利用空間向量求角和距離

1、.第二課時(shí)利用空間向量求角和間隔 【根底穩(wěn)固】1.直線l1的方向向量s1=1,0,1與直線l2的方向向量s2=-1,2,-2,那么l1與l2夾角的余弦值為CA24B12C22D32解析:因?yàn)閟1=1,0,1,s2=-1,2,-2,所以cos<s1,s2>=s1·s2|s1|s2|=-1-22×3=-22.又兩直線夾角的取值范圍為0,2,所以l1 和l2夾角的余弦值為22.2.點(diǎn)A1,2,1,B-1,3,4,D1,1,1,假設(shè)AP=2PB,那么空間P,D兩點(diǎn)間的間隔 為DA573B83C743D773解析:設(shè)Px,y,z,因?yàn)锳P=2PB,所以x-1,y-2,z-

2、1=2-1-x,3-y,4-z,所以x-1=-2-2x,y-2=6-2y,z-1=8-2z,所以x=-13,y=83,z=3.所以P-13,83,3,PD=43,-53,-2所以|PD|=773.3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),那么sin<DB1,CM>的值等于BA12B21015C23D115解析:如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1,那么D0,0,0,B11,1,1,C0,1,0,M1,12,0,所以DB1=1,1,1,CM=1,-12,0.所以cos<DB1,CM>=DB1·CM|DB1|CM|=1-123

3、15;1+14=115.所以sin<DB1,CM>=1415=21015.應(yīng)選B.4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,那么AC與BD1所成角的余弦值為AA0B37070C-37070D7070解析:建立如圖坐標(biāo)系,那么D10,0,3,B2,2,0,A2,0,0,C0,2,0,所以BD1=-2,-2,3,AC=-2,2,0.所以cos <BD1,AC>=BD1·AC|BD1|AC|=0.所以AC與BD1所成角的余弦值為0.5.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,那么CD與平面BDC1所成角的正弦值等于AA2

4、3B33C23D13解析:建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AA1=2AB=2,那么B1,1,0, C0,1,0,D0,0,0,C10,1,2,故DB=1,1,0,DC1=0,1,2,DC=0,1,0.設(shè)平面BDC1的法向量為n=x,y,z,那么n·DB=0,n·DC1=0,即x+y=0,y+2z=0,令z=1,那么y=-2,x=2,所以平面BDC1的一個(gè)法向量為n=2,-2,1.設(shè)直線CD與平面BDC1所成的角為,那么sin =|cos<n,DC>|=|n·DC|n|·|DC|=23,應(yīng)選A.6.點(diǎn)Ma,0,a,平面過原點(diǎn)O,且垂直于向量n=-

5、a2,a2,a,那么點(diǎn)M到平面的間隔 d為. 解析:OM=a,0,a,那么M到平面的間隔 d=OM·n|n|=66a.答案:66a7.如圖正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O是平面A1B1C1D1的中心,那么BO與平面ABC1D1所成角的正弦值為. 解析:建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,那么B1,1,0,O12,12,1,DA1=1,0,1是平面ABC1D1的一個(gè)法向量.又OB=12,12,-1,所以BO與平面ABC1D1所成角的正弦值為|OB·DA1|OB|·|DA1|=1262×2=36.答案:368. 2019·福

6、州高二期中如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1,棱長為4,E為面A1D1DA的中心,CF=3FC1,AH=3HD.1求異面直線EB1與HF之間的間隔 ;2求二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值.解:以D1為原點(diǎn),D1A1,D1C1,D1D分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立直角坐標(biāo)系D1xyz,那么E2,0,2,B14,4,0,H1,0,4,F0,4,1.1EB1=2,4,-2,HF=-1,4,-3,EH=-1,0,2,設(shè)平面EB1FH的法向量為n=x,y,z,那么n·EB1=0,n·HF=0,即2x+4y-2z=0,-x+4y-3z=0,取x=1,那么z=-3,y=-

7、2,那么n=1,-2,-3,異面直線EB1與HF之間的間隔 為|n·EH|n|=|-1+0-6|14=142.2EB1=2,4,-2,EA1=2,0,-2,EH=-1,0,2,設(shè)平面HB1E的法向量為m1=x,y,z,那么m1·EH=0,m1·EB1=0,即-x'+2z'=0,2x'+4y'-2z'=0,取x=2,那么y=-12,z=1.所以m1=2,-12,1.設(shè)平面A1B1E的法向量為m2=x,y,z,那么m2·EB1=0,m2·EA1=0,即2x+4y-2z=0,2x-2z=0.取x=1,y=0,z

