利用高斯--波涅公式所能解決的問題

1、高斯波涅公式的應(yīng)用邢家省，王擁軍（北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100191）摘 要: 考慮曲面上高斯波涅公式的應(yīng)用問題，對(duì)有關(guān)結(jié)果給予直接的證明，并列舉了一些實(shí)例.關(guān)鍵詞: 高斯波涅公式，高斯曲率，測(cè)地曲率中圖分類號(hào): O186. 11 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: AThe Application of the GaussBonnet Formula Xing Jiasheng Wang Yongjun(Department of Mathematics, LMIB of the Ministry of Education, Beihang University

2、 ,Beijing 100191，China)Abstract: Using the GaussBonnet theorem， we give a direct proof of some relevant results and listed some examples.Keywords: GaussBonnet formula , Gauss curvature, geodesic curvature高斯波涅公式是微分幾何中的重要定理，它描述了曲面上多邊形的內(nèi)角和與曲面的高斯曲率及邊界曲線上的測(cè)地曲率之間的關(guān)系.對(duì)該定理的證明和推廣引起了人們持續(xù)不斷的興趣，定理結(jié)果的應(yīng)用也被人們發(fā)掘出來.

3、我們對(duì)常見的能解決的問題結(jié)果給出整理，給予直接的證明，列舉了一些實(shí)例，豐富高斯波涅公式的應(yīng)用.微分幾何中其它相關(guān)問題的研究可見文獻(xiàn)5-12.收稿日期：基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171013），北京航空航天大學(xué)教改項(xiàng)目基金資助作者簡(jiǎn)介：邢家?。?964-）男，河南泌陽人,博士，副教授,研究方向：偏微分方程、微分幾何.1. 光滑邊界單連通區(qū)域上的Gauss-Bonnet公式的應(yīng)用設(shè)曲面 是類正則曲面. 曲面上的高斯曲率為，曲面上的曲線的測(cè)地曲率為，曲面上的面積微元為，曲線的弧長(zhǎng)微分為.區(qū)域的邊界記為.定理1(Gauss-Bonnet 公式) 設(shè)區(qū)域是曲面上的一個(gè)單連通區(qū)域，如果是一條

4、光滑曲線，則有， （1） 推論1 設(shè)區(qū)域是曲面上的一個(gè)單連通區(qū)域，如果是一條光滑曲線，并且是曲面上的測(cè)地線，即曲線上的測(cè)地曲率，則有 .推論2 設(shè)曲面是一個(gè)單連通的封閉曲面，則有 .證明 用一條光滑的封閉曲線把曲面分成兩個(gè)部分和，利用定理1，有，由于和的定向相反，把上兩式相加后，得到.例1 設(shè)是半徑為的球面，此時(shí)有，自然成立 .例2 設(shè)是橢球面 ，曲面上的高斯曲率為，求.解 由于橢球面是一個(gè)封閉地曲面，利用推論2，則有 . 推論3 在高斯曲率非正的單連通曲面上, 不存在光滑的閉測(cè)地線.證明 設(shè)曲面 是一高斯曲率非正的單連通曲面, 若其上存在一條光滑的閉測(cè)地線, 則的測(cè)地曲率, 設(shè)在曲面所圍的區(qū)

5、域?yàn)?，由Gauss-Bonnet 公式(1)，知，這與 上的高斯曲率 矛盾.注 推論3 中必須要求所圍成的區(qū)域是單連通的, 否則命題不成立. 例如在旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面上(它的高斯曲率 )存在著一條光滑閉測(cè)地線, 即曲面上的最小緯圓.2 分段光滑邊界單連通區(qū)域上的Gauss-Bonnet公式的應(yīng)用 定理2 (Gauss-Bonnet公式) 設(shè)是有向曲面上的一條由 段光滑的曲線組成的簡(jiǎn)單封閉曲線, 它由段光滑曲線 所組成, 而這些光滑曲線段在交接處的外角為， 曲線所包圍的區(qū)域是曲面上的一個(gè)單連通區(qū)域， 那么成立， , （2）若用表示這些光滑曲線段在交接處的內(nèi)角，則有 ， （3） 推論4 如果曲線 中每

6、段光滑曲線 是測(cè)地線, 則在由測(cè)地線段所圍成的單連通測(cè)地邊形區(qū)域中, 成立如下公式 ； （4）若用表示測(cè)地邊形的外角 所對(duì)應(yīng)的內(nèi)角, 則有， （5 ）例3 當(dāng)曲面是平面時(shí), 因?yàn)?, 于是(5 )式即平面幾何中多邊形內(nèi)角之和的公式. 如當(dāng) 時(shí)就得到: 三角形三內(nèi)角之和等于.推論5 如果是曲面上的一個(gè)測(cè)地三角形, 即三條測(cè)地線所圍成的三角形，則有 ， （6）例4 若曲面上的高斯曲率是常數(shù)，則曲面上的一個(gè)測(cè)地三角形三內(nèi)角之和為，其中A是這個(gè)測(cè)地三角形的面積. 進(jìn)而, 當(dāng)是正常曲率曲面(如球面) 時(shí), , 所在正常曲率曲面上的測(cè)地三角形三內(nèi)角之和大于; 而當(dāng) 是負(fù)常曲率曲面(如偽球面) 時(shí), , 所

