數(shù)學(xué)建模微分方程的應(yīng)用舉例5

1、第八節(jié)數(shù)學(xué)建模一一微分方程的應(yīng)用舉例微分方程在物理學(xué)、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理科學(xué)等實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)我們將集中討論微分方程的實(shí)際應(yīng)用，讀者可從中感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的理論和方法解決實(shí)際問(wèn)題的魅力.內(nèi)容分布衰變問(wèn)題邏輯斯諦方程價(jià)格調(diào)整問(wèn)題人才分配問(wèn)題模型追跡問(wèn)題內(nèi)容要點(diǎn)：一、衰變問(wèn)題鐳、鈾等放射性元素因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質(zhì)量，這種現(xiàn)象稱(chēng)為放射性物質(zhì)的衰變.根據(jù)實(shí)3得知，衰變速度與現(xiàn)存物質(zhì)的質(zhì)量成正比，求放射性元素在時(shí)刻t的質(zhì)量.用x表示該放射性物質(zhì)在時(shí)刻t的質(zhì)量，則dx表示x在時(shí)刻t的衰變速度，于是“衰變dt速度與現(xiàn)存的質(zhì)量成正比”可表示為dx二-kx.（8.1）dt這是一個(gè)以

2、x為未知函數(shù)的一階方程，它就是放射性元素衰變的數(shù)學(xué)模型，其中kA0是比例常數(shù)，稱(chēng)為衰變常數(shù)，因元素的不同而異.方程右端的負(fù)號(hào)表示當(dāng)時(shí)間t增加時(shí)，質(zhì)量x減少.kt_kt解萬(wàn)程（8.1）得通解x=Ce.若已知當(dāng)t=t0時(shí)，x=%，代入通解x=Ce中可得C=xoekl0,則可得到方程（8.1）特解4(t4)x=x0e它反映了某種放射性元素衰變的規(guī)律.注：物理學(xué)中，我們稱(chēng)放射性物質(zhì)從最初的質(zhì)量到衰變?yōu)樵撡|(zhì)量自身的一半所花費(fèi)的時(shí)間為半衰期，不同物質(zhì)的半衰期差別極大.如鈾的普通同位素（238U）的半衰期約為50億年;通常的鐳（226Ra）的半衰期是1600年.半衰期是上述放射性物質(zhì)的特征，然而半衰期卻不依

3、賴(lài)于該物質(zhì)的初始量，一克226Ra衰變成半克所需要的時(shí)間與一噸226Ra衰變成半噸所需要的時(shí)間同樣都是1600年，正是這種事實(shí)才構(gòu)成了確定考古發(fā)現(xiàn)日期時(shí)使用的著名的碳-14測(cè)驗(yàn)的基礎(chǔ).二、邏輯斯諦（Logistic）方程：邏輯斯諦方程是一種在許多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型，下面我們借助樹(shù)的增長(zhǎng)來(lái)建立該模型.一棵小樹(shù)剛栽下去的時(shí)候長(zhǎng)得比較慢，漸漸地，小樹(shù)長(zhǎng)高了而且長(zhǎng)得越來(lái)越快，幾年不見(jiàn)，綠蔭底下已經(jīng)可乘涼了；但長(zhǎng)到某一高度后，它的生長(zhǎng)速度趨于穩(wěn)定，然后再慢慢降下來(lái).這一現(xiàn)象很具有普遍性.現(xiàn)在我們來(lái)建立這種現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.如果假設(shè)樹(shù)的生長(zhǎng)速度與它目前的高度成正比，則顯然不符合兩頭尤其是后期的生長(zhǎng)情

4、形，因?yàn)闃?shù)不可能越長(zhǎng)越快；但如果假設(shè)樹(shù)的生長(zhǎng)速度正比于最大高度與目前高度的差則又明顯不符合中間一段的生長(zhǎng)過(guò)程.折衷一下，我們假定它的生長(zhǎng)速度既與目前的高度又與最大高度與目前高度之差成正比.設(shè)樹(shù)生長(zhǎng)的最大高度為H(m),在t(年)時(shí)的高度為h(t),則有dh=kh(t)H-h(t)(8.2)dt其中k0是比例常數(shù).這個(gè)方程為L(zhǎng)ogistic方程.它是可分離變量的一階常數(shù)微分方程下面來(lái)求解方程(8.2).分離變量得dhh(H - h)=kdt,兩邊積分得或故所求通解為hT kdt,1-ln h -ln(H -h) =kt Ci, Hh 二 eH -hk H t 1cHe kHt)= C?e ,h(

