數學建模微分方程的應用舉例5

1、第八節(jié)數學建模一一微分方程的應用舉例微分方程在物理學、力學、經濟學和管理科學等實際問題中具有廣泛的應用，本節(jié)我們將集中討論微分方程的實際應用，讀者可從中感受到應用數學建模的理論和方法解決實際問題的魅力.內容分布衰變問題邏輯斯諦方程價格調整問題人才分配問題模型追跡問題內容要點：一、衰變問題鐳、鈾等放射性元素因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質量，這種現(xiàn)象稱為放射性物質的衰變.根據實3得知，衰變速度與現(xiàn)存物質的質量成正比，求放射性元素在時刻t的質量.用x表示該放射性物質在時刻t的質量，則dx表示x在時刻t的衰變速度，于是“衰變dt速度與現(xiàn)存的質量成正比”可表示為dx二-kx.（8.1）dt這是一個以

2、x為未知函數的一階方程，它就是放射性元素衰變的數學模型，其中kA0是比例常數，稱為衰變常數，因元素的不同而異.方程右端的負號表示當時間t增加時，質量x減少.kt_kt解萬程（8.1）得通解x=Ce.若已知當t=t0時，x=%，代入通解x=Ce中可得C=xoekl0,則可得到方程（8.1）特解4(t4)x=x0e它反映了某種放射性元素衰變的規(guī)律.注：物理學中，我們稱放射性物質從最初的質量到衰變?yōu)樵撡|量自身的一半所花費的時間為半衰期，不同物質的半衰期差別極大.如鈾的普通同位素（238U）的半衰期約為50億年;通常的鐳（226Ra）的半衰期是1600年.半衰期是上述放射性物質的特征，然而半衰期卻不依

3、賴于該物質的初始量，一克226Ra衰變成半克所需要的時間與一噸226Ra衰變成半噸所需要的時間同樣都是1600年，正是這種事實才構成了確定考古發(fā)現(xiàn)日期時使用的著名的碳-14測驗的基礎.二、邏輯斯諦（Logistic）方程：邏輯斯諦方程是一種在許多領域有著廣泛應用的數學模型，下面我們借助樹的增長來建立該模型.一棵小樹剛栽下去的時候長得比較慢，漸漸地，小樹長高了而且長得越來越快，幾年不見，綠蔭底下已經可乘涼了；但長到某一高度后，它的生長速度趨于穩(wěn)定，然后再慢慢降下來.這一現(xiàn)象很具有普遍性.現(xiàn)在我們來建立這種現(xiàn)象的數學模型.如果假設樹的生長速度與它目前的高度成正比，則顯然不符合兩頭尤其是后期的生長情

4、形，因為樹不可能越長越快；但如果假設樹的生長速度正比于最大高度與目前高度的差則又明顯不符合中間一段的生長過程.折衷一下，我們假定它的生長速度既與目前的高度又與最大高度與目前高度之差成正比.設樹生長的最大高度為H(m),在t(年)時的高度為h(t),則有dh=kh(t)H-h(t)(8.2)dt其中k0是比例常數.這個方程為Logistic方程.它是可分離變量的一階常數微分方程下面來求解方程(8.2).分離變量得dhh(H - h)=kdt,兩邊積分得或故所求通解為hT kdt,1-ln h -ln(H -h) =kt Ci, Hh 二 eH -hk H t 1cHe kHt)= C?e ,h(

5、t)=C2HekHt1 C2ekHt1 CeHt1.其中的CC=eJC1H0是正常數.1c2函數h(t)的圖象稱為Logistic曲線.圖8-8-1所示的是一條典型的Logistic曲線，由于它的形狀，一般也稱為S曲線.可以看到，它基本符合我們描述的樹的生長情形.另外還可以算得師=h.這說明樹的生長有一個限制，因此也稱為限制性增長模式(阻滯增長模型)注：Logistic的中文音譯名是“邏輯斯諦”.“邏輯”在字典中的解釋是“客觀事物發(fā)展的規(guī)律性”，因此許多現(xiàn)象本質上都符合這種S規(guī)律.除了生物種群的繁殖外，還有信息的傳播、新技術的推廣、傳染病的擴散以及某些商品的銷售等.例如流感的傳染、在任其自然發(fā)