8、=1,那么m2=1,0,1,所以cos <m1,m2>=m1·m2|m1|m2|=427.因?yàn)槎娼荋-B1E-A1為鈍二面角,所以二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值為-427.【才能提升】9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BB1的中點(diǎn),那么平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為BA12B23C33D22解析:如下圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1,那么D0,0,0,A11,0,1,E1,1,12,所以DA1=1,0,1,DE=1,1,12.設(shè)平面A1ED的法向量為n=x,y,z,那么n·DA1=0,n·DE=0,即x

9、+z=0x+y+12z=0,令x=1,得y=-12,z=-1,所以n=1,-12,-1.又平面ABCD的一個(gè)法向量為DD1=0,0,1,所以cos<n,DD1>=-132×1=-23.所以平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為23.應(yīng)選B.10.矩形ABCD與ABEF全等,D-AB-F為直二面角,M為AB的中點(diǎn),FM與BD所成角為,且cos=39,那么AB與BC的邊長之比為CA11B21C22D12解析:設(shè)AB=a,BC=b,建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,那么相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)為Fb,0,0,M0,a2,0,B0,a,0,D0,0,b,FM=-b,a2,0,B

10、D=0,-a,b,所以|FM|=b2+a24,|BD|=a2+b2,FM·BD=-a22,|cos<FM,BD>|=|-a22|b2+a24·a2+b2=39,整理得4×b4a4+5×b2a2-26=0,所以ABBC=ab=22.應(yīng)選C.11.2019·煙臺(tái)高二檢測棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),那么點(diǎn)D到平面EFD1B1的間隔 為. 解析:以點(diǎn)D為原點(diǎn),建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系,那么D0,0,0,F0,12,0,E12,1,0,D10,0,1.所以EF=-12,-12,0,E

11、D1=-12,-1,1.設(shè)n=x,y,z為平面EFD1B1的法向量,那么-12x-12y=0,-12x-y+z=0,易求平面EFD1B1一個(gè)的法向量為n=-1,1,12,又DF=0,12,0,所以d=|DF·n|n|=13.答案:1312.在直三棱柱ABC-ABC中,底面ABC是邊長為2的正三角形,D是棱AC的中點(diǎn),且AA=22.1試在棱CC上確定一點(diǎn)M,使AM平面ABD;2當(dāng)點(diǎn)M為棱CC中點(diǎn)時(shí),求直線AB與平面ABM所成角的正弦值.解:1因?yàn)橹比庵鵄BC-ABC中,底面ABC是邊長為2的正三角形,D是棱AC的中點(diǎn),所以BDAC,所以BD平面ACCA,所以BDAM,所以在棱CC上確

12、定一點(diǎn)M,使AM平面ABD,只要過A作AMAD交CC于點(diǎn)M即可.2如圖以A為原點(diǎn),以AC,AA'為y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)橹比庵鵄BC-ABC中,底面ABC是邊長為2的正三角形,D是棱AC的中點(diǎn),且AA=22.所以A0,0,0,B3,1,22,A0,0,22,B3,1,0,M0,2,2,所以AB'=3,1,22,A'M=0,2,-2,A'B=3,1,-22 ,設(shè)平面ABM的一個(gè)法向量為n=x,y,z,那么n·A'M=0,n·A'B=0,即2y-2z=0,3x+y-22z=0,令y=1,那么n=3,1,2,設(shè)

13、直線AB與平面ABM所成的角為.sin =|cos<n,AB'>|=|n·AB'|n|AB'|=812×6=223.所以當(dāng)點(diǎn)M為棱CC中點(diǎn)時(shí),直線AB與平面ABM所成角的正弦值為223.【探究創(chuàng)新】13.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,DAB=ABC=90°,E是CD的中點(diǎn).1證明:CD平面PAE;2假設(shè)直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,求四棱錐P-ABCD的體積.解:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=h,那么相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為A0,0,0,B4,0,0,C4,3,0,D0,5,0,E2,4,0,P0,0,h.1易知CD=-4,2,0,AE=2,4,0,AP=0,0,h.因?yàn)镃D·AE=-8+8+0=0,CD·AP=0,所以CDAE,CDAP.而AP,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線,所以CD平面PAE.2由題設(shè)和1知,CD,AP分別是平面PAE,平面ABCD的法向量,而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,所以|cos􀎮CD,PB􀎯|=|cos􀎮PA,PB􀎯