數(shù) f ( * )的圖像過點(0,3 )，且f 1 = 0d 33a 2b c3a2b(n)依題意 f 2 = - 3 且 f ( 2 ) = 512a 4b 3a 2b8a 4b 6a 4b 33 解得 a = 1

10、 , b = - 65所以 f ( * ) = *3 - 6*2 + 9* + 332(川)依題意 f ( * ) = a* + b* - ( 3a + 2b )* + 3 ( a0 )2f x = 3a* + 2b*3a - 2b 由 f 5 = 0 b = - 9a若方程f ( * ) = 8a有三個不同的根，當(dāng)且僅當(dāng)滿足 f ( 5 ) v 8a f ( 1 )x2(2,1)1(x)一(x)8a 92、a求a的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間;1由得 -25a + 3 8a 7a + 3 a 3111所以當(dāng)丄 ac,d, f (xjgX)f (x)maxg(x)min ；【如圖二】結(jié)論3:a,b,

11、X2c,d, f(Ggg)f (x)ming(x) min ；【如圖三】結(jié)論 4：Xia,b,X2c,d, f(Xi)g(X2)f(x)max g(X)max ；【如圖四】結(jié)論5：Xia,b,X2c,d, f(Xi)g(x2)f (x)的值域和g(x)的值域交集不為空；【如圖五】232【例題 1 】：已知兩個函數(shù) f(x)8x 16x k, g(x) 2x 5x 4x,x 3,3, k R；(1) 若對x 3,3，都有f(x) g(x)成立，*數(shù)k的取值*圍；(2) 若x 3,3,使得f(x) g(x)成立，*數(shù)k的取值*圍；(3) 若對Xi,x2 3,3,都有f (X1) g(x2)成立，*

12、數(shù)k的取值*圍；解：(1)設(shè) h(x)g(x)f (x)2x3 3x212x k ,( 1)中的問題可轉(zhuǎn)化為:x 3,3時，h(x) 0 恒成立，即h(x)min 0。h(x) 6x2 6x 126(x 2)(x 1).當(dāng)X變化時，h(x), h(x)的變化情況列表如下:X-3(-3,-1)1(-1,2)2(2,3)3h (*)+00+h(*)k-45增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)k-9因為 h( 1) k 7,h(2) k 20,所以，由上表可知h(x)min k 45，故 k-45 0,得 k45,即 k 45,+).小結(jié)：對于閉區(qū)間 I,不等式f(*)k對* I時恒成立f(*)ma*k對

13、* I時恒成立f(*)mink, * I.此題常見的錯誤解法：由f(*)ma* g(*)min 解出k的取值*圍.這種解法的錯誤在于條件f(*)ma* 0在* -3,3時有解，故h(*)ma* 0.由(1)可知h(*)ma*= k+7，因此 k+70,即 k 7,+).(3) 根據(jù)題意可知，(3)中的問題等價于f(*)ma* 21 得 k 141,即 k 141,+).說明：這里的*1,*2是兩個互不影響的獨立變量.從上面三個問題的解答過程可以看出，對于一個不等式一定要看清是對“*”恒成立，還是“ * ”使之成立，同時還要看清不等式兩邊是同一個變量，還是兩個獨立的變量，然后再根據(jù)不同的情況采取

14、不同的等價條件，千萬不要稀里糊涂的去猜.:、相關(guān)類型題：一、a f(x)型;形如a f (x), a f (x)型不等式，是恒成立問題中最基本的類型，它的理論基礎(chǔ)是“ a f (x)在x D上恒成立，則a f (x)max(x D)； a f (x)在* D上恒成立，則a f(x)min(x D); ” 許多復(fù)雜的恒成立問題最終都可歸結(jié)到這一類型例1 :已知二次函數(shù) f(x) ax2 x，若 x 0,1時，恒有|f(x)| 1 , *數(shù)a的取值*圍.解：| f (x)| 1 , -1 ax2X1 ;即1 X當(dāng)x 0時，不等式顯然成立， a R.當(dāng)0 x 1時，由1 x ax21X得：1X a

15、0.又(2 1)XXmax2，-a二、f(xj f(x)f (X2)型例2已知函數(shù)f (x)值為2si n( x25；)，若對X2ax 1x;111壬11-a _，而(v)min0XXXXX2, 2a 0，綜上得a的*圍是a2,0。R，都有f(X1)f(x)f (X2)成立,則|x X2I的最小解對任意* R,不等式f(%) f (x)f (x2)恒成立,二f(xj, f(X2)分別是f (x)的最小值和最大值.對于函數(shù)y sin x，取得最大值和最小值的兩點之間最小距離是n,即半個周期.x又函數(shù)f(x) 2sin()的周期為4, |x( X2I的最小值為2.25三、.f(xA)f(x1)f(