6、展(例如初期未引起人們注意)的階段，可以設想它的速度既正比于得病的人數又正比于未傳染到的人數.開始時患病的人不多因而傳染速度較慢；但隨著健康人與患者接觸，受傳染的人越來越多，傳染的速度也越來越快；最后，傳染速度自然而然地漸漸降低，因為已經沒有多少人可被傳染了.下面舉兩個例子說明邏輯斯諦的應用.人口阻滯增長模型1837年，荷蘭生物學家Verhulst提出一個人口模型(8.3)dyy(kby),y(to)=ydt其中k,b的稱為生命系數.我們不詳細討論這個模型，只提應用它預測世界人口數的兩個有趣的結果有生態(tài)學家估計k的自然值是0.029.利用本世紀60年代世界人口年平均增長率為2%以及1965年人

7、口總數33.4億這兩個數據，計算得b=2,從而估計得：(1)世界人口總數將趨于極限107.6億.(2)到2000年時世界人口總數為59.6億.后一個數字很接近2000年時的實際人口數，世界人口在1999年剛進入60億.新產品的推廣模型設有某種新產品要推向市場，t時刻的銷量為x(t),由于產品性能良dx好，每個產品都是一個宣傳品，因此，t時刻產品銷售的增長率一與x(t)成正比，同時，考dt.dx慮到產品銷售存在一定的市場容量N,統(tǒng)計表明也與尚未購買該產品的潛在顧客的數量dtNx(t)也成正比，于是有(8.4)(8.5)dx=kx(N-x)dt其中k為比例系數.分離變量積分，可以解得x(t)=Zk

8、NT1 Ce由qxi x的圖像知，當x(t*) dt,dxN,0,即銷量x(t)單調增加.當x(t)=一時,dt2,2 d x* N-2- = 0;當 x(t ) 一 時, 出222 2dx*Ndxx0;當x(t)0,P0.當供給量與需求量相等時，由(8.6)可得供求平衡時的價格并稱為均衡價格.般地說，當某種商品供不應求，即SQ時，該商品價格要落.因此，假設t時刻的價格P(t)的變化率與超額需求量Q-S成正比，于是有方程dP-_kQ(P)-S(P)dt其中k0,用來反映價格的調整速度.將(8.6)代入方程,可得dP一(Pe-P)(8.7)dt其中常數九=(b+p)k0,方程(8.7)的通解為P

9、(t)-FeCe。假設初始價格p(0)=Po,代入上式，得c=Po一Pe,于是上述價格調整模型的解為P(t)=Pe(Po-Pe)e-t由于九AO知，tT+8時，P(t)TPe.說明隨著時間不斷推延，實際價格P(t)將逐漸趨近均衡價格.四、人才分配問題模型每年大學畢業(yè)生中都要有一定比例的人員留在學校充實教師隊伍，其余人員將分配到國民經濟其他部門從事經濟和管理工作.設t年教師人數為x1(t),科學技術和管理人員數目為x2(t),又設1個教員每年平均培養(yǎng)個畢業(yè)生，每年從教育、科技和經濟管理崗位退休、死亡或調出人員的比率為5(051),P表示每年大學生畢業(yè)生中從事教師職業(yè)所占比率(OP5,必有x(t)

10、T收而x2(t)T0,說明教師隊伍將迅速增加.而科技和經濟管理隊伍不斷萎縮，勢必要影響經濟發(fā)展，反過來也會影響教育的發(fā)展.如果將接近于零.則x(t)T0,同時也導致x2(t)T0,說明如果不保證適當比例的畢業(yè)生充實教師選擇好比率，將關系到兩支隊伍的建設，以及整個國民經濟建設的大局.五、追跡問題設開始時甲、乙水平距離為1單位，乙從A點沿垂直于OA的直線以等速向正北行走；甲從乙的左側O點出發(fā)，始終對準乙以nv0(n1)的速度追趕.求追跡曲線方程，并問乙行多遠時，被甲追到.建立如圖8-8-2所示的坐標系，設所求追跡曲線方程為y=y(x).經過時刻t,甲在追跡曲線上的點為P(x, y),乙在點B(1,

11、vt).于是有tan -v0t - y(8.15)由題設，曲線的弧長OP為J0J1+y2dx=nv0t,解出代入(8.15),得(1-x)y + y =3+ y心dx.兩邊對x求導，整理得.1。一x)y : n+ y .這就是追跡問題的數學模型.這是一個不顯含y的可降階的方程，設y = p(x), yr= p，代入方程得兩邊積分，得ip nnP2dp dx1 p2 n(1 -x)ln( p 1p2)1-Inn|1 -x| ln |Ci |,p ,1 p2將初始條件y|xm= p|x田=0代入上式，得C1 =1.于_1_n 1 - x(8.16)兩邊同乘y,1 + y 2 ,并化簡得y - . 1 y-n 1 - x,(8.17)(8.16)與(8.