非線性及混沌的簡(jiǎn)介

1、“非線性”及“混沌”的簡(jiǎn)介陳鞏教授演講 許秀聰老師整理1950年出生於高雄，1968年成功中學(xué)畢業(yè)，1972年清華處所畢業(yè)，19741977美威斯康辛數(shù)學(xué)系，在兩所大學(xué)擔(dān)任助教、副教授，最後在德州一公立大學(xué)任教授。德州此大學(xué)人口數(shù)全美第五大，化學(xué)系最優(yōu)秀。長(zhǎng)年擔(dān)任學(xué)校教授，使自己心態(tài)永保年輕，看見各位很親切，覺得我是one of you。我先問各位一個(gè)問題：20世紀(jì)，基礎(chǔ)科學(xué)上最大的進(jìn)展在哪裡？請(qǐng)舉出四、五個(gè)學(xué)科來。一學(xué)生回答：生物科學(xué)發(fā)現(xiàn)DNA。另一學(xué)生回答：Computer的方法有一突破，故可將其從應(yīng)用科學(xué)放入基礎(chǔ)科學(xué)。再一學(xué)生指：量子力學(xué)雷射貢獻(xiàn)Quantium Mechanics。老師

2、指名：太空科學(xué)是應(yīng)用科學(xué)，而非應(yīng)用基礎(chǔ)科學(xué)。其他學(xué)生答：相對(duì)論Relativity。最後教授指出：Nonlinearity Sci. & chaos非線性及渾沌。這是再二十世紀(jì)才被人實(shí)際研究的，它和線性有何不同。舉例： 推廣至n個(gè)變?cè)嗤?其特性為 一實(shí)根，兩共軶須根 三實(shí)根 與線性有解則唯一，有所不同，一般非線性方程皆是多解。 一直到卡當(dāng)才針對(duì)三次方程式，將朋友的解法整理，而得三次公式解。（3）離散模型 an+1x0 故人口是指數(shù)成長(zhǎng)此為人口學(xué)的基本公式，為Malthusian（馬爾薩斯）law。但因社會(huì)資源有限，人口不可能無線增長(zhǎng)，故此公式須作修正。 人口損失使彼此人數(shù)過多所捵生

3、的衝突，故大致是相對(duì)兩者，約同於xn2量。此為改進(jìn)公式，稱為Modified Malthusian law此公式經(jīng)修正後，也通用其他族群，如池塘的魚量。針對(duì)次公式，作數(shù)學(xué)變化量降低的簡(jiǎn)化可以較輕鬆的代得多年後的人口數(shù)，但對(duì)魚群養(yǎng)殖者而言，尚須有長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的功能，才能做出建設(shè)性的有益處理。此種長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的研究菱程醫(yī)學(xué)們，被稱為動(dòng)力系統(tǒng)Dynamical System。上例所舉為離散模型Discrete，下面舉連續(xù)模型Continuous model。 （4）在繞行中，有可能各個(gè)行星排成一直線，使彼此間的吸引向心力太大，而使地球離開原本運(yùn)行軌道，故古代占星術(shù)會(huì)預(yù)言各行星排一線，則為世界末日降

4、臨。此類探討地球是否能擁保穩(wěn)定地繞臺(tái)揚(yáng)運(yùn)行，極為天文學(xué)的基本探究領(lǐng)域。譬如月球被一隕石撞離軌道，導(dǎo)致地球軌道偏離，此種長(zhǎng)期預(yù)測(cè)指出地球在太陽系中並非絕對(duì)安全。 再回頭談（3）離散模型雖說已有族群數(shù)的變動(dòng)公式，但其結(jié)果比想像複雜。譬如魚池養(yǎng)殖業(yè)，有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)在同樣飼養(yǎng)情形下，魚群數(shù)會(huì)在不同的時(shí)期有孑然不同的量，會(huì)週期地變多再變小。有時(shí)是二年一週期的變動(dòng)，有時(shí)右更為四年一週期，其因素並非是氣候等。這問題由Robert May接手，它當(dāng)初在理論分 析也看不出其道理，故交由電腦程式執(zhí)行此公式，看看所得結(jié)果。作此遞代，執(zhí)行一萬次左右，發(fā)現(xiàn)將最後一百次圖像顯示時(shí)，有二個(gè)遞代值，此即為二週期的變化。

5、再將a值改以較大的值代入，則出現(xiàn)四個(gè)遞代值，此即為週期為四的現(xiàn)象。A值再繼續(xù)增大，則為八個(gè)遞代值，而a值再繼續(xù)增大，則一值一分為二，直到遞代值成為密密麻麻的一片，則週期性被破解，成為chaos（渾沌型態(tài)生成）。 此為週期加倍成為chaos。這是很有明的例子，裡面使用的函數(shù)yn+1f（yn） 其中初始值y0R。此f（x）ax（1x）若改以f(x)a sinx作執(zhí)行，所 得圖形即為有趣，基本上仍是週期加倍的圖像（實(shí)驗(yàn)逼近而得）目前對(duì)次數(shù)尚未找出和其他數(shù)有任何關(guān)聯(lián)。不論f（x）ax（1x）或f(x)a sinx或其他函數(shù)，此值不變。它為Mitchell Feigentaum之constan

