傳染病的數(shù)學模型

1、傳染病模型詳解2.2.2 經(jīng)典模型 經(jīng)典的傳播模型大致將人群分為傳播態(tài)，易感染態(tài)和免疫態(tài)。態(tài)表示該個體帶有病毒或謠言的傳播能力，一旦接觸到易感染個體就會以一定概率導致對方成為傳播態(tài)。表示該個體沒有接觸過病毒或謠言，容易被傳播態(tài)個體感染。R 表示當經(jīng)過一個或多個感染周期后，該個體永遠不再被感染。 模型考慮了最簡單的情況，即一個個體被感染，就永遠成為感染態(tài)，向周圍鄰居不斷傳播病毒或謠言等。假設(shè)個體接觸感染的概率為，總?cè)藬?shù)為 N，在各狀態(tài)均勻混合網(wǎng)絡(luò)中建立傳播模型如下： 從而得到 對此方程進行求解可得：( = 可見，起初絕大部分的個體為態(tài)，任何一個態(tài)個體都會遇到態(tài)個體并且傳染給對方，網(wǎng)絡(luò)中的態(tài)個數(shù)隨

2、時間成指數(shù)增長。與此同時，隨著態(tài)個體的減少，網(wǎng)絡(luò)中態(tài)個數(shù)達到飽和，逐漸網(wǎng)絡(luò)中個體全部成為態(tài)。 然而在現(xiàn)實世界中，個體不可能一直都處于傳播態(tài)。有些節(jié)點會因為傳播的能力和意愿的下降，從而自動轉(zhuǎn)變?yōu)橛啦粋鞑サ膽B(tài)。而有些節(jié)點可能會從態(tài)轉(zhuǎn)變態(tài)，因此簡單的模型就不能滿足節(jié)點具有自愈能力的現(xiàn)實需求，因而出現(xiàn)模型和模型。是研究復雜網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的經(jīng)典的模型。采用與病毒傳播相似的過程中的，態(tài)代表傳播過程中的三種狀態(tài)。Zanetee，Moreno 先后研究了小世界傳播過程中的謠言傳播。Moreno 等人將人群分為（傳播謠言）、（沒有聽到謠言），（對謠言不再相信也不傳播）。 假設(shè)沒有聽到謠言個體與個體接觸，以概率變?yōu)?/p>

3、個體，個體遇到個體或個體以概率變?yōu)?，如圖 2.9 所示。建立的平均場方程： 與之前人得到的均勻網(wǎng)絡(luò)的病毒傳播的結(jié)論相反，謠言在均勻網(wǎng)絡(luò)中傳播沒有閾值。 Moreno 等人將此模型推廣到冪率分布的網(wǎng)絡(luò)，考察了態(tài)的穩(wěn)定值和耗散時間，得出 R態(tài)穩(wěn)定值與感染概率有著緊密聯(lián)系，而與傳播源的度無關(guān)。這與一般意義下的病毒傳播的結(jié)論“傳播各狀態(tài)的密度與傳染源節(jié)點的度緊密相連”有很大不同。 SIS 模型與 SIS 模型的區(qū)別就在于節(jié)點成為傳播態(tài)之后的恢復的狀態(tài)不同。在 SIR 模型中，傳播態(tài)節(jié)點在傳播過程中會根據(jù)概率成為免疫狀態(tài)，而在 SIS 模型中每一個傳播節(jié)點會以恒值成為 I 態(tài)，如圖 2.10。 從而得到

4、 SIS 模型的微分方程： 化簡得到： 從而得到其穩(wěn)態(tài)值為。若，那么指數(shù)下降區(qū)域零，意味著謠言不再擴散。 在這之后，許多學者在這些經(jīng)典模型的基礎(chǔ)上提出了改進的模型。如周苗苗等人在經(jīng) 謠模型的基礎(chǔ)上研究了社會網(wǎng)絡(luò)上的謠言傳播并構(gòu)建了數(shù)學模型，得出了最終集合 As 的期望值的相關(guān)結(jié)論。孫慶山等人在經(jīng)典和模型的基礎(chǔ)上，研究了社會網(wǎng)絡(luò)的謠言傳播，首次將信息的吸引力作為傳播因素引入傳播模型中。Vespignani 提出了網(wǎng)絡(luò)動力學傳播模型，詳盡分析了單種群中的動力學過程31。這些模型有的已經(jīng)擺脫了平均場方程的表達傳播過程方法，采用元胞自動機以及隨機過程的方法表達，但是思想仍是采用 SIR 這樣的傳播狀態(tài)

