八年級講義特殊的平行四邊形教師版

1、環(huán) 球 雅 思 教 育 學 科 教 師 講 義講義編號： 副校長/組長簽字： 簽字日期： 學 員 編 號 ： 年 級 ： 八 課 時 數(shù) ：3課時學 員 姓 名 ： TR 版 輔 導 科 目 ： 數(shù)學 學 科 教 師 ：孟彥課 題19.2特殊的平行四邊形授課日期及時段教 學 目 的重 難 點教 學 內(nèi) 容【基礎知識鞏固】平行四邊形判定定理：1、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 2、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 3、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 4、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。 5、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。 6、兩組對邊分別平行且相等的四邊形

2、是平行四邊形。 7、相鄰兩角分別互補的四邊形是平行四邊形。矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。矩形的性質(zhì)： 矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等；注意：矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì) .矩形的判定定理：有一個角是直角的平行四邊形是矩形； 有三個角是直角的四邊形是矩形； 對角線相等的平行四邊形是矩形 .菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的性質(zhì)： 菱形的四條邊都相等； 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角 . 菱形面積=對角線乘積的一半，即S=（a×b）÷2 注意：菱形也具有平行四邊形的一切性質(zhì)菱形的判定定理： 1、有一組鄰邊相等的平

3、行四邊形是菱形 2、四條邊都相等的四邊形是菱形3、對角線互相平分的四邊形是菱形 正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一角是直角的平行四邊形叫做正方形. 正方形的性質(zhì)： 正方形的四個角都是直角，四條邊都相等； 正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角 . 正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)正方形的判定定理： 1、四條邊都相等的平行四邊形是正方形 2、有一組鄰邊相等的矩形是正方形3、有一個角是直角的菱形是正方形【典型例題分析】 矩形1.如圖,工人師傅砌門時,常用木條EF固定矩形門框ABCD,使其不變形,這種做法的根據(jù)是( )A.兩點之間線段最短 B.矩形的對稱性C.矩

4、形的四個角都是直角 D.三角形的穩(wěn)定性解析：因釘上EF后,構(gòu)成CEF,根據(jù)三角形的穩(wěn)定性使其不變形. 答案:D2.把一張長方形的紙片按如圖所示的方式折疊,EM、FM為折痕,折疊后的C點落在BM或BM的延長線上,那么EMF的度數(shù)是( )A.85° B.90° C.95° D.100°解析：EMF=EMB+FMB=BMC+CMC=×180°=90° 答案:B3.如圖,矩形紙片ABCD中，AD=4 cm，AB=10 cm，按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則DE=_cm.解析：因為按如題圖方式折疊后點B與點D重合，所以

5、DE=BE.設DE=x，則AE=AB-BE=AB-DE=10-x.在RtADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即 42+（10-x）2=x2，解得x=5.8. 答案:5.84.如圖,矩形ABCD中，M是CD的中點.求證：（1）ADMBCM；（2）MAB=MBA.答案：證明：(1)四邊形ABCD是矩形， ADM=BCM，AD=BC. M是CD的中點，DM=CM.ADMBCM.（2）ADMBCM，MA=MB. MAB=MBA.5.如圖,四邊形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是對角線AC上的點.（1）如果_，則DECBFA（請你填上能使結(jié)論成立的一個條件）；（2）證明你的結(jié)論.答案：（

6、1）答案:AE=CF（OE=OF；DEAC,BFAC,DEBF等等）（2）證明：四邊形ABCD是矩形，AB=CD，ABCD，DCE=BAF.又AE=CF,AC-AE=AC-CF. AF=CE.DECBFA.6.如圖,在平行四邊形ABCD中，以AC為斜邊作RtACE，又BED=90°，則四邊形ABCD是矩形.試說明理由.答案:證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AC、BD互相平分.又BED、AEC是直角三角形，且BD、AC是斜邊， OE=BD，OE=AC.AC=BD. 平行四邊形ABCD是矩形.菱形1.如圖,已知菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,OEDC,交BC于點E,AD=6

7、 cm,則OE的長為( )A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm解析：OE是RtBOC的斜邊BC上的中線,故OE=BC=AD=3 cm. 答案:C2.順次連結(jié)矩形各邊中點所得的四邊形是( )A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形解析：連結(jié)矩形的兩條對角線，則相鄰兩邊中點的連線是三角形的中位線.由三角形的中位線等于第三邊的一半及矩形兩條對角線相等可得中點四邊形的各邊都相等，故順次連結(jié)矩形各邊中點所得的四邊形是菱形. 答案:C3.用兩個邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是( )A.等腰梯形 B.正方形 C.矩形 D.菱形解析：因為等邊三角形的三條邊都相等，所以用它拼成的四邊形的