5、t)=C2HekHt1 C2ekHt1 CeHt1.其中的CC=eJC1H0是正常數(shù).1c2函數(shù)h(t)的圖象稱(chēng)為L(zhǎng)ogistic曲線.圖8-8-1所示的是一條典型的Logistic曲線，由于它的形狀，一般也稱(chēng)為S曲線.可以看到，它基本符合我們描述的樹(shù)的生長(zhǎng)情形.另外還可以算得師=h.這說(shuō)明樹(shù)的生長(zhǎng)有一個(gè)限制，因此也稱(chēng)為限制性增長(zhǎng)模式(阻滯增長(zhǎng)模型)注：Logistic的中文音譯名是“邏輯斯諦”.“邏輯”在字典中的解釋是“客觀事物發(fā)展的規(guī)律性”，因此許多現(xiàn)象本質(zhì)上都符合這種S規(guī)律.除了生物種群的繁殖外，還有信息的傳播、新技術(shù)的推廣、傳染病的擴(kuò)散以及某些商品的銷(xiāo)售等.例如流感的傳染、在任其自然發(fā)

6、展(例如初期未引起人們注意)的階段，可以設(shè)想它的速度既正比于得病的人數(shù)又正比于未傳染到的人數(shù).開(kāi)始時(shí)患病的人不多因而傳染速度較慢；但隨著健康人與患者接觸，受傳染的人越來(lái)越多，傳染的速度也越來(lái)越快；最后，傳染速度自然而然地漸漸降低，因?yàn)橐呀?jīng)沒(méi)有多少人可被傳染了.下面舉兩個(gè)例子說(shuō)明邏輯斯諦的應(yīng)用.人口阻滯增長(zhǎng)模型1837年，荷蘭生物學(xué)家Verhulst提出一個(gè)人口模型(8.3)dyy(kby),y(to)=ydt其中k,b的稱(chēng)為生命系數(shù).我們不詳細(xì)討論這個(gè)模型，只提應(yīng)用它預(yù)測(cè)世界人口數(shù)的兩個(gè)有趣的結(jié)果有生態(tài)學(xué)家估計(jì)k的自然值是0.029.利用本世紀(jì)60年代世界人口年平均增長(zhǎng)率為2%以及1965年人

7、口總數(shù)33.4億這兩個(gè)數(shù)據(jù)，計(jì)算得b=2,從而估計(jì)得：(1)世界人口總數(shù)將趨于極限107.6億.(2)到2000年時(shí)世界人口總數(shù)為59.6億.后一個(gè)數(shù)字很接近2000年時(shí)的實(shí)際人口數(shù)，世界人口在1999年剛進(jìn)入60億.新產(chǎn)品的推廣模型設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場(chǎng)，t時(shí)刻的銷(xiāo)量為x(t),由于產(chǎn)品性能良dx好，每個(gè)產(chǎn)品都是一個(gè)宣傳品，因此，t時(shí)刻產(chǎn)品銷(xiāo)售的增長(zhǎng)率一與x(t)成正比，同時(shí)，考dt.dx慮到產(chǎn)品銷(xiāo)售存在一定的市場(chǎng)容量N,統(tǒng)計(jì)表明也與尚未購(gòu)買(mǎi)該產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量dtNx(t)也成正比，于是有(8.4)(8.5)dx=kx(N-x)dt其中k為比例系數(shù).分離變量積分，可以解得x(t)=Zk

