整式的乘法與因式分解知識點及例題

1、整式乘除與因式分解3.知識點（重點）1 .哥的運算性質(zhì)：aman=am+n（m、n為正整數(shù)）同底數(shù)哥相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.例：（一2a）2（3a2）3mn2 .a=amn（m、n為正整數(shù)）哥的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.例：（-a5）53.ab練習:(1) 5x322x y(4) yz 2y2z2(n為正整數(shù))積的乘方等于各因式乘方的積.例：(a2b)32.(2) 3ab ( 4b )(3) 3ab 2a(5) (2x2y)3 ( 4xy2)(6) -a3b 6a5b2c ( ac2)23m n4. a a = am n（aw0, m、n都是正整數(shù)，且 m>n）同底數(shù)騫相除，底數(shù)不變，

2、指數(shù)相減.例：(1) x8+x2(2) a4+a(3) (ab) 5+ ( ab) 2(5)(-b) 5+(-b)25 .零指數(shù)哥的概念：a0=1（aw0）任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)哥都等于l.例：若（2a3b）01成立，則a,b滿足什么條件?16 .負指數(shù)哥的概念：ap=ap（aw0,p是正整數(shù)）任何一個不等于零的數(shù)的-p（p是正整數(shù)）指數(shù)哥，等于這個數(shù)的p指數(shù)哥的倒數(shù).也可表不為：m(mw0, nw0, p為正整數(shù))7 .單項式的乘法法則:單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)哥分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.一212例：（1） 3a b 2a

3、bc -abc 38.單項式與多項式的乘法法則：13324(2) ( m n) (2m n) 2單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.22、221例：(1)2ab(5ab3ab)(2)(-ab2ab)-ab3222223(3)(-5mn)(2n3mn)(4)2(xyzxyz)xyz9.多項式與多項式的乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.例：(1)(1x)(0.6x)(2)(2xy)(xy)(3)(2mn)2練習：1.計算2x3(2xy)(1xy)3的結(jié)果是2.(3X108)X(4X104)=23,若

4、n為正整數(shù)，且x2n=3,則(3x3n)2的值為4.如果(anb.abm)3=a9b15,那么mn的值是1c5.a2(2a3a)=6.(4x2+6x8)(x2)=27. 2n(1+3mn2)=8,若k(2k-5)+2k(1-k)=32,貝Uk=9. (3x2)+(2x-3y)(2x5y)3y(4x5y)=10. 在(ax2+bx3)(x2lx+8)的結(jié)果中不含x3和x項，則a=_,b=_211. 一個長方體的長為(a+4)cm,寬為(a-3)cm,高為(a+5)cm,則它的表面積為,體積為。12. 一個長方形的長是10cm,寬比長少6cm,則它的面積是,若將長方形的長和都擴大了2cm,則面積增

5、大了。10 .單項式的除法法則：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)哥分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.例：(1)28x4y2+7x3y(2)-5a5b3c+15a4b(3)(2x2y)3(-7xy2)+14x4y311 .多項式除以單項式的法則：項除以這個(2) (5a3b 10a2b2 15ab3) ( 5ab)多項式除以單項式，先把這個多項式的每一單項式，再把所得的商相加.例：(1)(3x2y6xy)6xy練習：1.計算:3 4 2 3 xyz71 2 27x y ；c 23 2x y(3) 16a b3 2n 2(4) 4x y2xyn 3(5)

6、410921032.計算:315xy332331231,、2212(1)16xy-xy-xy；(2)-xy-xy2252225n121n.2例 2: (1) (x+6)2(2) (y-5)2(3) (-2x+5)n.n(3)-ab-ab-ab2453.計算:(2) 16 a54c32(1)4xyxy6yxxy；4.若(ax3my12)43x3y2n)=4x6y8,則a=,m=易錯點：在嘉的運算中，由于法則掌握不準出現(xiàn)錯誤；有關(guān)多項式的乘法計算出現(xiàn)錯誤；誤用同底數(shù)哥的除法法則；用單項式除以單項式法則或多項式除以單項式法則出錯；乘除混合運算順序出錯。12.乘法公式：平方差公式：(a+b)(ab)=

7、a2b2文字語言敘述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(ab)2=a2-2ab+b2文字語言敘述：兩個數(shù)的和(或差)的平方等于這兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍.例1:(1)(7+6x)(7-6x);(2)(3y+x)(x-3y);(3)(-m+2n)(-m-2n).練習：1、a54a23=。x(x，2)22(x2y)3(xy2)3=2、6a4b312a3b48a3b22a3b2)22,、223、x9y(x)；x2x35(x7)()213114、已知x5,那么x-3=;x=oxxx2 25、若9xmxy16y是一個

8、完全平方式，那么m的值是。3 2226、多項式xx,x2x1,xx2的公因式是。3x7、因式分解：8°272128、因式分解：4m2mnn。49、計算:0.13180.00480.0028。2210、xyxy(xy)A,貝UA=易錯點：錯誤的運用平方差公式和完全平方公式。13.因式分解(難點)因式分解的定義.把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解.掌握其定義應注意以下幾點：(1)分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；(2)因式分解必須是恒等變形；(3)因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.弄清因式分解與

9、整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系.因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.二、熟練掌握因式分解的常用方法.1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念；(2)提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：系數(shù)一各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母一一各項含有的相同字母；指數(shù)一一相同字母的最低次數(shù)；(3)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來檢驗是否漏項.（4）注意點：提取公因式后各因式應該是最簡形式，即分解到“底”；如果多項式的第一項的系數(shù)是