8、四條邊都相等，而四條邊都相等的四邊形是菱形，因此選D. 答案:D4.菱形的一個內(nèi)角是120°，一條較短的對角線的長為10，則菱形的周長是_.解析：由菱形的鄰角互補，可知菱形的另一組內(nèi)角是60°，60°內(nèi)角所對的對角線是較短的.根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可推出菱形邊長是10，因此菱形周長是40. 答案:405.如圖所示,在菱形ABCD中,AC、BD相交于O,且ACBD=1,若AB=2.求菱形ABCD的面積.解：菱形兩對角線將其分割為四個全等的直角三角形.設AO=x,因為四邊形ABCD為菱形,所以AO=CO,BO=DO,ACBD.又因為AC

9、BD=1,所以AOBO=1,BO=.在RtABO中,因為AB2=BO2+AO2,所以AB2=()2+x2=22.所以x=1. 所以AO=1,BO=.所以AC=2,BD=.所以菱形的面積為×2×=.6.如圖,在RtABC中，ACB=90°，BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點E.又點F在DE的延長線上，且AF=CE.求證：四邊形ACEF是菱形.答案:證明：ACB=90°，DE是BC的中垂線， E為AB邊的中點. CE=AE=BE.BAC=60°， ACE為正三角形. 在AEF中，AEF=DEB=BAC=60°

10、，而AF=CE，又CE=AE, AE=AF. AEF也為正三角形. CAE=AEF=60°. ACEF.四邊形ACEF為平行四邊形. 又CE=AC，平行四邊形ACEF為菱形.7.如圖,在一張長12 cm、寬5 cm的矩形紙片內(nèi)，要折出一個菱形.李穎同學按照取兩組對邊中點的方法折出菱形EFGH（見方案一），張豐同學按照沿矩形的對角線AC折出CAE=DAC，ACF=ACB的方法得到菱形AECF（見方案二），請你通過計算，比較李穎同學和張豐同學的折法中，哪種菱形面積較大？解：（方案一）S菱形=S矩形-4SAEH=12×5-4××6×=30（cm2）.

11、（方案二）設BE=x，則CE=12-x, AE=. 因為四邊形AECF是菱形，則AE2=CE2,25+x2=(12-x)2. x=. S菱形=S矩形-2SABE=12×5-2××5×35.21(cm2).經(jīng)比較可知，(方案二)張豐同學所折的菱形面積較大.【重點知識鞏固】矩形1.如圖,矩形ABCG(ABBC)與矩形CDEF全等,點B、C、D在同一條直線上,APE的頂點P在線段BD上移動,使APE為直角的點P的個數(shù)是( )A.0 B.1 C.2 D.3解析：觀察易得只有一個,應選B. 答案:B2.如圖是一塊矩形ABCD的場地，長AB=102 m，寬AD=51

12、 m，從A、B兩處入口的中路寬都為1 m，兩小路會合處路寬為2 m，其余部分為草坪，則草坪面積為 ( )A.5 050 m2 B.4 900 m2 C.5 000 m2 D.4 998 m2解析：根據(jù)平移的性質(zhì)：平移不改變圖形的大小.本題可將兩側(cè)的草坪分別向中間平移1 m，向下平移1 m，三塊草坪拼成了一個長為100 m，寬為50 m的矩形，因此草坪的面積為100×50=5 000 m2. 答案:C3.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC、BD相交于點G,E為AD的中點,連結(jié)BE交AC于F,連結(jié)FD,若BFA=90°,則下列四對三角形:BEA與ACD;FED與DEB;CFD與

13、ABG;ADF與CFB.其中相似的為( )A. B. C. D.解析：由題意,根據(jù)三角形相似的判定方法知,是正確的. 答案:D4.如圖,矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果將該矩形沿對角線BD折疊，那么圖中陰影部分的面積是_.解析：求圖中陰影部分的面積，由三角形的面積公式S=×底×高，只需知道DE、AB即可.由折疊的特性可知DBC=DBC，由ADBC得ADB=DBC，因此DBC=ADB，故BE=DE.可設AE=x，則BE=4-x，在RtABE中，由勾股定理可得AB2+AE2=BE2，即32+x2=（4-x）2，解得x=，BE=.因此陰影部分的面積為.答案:5.如圖,矩形

14、ABCD的對角線相交于點O，OFBC，CEBD，OEBE=13，OF=4，求ADB的度數(shù)和BD的長.解：由矩形的性質(zhì)可知OD=OC. 又由OEBE=13可知E是OD的中點.又因為CEOD，根據(jù)三線合一可知OC=CD,即OC=CD=OD，即OCD是等邊三角形,故CDB=60°.所以ADB=30°. 又由矩形是軸對稱圖形得CD=2OF=8, 即BD=2OD=2CD=16.6.如圖,在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上的一點，AF的延長線交DC的延長線于G，DEAG于E，且DE=DC，根據(jù)上述條件，請你在圖中找出一對全等三角形，并證明你的結(jié)論.答案:證明：四邊形ABCD是矩形， ADB