6、t。 Mitchell他曾拿自己做實(shí)驗(yàn)，希望打破一天24小時(shí)的成規(guī)，讓自己今天8點(diǎn)起床，明天延至10點(diǎn)起床，而且想東西喜歡邊走邊實(shí)驗(yàn)，看跟大自然的週期不同有何結(jié)果！因?yàn)樗@個(gè)實(shí)驗(yàn)不可能獲得任何結(jié)果，故引起老闆的不滿。就是這位奇特而聰明的研究者再物理上找出此一重要常數(shù)，但在數(shù)學(xué)上有粗淺證明，尚未做嚴(yán)格驗(yàn)證。 （有同學(xué)提問：似不宜稱為宇宙常數(shù)，應(yīng)即使在另一宇宙空間，此常數(shù)應(yīng)仍適用）繼續(xù)對(duì)圖像觀察，發(fā)現(xiàn)在密密麻麻中存在空白線，但若將此空白快加以放大，仍發(fā)現(xiàn)原本總突有同等模式，但電腦的近似取法無法完整呈現(xiàn)。即使有空白區(qū)塊，仍是chaos。此種比例尺具縮小，即是Fractal碎形學(xué)中

7、所說的縮小與原本同型。此Fractal除了數(shù)學(xué)的使用，亦可做多方應(yīng)用，如卡通片中的動(dòng)物皮毛或森林的數(shù)葉細(xì)部描繪，不是於人類手工執(zhí)行，就可用這種Fractal的技術(shù)去執(zhí)行，此為Fractal的實(shí)質(zhì)貢獻(xiàn)。 Feature of Chaos（Chaos的特質(zhì)）（1）有很多週期解（2）對(duì)初始條件非常敏感。 其意我們由一氣象學(xué)的例子來解釋。 有一氣象學(xué)的工作員很喜歡數(shù)學(xué)，在電腦出現(xiàn)後，亦寫一遞代方程式 以此遞代函數(shù)作長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，以掌控天氣狀況。在電腦的執(zhí)行幫助下，繪出氣象圖。有一回因它有一氣象問題要由電腦執(zhí)行，看其結(jié)果；執(zhí)行完畢後想再一遍，為節(jié)省時(shí)間，則執(zhí)行次數(shù)減為一半，發(fā)現(xiàn)此一更改使結(jié)果與前次

8、的結(jié)果大為不同。原因是它的輸入值有些為差異，如第一回31.25°第二回31°，則會(huì)使後面的誤差相當(dāng)大，而形成另一成型模式。這跟我們生活在物理世界中各個(gè)測(cè)量均存在有誤差，並不致產(chǎn)生太多影響有所不同。古典物理 輸入有些微差距輸出亦同非線性系統(tǒng) 輸入有些微差距輸出大大不同有一英文詩：因少了一根鐵釘，使馬蹄鐵壞了。 因馬蹄鐵壞，使馬兒死了。 因死了一匹馬，使騎訊騎兵陣亡。 因死了一傳訊騎兵，使這場(chǎng)戰(zhàn)役輸了。 因這場(chǎng)戰(zhàn)役打輸，國(guó)家也就滅亡了。這是非線性系統(tǒng)特有的連鎖變化，使節(jié)過出乎意料之外。故氣象學(xué)中蝴蝶的振翅，也許造就美國(guó)的一場(chǎng)颶風(fēng)。（3）若一模型有一週期為三的解，指f（x）y，f

9、（y）z，f（z）x 則任何週期的解它都存在。這是動(dòng)力系統(tǒng)中有名的Shakovskin Theorem. 底下是師生座談問題一電腦的近似取法，有些圖像並未抓到繪出，故在周期三的情形下，也有可能有些不夠穩(wěn)定的解夾雜其中，故也有無數(shù)多個(gè)可能的周期解，這就是被稱為渾沌的主因。問題二我曾字型看渾沌學(xué)的書籍，對(duì)其中有些介紹不能了解？另外，既然連牛頓力學(xué)等這些科學(xué)大師所提出的理論都具許多不穩(wěn)定因素，那麼學(xué)習(xí)是否有何價(jià)值？教授回答：須多找原文的渾沌書多方比較，才能對(duì)如此深?yuàn)W的理論內(nèi)容有所了解，而且連我久不教也會(huì)忘記。而所謂穩(wěn)定或不穩(wěn)定的判定，並非那麼淺顯。不要說是天體問題，光是三體問題太陽、地球、月亮能研究徹底，借可以在歷史上留名。老師回應(yīng)：在流體力學(xué)上，如果流速太快，則整個(gè)系統(tǒng)混亂，故也出現(xiàn)渾沌。這根數(shù)學(xué)的絕對(duì)性的強(qiáng)調(diào)似有不同，科學(xué)上的量測(cè)本有取有效數(shù)字的限制，所以對(duì)龐大的物質(zhì)體系本有許多發(fā)掘空間。就因?yàn)槿祟悓?duì)宇宙的不夠