10、負的,一般要提出“”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的例：（1）8a3b212ab3c（2）75x3y535x15、方程 x 4x 0，的解是。y42、公式法運用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式：平方差公式：a2-b2=(a+b)(ab)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a22ab+b2=(ab)2例：(1)a2b20.25c2(2)9(ab)26(ba)142222222(3)ax4axy4xy(4)(xy)12(xy)z36z練習：2221、若x2(m3)x16是完全平方式，則m的值等于。2、xxm(xn)則m=n=3、2x3y2與12x6y的公因式

11、是4、若xmyn=(xy2)(xy2)(x2y4),則m=,n=。222242245、在多項式mn,ab,x4y,4s9t中，可以用平方差公式分解因式的有，其結(jié)果是。26、若x22(m3)x16是完全平方式，則m=。222004200520067、 x()x2(x2)(x)8、已知1xxxx0,則x.222229、若16(ab)2M25是完全平方式M=。10、x26x_(x3)2，x2_9(x3)2222211、若9x2ky2是完全平方式，則k=。12、若x24x4的值為0，則3x212x5的值是。22213、若xax15(x1)(x15)則a=。14、若xy4,xy6則xy_。易錯點：用提公

12、因式法分解因式時易出現(xiàn)漏項，丟系數(shù)或符號錯誤；分解因式不徹底。中考考點解讀：整式的乘除是初中數(shù)學的基礎(chǔ)，是中考的一個重點內(nèi)容.其考點主要涉及以下幾個方面：考點1、哥的有關(guān)運算例1.(2009年湘西)在下列運算中，計算正確的是()(A)a3a2a6(B)(a2)3a58242224(C)aaa(D)(ab)ab分析:哥的運算包括同底數(shù)哥的乘法運算、哥的乘方、積的乘方和同底數(shù)哥的除法運算.哥的運算是整式乘除運算的基礎(chǔ)，準確解決哥的有關(guān)運算的關(guān)鍵是熟練理解各種運算的法則解：根據(jù)同底數(shù)塞的乘法運算法則知a3a2a32a5,所以(A)錯；根據(jù)哥的乘方運算法則知(a2)3a23a6,所以(B)錯；根據(jù)同底

13、數(shù)塞的除法法則知a8a2a82a6,所以(C)錯；故選(D).例2.(2009年齊齊哈爾)已知10m2,10n3,則103m2n.分析：本題主要考查哥的運算性質(zhì)的靈活應用，可先逆用同底數(shù)塞的乘法法則amanamn,將指數(shù)相加化為哥相乘的形式，再逆用哥的乘方的法則(am)namn,將指數(shù)相乘轉(zhuǎn)化為哥的乘方的形式，然后代入求值即可.3m2n3m2nm.3n、232_斛：101010(10)(10)2372.考點2、整式的乘法運算例3.(2009年賀州)計算：(2a)(la31)=.4分析:本題主要考查單項式與多項式的乘法運算.計算時，按照法則將其轉(zhuǎn)化為單項式與單項式的乘法運算，注意符號的變化.13

14、1314斛：(2a)(-a1)=(2a)a(2a)1=a2a.442考點3、乘法公式.,._，、一2例4.(2009年山西省)計算：X3x1x2分析:運用多項式的乘法法則以及乘法公式進行運算，然后合并同類項解：x32x1x2=x26x9(x22xx2)22=x6x9x2xx2=9x7.3例5.(2009年寧夏)已知：abab1,化簡(a2)(b2)的結(jié)果是2分析：本題主要考查多項式與多項式的乘法運算.首先按照法則進行計算，然后靈活變形，使其出現(xiàn)(ab)與ab,以便求值.3一解：(a2)(b2)=ab2a2b4=ab2(ab)4=12-42.2考點4、利用整式運算求代數(shù)式的值例6.(2009年長

15、沙)先化簡，再求值：(ab)(ab)(ab)22a2,其中a3,b-.3分析：本題是一道綜合計算題，主要在于乘法公式的應用.解：(ab)(ab)(ab)22a2a2b2a22abb22a22ab11當a3,b2時，2ab23-233.考點5、整式的除法運算例7.(2009年廈門)計算：(2xy)(2x+y)+y(y6x)2x分析:本題的一道綜合計算題，首先要先算中括號內(nèi)的，注意乘法公式的使用，然后再進行整式的除法運算.解：(2xy)(2x+y)+y(y6x)2x=(4x2y2+y26xy)-2x=(4x26xy)-2x=2x-3y.考點6、定義新運算22例8.(2009年定西)在實數(shù)范圍內(nèi)定義

16、運算“，其法則為：abab，求方程(43)x24的解.分析:本題求解的關(guān)鍵是讀懂新的運算法則，觀察已知的等式aba2b2可知，在本題中“”定義的是平方差運算，即用“"前邊的數(shù)的平方減去"”后邊的數(shù)的平方.解：:aba2b2,(43)x(4232)x7x72x2.72x224.x225.x5.考點7、乘法公式例3(1)(2009年白銀市)當xay1時，代數(shù)式(xy)(xy)y2的值是(2)(2009年十堰市)已知：a+b=3,ab=2,求a2+b2的值.解析：問題(1)主要是對乘法的平方差公式的考查.原式=x2-y2+y2=x2=32=9.問題(2)考查了完全平方公式的變形應用，=(ab)2a22abb2,a2b2(ab)22ab32225說明：乘法公式應用極為廣泛，理解公式的本質(zhì)，把握公式的特征，熟練靈活地使用乘法公式，可以使運算變得簡單快捷，事半