15、C，DC=AB. DAE=AFB. DE=DC，DE=AB.DEAG，DEA=ABF=90°. ABFDEA.7.一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如圖（3）的形式，使點B、F、C、D在同一條直線上.（1）求證:ABED；（2）若PB=BC，請找出圖中與此條件有關的一對全等三角形，并給予證明.答案: (1)證明：由題意得A+B=90°，A=D，D+B=90°， ABED.（2）解:若PB=BC，則有RtABCRtDBP. B=B，A=D，PB=BC， RtABCRtDBP.注：(圖中與此條件有關的全等三角形還有如下幾對：RtAP

16、NRtDCN，RtDEFRtDBP，RtEPMRtBFM)8.現(xiàn)有一張長和寬之比為21的長方形紙片,將它折兩次(第一次折后也可打開鋪平再折第二次),使得折痕將紙片分為面積相等且不重疊的四個部分(稱為一次操作),如圖(虛線表示折痕).除圖外,請你再給出三種不同的操作,分別將折痕畫在圖至圖中(規(guī)定:一個操作得到的四個圖形,和另一個操作得到的四個圖形,如果能夠“配對”得到四組全等的圖形,那么就認為是相同的操作,如圖和圖表示相同的操作).解：如下圖中任意三個都可.菱形1.下列結(jié)論正確的是( )A.鄰角相等的四邊形是菱形 B.有一組鄰邊相等的四邊形是菱形C.對角線互相垂直的四邊形是菱形 D.對角線互相垂

17、直平分的四邊形是菱形解析：根據(jù)菱形的判定定理:對角線互相垂直平分的四邊形是菱形. 答案:D2.菱形的周長為32 cm,一個角的度數(shù)是60°,則兩條對角線的長分別是( )A.8 cm和 cm B.4 cm和 cm C.8 cm和 cm D.4 cm和 cm解析：因菱形四邊相等,所以每邊都為8,其對角線平分一組對角,根據(jù)一個角是60°,可求得. 答案:C3.在平面上,一個菱形繞它的中心旋轉(zhuǎn),使它和原來的菱形重合,那么旋轉(zhuǎn)的角度至少是( )A.90° B.180° C.270° D.360°解析：由菱形為中心對稱圖形可知B正確. 答案:B4

18、.在菱形ABCD中,AEBC,AFCD,垂足為E、F,且BE=EC,CF=FD,則AEF等于( )A.120° B.45° C.60° D.150°解析：因為AE垂直平分BC,所以AB=AC. 又因為AB=BC, 所以ABC為等邊三角形.BAC=60°,EAC=30°. 同理可證FAC=30°,AEF是等邊三角形,所以AEF=60°. 答案:C5.如圖,在菱形ABCD中,ABC=60°,AC=4,BD的長為( )A. B. C. D.8解析：ABCD為菱形,AB=BC. 又ABC=60°,ABC

19、為等邊三角形.AB=BC=AC=4,ABO=30°,AOB=90°. 在AOB中,OB=.BD=BO+OD=. 答案:B6.如圖,在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形EFGH為菱形，并說明理由.解：添加條件：對角線相等. 理由：連結(jié)AC、BD.在ABC中， AE=BE，BF=CF，EF為ABC的中位線.EF=.同理可得FG=，GH=，HE=.又AC=BD（添加條件）, EF=FG=GH=HE. 故四邊形EFGH為菱形.7.如圖,已知過平行四邊形ABCD的對角線交點O作互相垂直的兩條直線EG、FH與平行四邊形ABCD各

20、邊分別相交于點E、F、G、H.求證：四邊形EFGH是菱形.答案:證明：在ABCD中，OD=OB，OA=OC，ABCD， OBG=ODE. 又BOG=DOE，OBGODE. OE=OG. 同理OF=OH. 四邊形EFGH是平行四邊形.又EGFH，四邊形EFGH是菱形.8.北京101中學的學生為迎接2008年奧運會,美化校園,在周長為12 m,夾角為60°的菱形花壇里栽十株花.試證明:不論如何安排,至少有兩株花的距離小于 m.答案:證明：如圖,把菱形花壇分成9個菱形,由此可得至少有一個小菱形里要栽兩株花,因為小菱形的對角線長為 m,所以至少有兩株花的距離小于 m.9.如圖,已知平行四邊形

21、ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于E、F.求證:四邊形AFCE是菱形.答案:證明：EF垂直平分AC, EFAC,AO=CO. 四邊形ABCD為平行四邊形,ADBC.AEO=CFO.AOECOF. OE=OF. 四邊形AECF是平行四邊形. 又ACEF, 四邊形AFCE是菱形.【課后強化練習】矩形1.矩形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是( )A.對角線互相平分 B.鄰角互補 C.對角線相等 D.對角相等 答案:C2.在數(shù)學活動課上，老師和同學們判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是某合作學習小組的4位同學擬定的方案，其中正確的是( )A.測量對角線是否相互平分 B.測量兩組對邊是否分別相等C.測量一組對角是否都