16、x2)型2 22例 3 :(2005*)在 y 2x, y log2 2x, y x , y cosx 這四個函數(shù)中，當(dāng) 0 x-i x2 1 時，使f (x1 x2)丄兇 企幾 恒成立的函數(shù)的個數(shù)是()2 2A.0B.1C.2D.3解：本題實質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件f(“ x2)丄兇 口的函數(shù)，應(yīng)是凸函數(shù)的性質(zhì)，2 2畫草圖即知y log 2 2x符合題意；四、.f(X1)f(X2)0型X1X2X1f (X)X2- f (1)已知函數(shù)t2 2at任取1f(X)定義域為1對所有X X1X21 ,1,1, f (1) 1，若 m,n 1,1, m n 0時，都有一凹1,1, a 1,1

17、恒成立，*數(shù)t取值*圍.則 f(Xi) f(X2)f(xj f(X2)(眉x2),由已知0,X1X2f(xj f(X2)X1 X20,二 f (x1) f (x2) Of,即即 f(X)在1，二 x 1,1,恒有 f (X)1；1,1上為增函數(shù)要使f (x) t22at 1對所有X 1,1，a1,1恒成立，即要t22at 11恒成立,故t2 2at 0恒成立，令g (a)2 at t2,只須g( 1)0且g(1)解得t 2或t 0或t 2。評注：形如不等式” 一型0或”丄0恒成立,實際上是函數(shù)的單調(diào)性的另一種表現(xiàn)x1x2x1x2形式，在解題時要注意此種類型不等式所蘊(yùn)涵的重要信息五、.f(x)g

18、(X) 型:例5:已知1f(X) 1lg(X 1)，g(X) lg(2Xt)，若當(dāng) X 0,1時,f (x) g (x)恒成立，*數(shù)t的取值*解：f (X)g(X)在 X0,1恒成立，即X 12x t 0在x 0,1恒成立 .x 1 2x t在0,1上的令 F(x).X 1 F(x)0,即 f (x)F(0)六、f (X1)最大值小于或等于零2x t,gX)型1 t 0,F(x)1 4” ,F(x)在0,1上單調(diào)遞減,1。0,1F(0)是最大值例6:已知函數(shù)f (x)x2 3x43g(x)9 x c若對任意 X1, X2 2,2，都有 f(xj g(X2),2解：因為對任意的X1,x22,2，

19、都有 f (xj g(X2)成立,二f (X)maxg(x)min , f(x)X2 2x 3 ,令 f(x) 0 得 X 3, X1 * 3 或 * v -1 ； f (x)0 得1 x 3 ; f(x)在2, 1為增函數(shù)，在1,2為減函數(shù)18 c- f ( 1) 3, f(2)6 , f(x)max 3,.3, c 24。2七、| f(xj f(X2)| t ( t為常數(shù))型；1例7 :已知函數(shù)f (x)x4 2x3，則對任意t1,t2 -,2 ( t1 t2)都有2|f(X1)f(X2)| 恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)t1=_，t2=_時取等號解：因為 |f(X1) f (X2)| | f(X)ma

20、x f(x)min| 恒成立，1 32715由 f(x)X4 2x3,x -,2,易求得f(X)max f(), f (x) min f( 一), 2 216216| f(xjf(X2)| 2。例8 :已知函數(shù)y f (x)滿足：(1)定義域為1,1;方程f(x) 0至少有兩個實根1和1 ;過f(x)圖像上任意兩點的直線的斜率絕對值不大于1.(1) 證明 | f (0) | 1| ；證明：對任意 x1, x2 1,1，都有 |f(xj f (x2) | 1 .證明(1)略；(2) 由條件知f ( 1) f (1)0 ,不妨設(shè) 1 X, x21，由知 |f(xjf (x2) | X1X2 |X2 X1,又- | f(X1) f(X2)|f(X1)| f(X2)| f (X1)f(1)|f(X2)f(1)|X1 1 1 X2 2 (X2 X1) 2 | f(X1) f(X2)| ; | f (X1) f(X2)| 1 八、| f(X1) f(X2)| |X1 X2|型例9：已知函數(shù)f(x)