隨機(jī)變量及其分布(二)

1、2.1 隨機(jī)變量及其分布（二）連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)(Probability Density of Continuous Random Variable)連續(xù)隨機(jī)變量的一切可能取值充滿某個(gè)區(qū)間，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)有無窮不可列個(gè)實(shí)數(shù)，因此，描述連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布不能再用分布列的形式表示，而是改用概率密度函數(shù)表示。定義 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，如果存在實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)，使得對任意，有則稱為連續(xù)隨機(jī)變量，為連續(xù)分布，為的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。2.1.4.1密度函數(shù)的基本性質(zhì)（1）非負(fù)性：。（2）正則性：。以上兩條是判定一個(gè)函數(shù)是否為某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)的充要條件。2.1.4.2（

2、絕對）連續(xù)分布函數(shù)的基本性質(zhì)（1）在整個(gè)實(shí)數(shù)域上都連續(xù)。因?yàn)閷θ我恻c(diǎn)的增量，相應(yīng)的分布函數(shù)的增量有 （2）在的導(dǎo)數(shù)存在的點(diǎn)上，有 （至多有一個(gè)Lebesgue零測集除外） 是（累積）概率函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)是概率密度函數(shù)，由此稱為概率密度函數(shù)。（3）對應(yīng)的密度函數(shù)不唯一。因?yàn)樵谌舾牲c(diǎn)上改變密度函數(shù)的值并不影響分布函數(shù)的值。 例 當(dāng)隨機(jī)變量的密度函數(shù)分別為下面兩個(gè)函數(shù)時(shí) 有 可見兩函數(shù)在概率意義上是無差別的，在此稱函數(shù)是“幾乎處處相等”，其含義是：它們不相等處的點(diǎn)組成的集合的概率為零。2.1.4.3 連續(xù)隨機(jī)變量的性質(zhì)（1）連續(xù)隨機(jī)變量在上任意一點(diǎn)的概率恒為零，即或 （2）且，有2.1.4.4 分布函數(shù)

3、的分類（了解）根據(jù)實(shí)變函數(shù)論知識，定義在上的有屆非降函數(shù)，除了階梯函數(shù) ，絕對連續(xù)函數(shù)之外，還有一類所謂的奇異連續(xù)函數(shù)。由Lebesgue分解理論知，任何一個(gè)一元分布函數(shù)都具有如下形式的分解式：其中，分別為階梯函數(shù)，絕對連續(xù)函數(shù)，奇異連續(xù)函數(shù)，且。當(dāng)中至少有兩個(gè)不為零時(shí)，稱為混合分布函數(shù)。故分布函數(shù)有四類： 階梯函數(shù)，絕對連續(xù)函數(shù)，奇異連續(xù)函數(shù)，混合分布函數(shù)。例2.1.7（課堂練習(xí)）判定下面的函數(shù)是不是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 解 函數(shù)的圖形如右圖，很明顯的可以看出在實(shí)數(shù)域上，既不是階梯函數(shù)也不是連續(xù)函數(shù)，所以它是既不離散也不連續(xù)得分布。例2.1.8 已知隨機(jī)變量的密度函數(shù)為試求的分布函數(shù)。解

4、 （1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，（3）當(dāng)時(shí)，（4）當(dāng)時(shí)，所以，隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 這個(gè)分布被稱為辛普森分布或三角分布，其密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖形如下所示：例 某型號電子元件的壽命（以小時(shí)計(jì)）具有以下的概率密度函數(shù)現(xiàn)有一大批此種元件（各元件工作相互獨(dú)立），問（1） 任取1只，其壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？（2） 任取4只，4只壽命都大于1500小時(shí)的概率是多少？（3） 任取4只，4只中至少有一只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？（4） 若已知已知元件的壽命大于1500小時(shí)，則該元件的壽命大于2000小時(shí)的概率是多少？解 （1）（2）（3）（4）例 向區(qū)間上任意投點(diǎn)，用表示這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)這個(gè)點(diǎn)落在中任意小區(qū)間的概率與這個(gè)區(qū)間的長度成正比，而與小區(qū)間的位置無關(guān)，求隨機(jī)變量的分布函數(shù)和密度函數(shù)。解 （1）當(dāng)時(shí)，由于是不可能事件，所以 （2）當(dāng)時(shí)， （3）當(dāng)時(shí)，所以，隨機(jī)變量的分布函數(shù)為由連續(xù)分布函數(shù)的性質(zhì)知：故的分布函數(shù)為所以 （1）或時(shí)，（2）時(shí)，（3）和處，可以取任意值，一般就就近取值，這樣不會(huì)影響概率的計(jì)算，因?yàn)樗鼈兪菐缀跆幪幭嗟鹊拿芏群瘮?shù)。于是，隨機(jī)變量的密度函數(shù)為這個(gè)分布就是區(qū)間上的均勻分布(Uniform distribu