7、以在負(fù)常曲率曲面上的測(cè)地三角形三內(nèi)角之和小于.例5 在單位球面上若兩條大圓相交于南北極且相交處的內(nèi)角為, 試求其所圍區(qū)域的面積. 解 由，利用（5）式，得，于是所圍面積為 推論6 設(shè)是曲面上的一個(gè)四邊形區(qū)域，其內(nèi)角為，邊界由光滑四邊構(gòu)成，則有 定理3 設(shè)有定了向的封閉曲面，且 能被剖分成幾個(gè)四邊形，而且各頂點(diǎn)正好聚集四個(gè)四邊形，則成立 . 證明 設(shè)曲面被剖分成個(gè)四邊形，曲面四邊形的邊界由四邊組成，內(nèi)角為，利用推論6，可得 ，由條件可知， 于是有，即成立 . 例6 設(shè)環(huán)面：，其中是正常數(shù)，參數(shù)。直接計(jì)算知， 對(duì)環(huán)面具有定理上的條件， 利用定理3，可得到， 直接驗(yàn)證 .例7 證明：在高斯曲率非正的

8、單連通曲面上, 不能有兩條測(cè)地線交于兩點(diǎn).證明 設(shè)曲面 是一高斯曲率非正的單連通曲面, 若其上存在兩條測(cè)地線交于兩點(diǎn)，設(shè)內(nèi)角為，所圍區(qū)域?yàn)?，利用公式，?dāng)時(shí)，則有，（若，這與過一點(diǎn)及一個(gè)方向的測(cè)地線的唯一性矛盾.）這與上的高斯曲率 矛盾.注：在曲面的高斯曲率為正的單連通曲面, 可以存在兩條測(cè)地線交于兩點(diǎn).例如 球面上的任兩個(gè)大圓，都是測(cè)地線，相交于兩點(diǎn). 例8 設(shè)曲面上的高斯曲率是正函數(shù)，且單連通的封閉曲面，證明曲面上的任何兩個(gè)閉測(cè)地線至少有一個(gè)交點(diǎn).證明 用反證法.假若曲面上的存在兩條不相交的封閉測(cè)地線和，設(shè)和所圍曲面上的區(qū)域?yàn)?，用一條曲線段將曲線和連接起來，可看成一個(gè)四邊形，其中被正向、方向

9、各利用一次，利用推論6的結(jié)果，可得，而這與高斯曲率矛盾，所以原結(jié)論成立.例9 利用高斯波涅公式證明：若曲面上存在兩族夾角為定角的測(cè)地線，則它的高斯曲率處處為零，從而曲面為可展曲面. 證明 在曲面上任取由兩組測(cè)地線所圍的曲邊四邊形，由條件知，此種四邊形的內(nèi)角和為利用公式，當(dāng)時(shí)，則得，于是必有. 假若存在某點(diǎn)，有，不妨設(shè)，存在的一個(gè)鄰域，在上，；在內(nèi)取一個(gè)四邊是測(cè)地線弧段四邊形，顯然，矛盾. 故此曲面上的高斯曲率處處為零.定理4 ( Jacobi, 1842 ) 設(shè) 是曲率處處不為零的空間正則閉曲線,其中為弧長(zhǎng)參數(shù),如果它的主法線球面標(biāo)線是單位球面上的一條簡(jiǎn)單光滑閉曲線. 則這條主法線的球面標(biāo)線必

10、定平分的面積.證明 設(shè) 是的弧長(zhǎng)參數(shù), 是作為上曲線的測(cè)地曲率, 是上由圍成的區(qū)域之一. 我們首先證明 .由Frenet 公式, 得，故有，因?yàn)?在球面 上, 故沿 , 的單位法向量，于是，因此，( 因?yàn)槭情]曲線). 再由Gauss-Bonnet 公式得( 因?yàn)榍蛎?的總曲率 )，即區(qū)域D的面積為, 又因?yàn)榈拿娣e為 ，故 平分的面積.參考文獻(xiàn)：1梅向明，黃敬之.微分幾何M.第4版.北京：高等教育出版社出版，2008，158-171.2陳維桓.微分幾何M.北京:北京大學(xué)出版社,2006,284-293.3 彭家貴，陳卿.微分幾何M.北京：高等教育出版社，2002,129-133.169-179.4馬 力. 簡(jiǎn)明微分幾何M.北京：清華大學(xué)出版社, 2004,85-90.5張立新 .測(cè)地線及其應(yīng)用J. 鞍山師范學(xué)院學(xué)報(bào). 2 0 0 5 , 7 ( 4 ) : 3 46閆德寶.球面上簡(jiǎn)單閉曲線的等周不等式J. 云南農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào).2011,26(5):723-724.7王韶麗，閆淑芳.曲面上幾種特殊曲線間的關(guān)系分析J.邢臺(tái)學(xué)院學(xué)報(bào).2011，26（4）：174-175.8李金輝,徐愛華.撓率線的幾個(gè)性質(zhì)J. 邯鄲學(xué)院學(xué)報(bào).2007.17(3)27-29.9 王如山，劉漸和一般曲面曲線的曲率和撓率的關(guān)系式J安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).20