8、NT1 Ce由qxi x的圖像知，當(dāng)x(t*) dt,dxN,0,即銷(xiāo)量x(t)單調(diào)增加.當(dāng)x(t)=一時(shí),dt2,2 d x* N-2- = 0;當(dāng) x(t ) 一 時(shí), 出222 2dx*Ndxx0;當(dāng)x(t)0,P0.當(dāng)供給量與需求量相等時(shí)，由(8.6)可得供求平衡時(shí)的價(jià)格并稱(chēng)為均衡價(jià)格.般地說(shuō)，當(dāng)某種商品供不應(yīng)求，即SQ時(shí)，該商品價(jià)格要落.因此，假設(shè)t時(shí)刻的價(jià)格P(t)的變化率與超額需求量Q-S成正比，于是有方程dP-_kQ(P)-S(P)dt其中k0,用來(lái)反映價(jià)格的調(diào)整速度.將(8.6)代入方程,可得dP一(Pe-P)(8.7)dt其中常數(shù)九=(b+p)k0,方程(8.7)的通解為P

9、(t)-FeCe。假設(shè)初始價(jià)格p(0)=Po,代入上式，得c=Po一Pe,于是上述價(jià)格調(diào)整模型的解為P(t)=Pe(Po-Pe)e-t由于九AO知，tT+8時(shí)，P(t)TPe.說(shuō)明隨著時(shí)間不斷推延，實(shí)際價(jià)格P(t)將逐漸趨近均衡價(jià)格.四、人才分配問(wèn)題模型每年大學(xué)畢業(yè)生中都要有一定比例的人員留在學(xué)校充實(shí)教師隊(duì)伍，其余人員將分配到國(guó)民經(jīng)濟(jì)其他部門(mén)從事經(jīng)濟(jì)和管理工作.設(shè)t年教師人數(shù)為x1(t),科學(xué)技術(shù)和管理人員數(shù)目為x2(t),又設(shè)1個(gè)教員每年平均培養(yǎng)個(gè)畢業(yè)生，每年從教育、科技和經(jīng)濟(jì)管理崗位退休、死亡或調(diào)出人員的比率為5(051),P表示每年大學(xué)生畢業(yè)生中從事教師職業(yè)所占比率(OP5,必有x(t)

10、T收而x2(t)T0,說(shuō)明教師隊(duì)伍將迅速增加.而科技和經(jīng)濟(jì)管理隊(duì)伍不斷萎縮，勢(shì)必要影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展，反過(guò)來(lái)也會(huì)影響教育的發(fā)展.如果將接近于零.則x(t)T0,同時(shí)也導(dǎo)致x2(t)T0,說(shuō)明如果不保證適當(dāng)比例的畢業(yè)生充實(shí)教師選擇好比率，將關(guān)系到兩支隊(duì)伍的建設(shè)，以及整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)的大局.五、追跡問(wèn)題設(shè)開(kāi)始時(shí)甲、乙水平距離為1單位，乙從A點(diǎn)沿垂直于OA的直線以等速向正北行走；甲從乙的左側(cè)O點(diǎn)出發(fā)，始終對(duì)準(zhǔn)乙以nv0(n1)的速度追趕.求追跡曲線方程，并問(wèn)乙行多遠(yuǎn)時(shí)，被甲追到.建立如圖8-8-2所示的坐標(biāo)系，設(shè)所求追跡曲線方程為y=y(x).經(jīng)過(guò)時(shí)刻t,甲在追跡曲線上的點(diǎn)為P(x, y),乙在點(diǎn)B(1,

11、vt).于是有tan -v0t - y(8.15)由題設(shè)，曲線的弧長(zhǎng)OP為J0J1+y2dx=nv0t,解出代入(8.15),得(1-x)y + y =3+ y心dx.兩邊對(duì)x求導(dǎo)，整理得.1。一x)y : n+ y .這就是追跡問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.這是一個(gè)不顯含y的可降階的方程，設(shè)y = p(x), yr= p，代入方程得兩邊積分，得ip nnP2dp dx1 p2 n(1 -x)ln( p 1p2)1-Inn|1 -x| ln |Ci |,p ,1 p2將初始條件y|xm= p|x田=0代入上式，得C1 =1.于_1_n 1 - x(8.16)兩邊同乘y,1 + y 2 ,并化簡(jiǎn)得y - . 1 y-n 1 - x,(8.17)(8.16)與(8.