5、和規(guī)則。 國內(nèi)外關(guān)于建立網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型方面和網(wǎng)絡(luò)免疫策略方面的研究已取得了一些有益進展。Zanette D H率先在小世界網(wǎng)絡(luò)上建立謠言傳播模型。Moreno Y等人在無標度網(wǎng)絡(luò)上建立了謠言傳播模型，通過隨機分析方法以及計算機仿真得出結(jié)論。文獻利用構(gòu)建改進的 Potts 自旋系統(tǒng)來量化謠言傳播因素并建立起基于 Potts 謠言傳播模型。元胞自動機作為研究傳播的方法之一也取得了較多成果。宣慧玉和張發(fā)利用元胞自動機研究了謠言在個體之間流傳的的局部交互的過程。劉常昱等人利用元胞自動機和 Agent 設(shè)計個體的局部相互作用規(guī)則來研究了基于小世界模型構(gòu)建的人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中的輿論傳播。除此以外，人們發(fā)現(xiàn)謠

6、言傳播與網(wǎng)絡(luò)的拓撲性質(zhì)也有著密切的聯(lián)系，汪小帆團隊發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)對傳播的影響并給出了相應抑制謠言的策略。 針對各種謠言傳播模型的免疫干擾研究也是相對比較成熟。免疫策略可分為隨機免疫，熟人免疫和目標免疫。隨機免疫方法就是完全隨機的選取網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點進行免疫。但在無標度網(wǎng)絡(luò)中使用隨機免疫策略的話，幾乎要對網(wǎng)絡(luò)中所有的節(jié)點進行免疫才可能使謠言不得擴散出去。相對隨機免疫的缺陷，目標免疫通過去除網(wǎng)絡(luò)中少量度大的節(jié)點的連邊，切斷傳播的途徑來降低謠言的散步范圍就更有實際意義，。雖然目標免疫的效果比較明顯，但是要是想目標免疫能夠發(fā)揮威力就必須知道網(wǎng)絡(luò)的全局信息從而選擇目標節(jié)點，而在龐大且復雜的社會網(wǎng)絡(luò)中獲取

7、全局信息是難以做到的。熟人免疫策略巧妙的回避了這一點，它從 N 個節(jié)點中隨機選取一部分節(jié)點，在從每個一個被選出來的節(jié)點中隨機選取一個鄰居節(jié)點進行免疫。但是熟人免疫也存在著局限性，比如隨機選取的節(jié)點可能會擁有部分共同好友，就會導致免疫的重復和浪費，因此，免疫策略的進一步研究離不開對網(wǎng)絡(luò)深層次拓撲特征的探索。近年來網(wǎng)絡(luò)中重要節(jié)點排序和衡量取得很大的突破，如基于 Pagerank 的重要節(jié)點算法以及 K-核算法的提出為網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的進一步研究打下了堅實的基礎(chǔ)。 雖然 SIR 傳播模型在許多網(wǎng)絡(luò)中得到了擴展和研究，也是當前研究的熱點，然而卻不能準確的表達當前在線社交網(wǎng)絡(luò)的傳播現(xiàn)實，如謠言傳播過程中的從

8、眾性、傳播意愿的累積性等，因此根據(jù)傳播關(guān)鍵因素建立合理的傳播模型是當前研究的重點。第四章 基于 SIR 改進的 SHKR 謠言傳播模型4.1 問題描述與建模4.1.1 問題描述 在 SNS 中，當一個好友發(fā)布了某消息，好友往往就會以一定的概率將此消息傳播出去。若該好友對其內(nèi)容不具有傳播意愿則成為知道謠言但不會傳播的人；若該好友對這則內(nèi)容相信或感興趣則會分享，那么此好友就成為傳播者；有部分好友，一開始不相信，后來在周圍好友多次的傳播分享下，意愿受到強化而成為傳播者也是很常見的。 考慮到以上的傳播規(guī)則，本文對傳統(tǒng)的謠言傳播模型將人群分為傳播，免疫和未感染三類進行了改進。我們把網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點分為傳播節(jié)

9、點 S，健康節(jié)點 H，知道謠言但不傳播的節(jié)點 K，免疫節(jié)點 R 四種狀態(tài)。 傳播節(jié)點表示該節(jié)點接受信息并具有傳播能力的節(jié)點。健康節(jié)點表示沒有接觸到謠言的節(jié)點，對謠言處于未知狀態(tài)。知道信息但不傳播的節(jié)點表示知道了謠言但對謠言沒有傳播的人。免疫節(jié)點表示永遠不會傳播謠言的人?？梢姡{言在傳播過程中，不僅與節(jié)點自身的狀態(tài)有關(guān)，也與節(jié)點的鄰居節(jié)點的狀態(tài)相關(guān)。傳播的規(guī)則如下，如圖 4.1 所示：（1）當謠言傳播節(jié)點與健康節(jié)點接觸時，健康節(jié)點以概率變?yōu)閭鞑ス?jié)點 S，以概率變?yōu)榻邮苤{言但不傳播的節(jié)點 K，以概率成為免疫者 R；（2）當謠言傳播節(jié)點與知道謠言但不傳播的節(jié)點接觸，作傳播節(jié)點則以概率變?yōu)閭鞑ス?jié)點。3

10、）傳播節(jié)點不會一直傳播謠言，會以速度v轉(zhuǎn)化為免疫者，v就為遺忘率。 在第二章提到，SIR 傳播模型雖然應用的比較廣研究也較多但是對于當前在線社交網(wǎng)絡(luò)的中的傳播現(xiàn)實卻不能準確的表達，如謠言傳播過程中的從眾性、傳播意愿的累積性等。此外，謠言傳播與病毒傳播明顯的區(qū)別就在于其多次傳播對節(jié)點的影響，這點在 MIT 斯隆管理學院的博士的實驗結(jié)果也得到了體現(xiàn)。斯隆管理學院的博士等在兩個不同網(wǎng)絡(luò)中，每個志愿者分別以郵件的方式邀請好友注冊論壇，如果好友完成了注冊即會以郵件的方式向他（她）的好友繼續(xù)發(fā)郵件邀請他們注冊論壇。在這次實驗中，網(wǎng)絡(luò)中的一個用戶往往會被其周圍的好友多次邀請而強化了其注冊的意愿。可見在謠言傳

11、播過程中，本來不傳播的節(jié)點受到社會強化作用變?yōu)閭鞑フ?，所以本文提出了一個新的狀態(tài)，即知道謠言不傳播的狀態(tài)且在一定的概率作用下會改變?yōu)閭鞑ス?jié)點。那么在這樣的傳播機制下，每個節(jié)點都會對謠言的傳播及相信與否做出自己的選擇，這更貼近現(xiàn)實的真實情況，因為并不是每個人聽到謠言都會傳播。則基于以上定義：（1）分別定義 H(t)，S(t)，K(t)，R(t)為健康者，傳播者，知道謠言但不傳播者和免疫者的比重。顯然 H(t)+ S(t)+K(t)+ R(t)=1。（2）在消息傳播過程中，不考慮人數(shù)的遷入遷出及出生和死亡，即總?cè)藬?shù)不隨時間的改變而改變。（3）假設(shè)總?cè)藬?shù)為 N。4.1.2 數(shù)學建模（1）健康者 H考

12、察到時間按內(nèi)各人數(shù)的變化情況：這段時間內(nèi)，健康者的人數(shù)增加了，而每個傳播者可以讓由健康者變?yōu)槠渌麪顟B(tài)的節(jié)點，則可列出滿足條件的方程： 兩邊同除，則得到微分方程： （2）免疫者 R 這段時間內(nèi)，免疫者增加的人數(shù)，每個傳播者可以讓成為免疫者，則可得到微分方程： （3）傳播者 S 這段時間內(nèi)，傳播者增加的人數(shù)為，健康者變?yōu)閭鞑フ叩娜藬?shù)為)，傳播者變?yōu)槊庖哒叩娜藬?shù)為，知道謠言并不傳播者變?yōu)閭鞑フ叩娜藬?shù)為 ，則可得到微分方程為：( ) ö（4）知道但不傳播謠言者 K 這段時間內(nèi)，增加的人數(shù)為，而健康者變?yōu)橹赖粋鞑フ叩娜藬?shù)為， 而 知 道 謠 言 但 不 傳 播 者 在 這 段 時 間 內(nèi) 變 為 傳 播 者 的 人 數(shù) 是，則得到微分方程為： ç聯(lián)立可得為微分方程組： 考慮到傳播節(jié)點和未感染節(jié)點之間不可能始終是均勻分布。因為考慮到網(wǎng)絡(luò)的拓撲性質(zhì)，將上述轉(zhuǎn)化為如下形式， 節(jié)點之間的連接概率不可忽視，