基于奇異值分解的MVDR譜估計(jì)

1、現(xiàn)代信號(hào)處理 學(xué) 號(hào)： 小 組 組 長(zhǎng)： 小 組 成 員及分工：任 課 教 師： 教師所在學(xué)院： 信息工程學(xué)院2015年 11月論文題目基于奇異值分解的MVDR方法及其在信號(hào)頻率估計(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用摘要：本文主要是介紹和驗(yàn)證MVDR的算法，此算法應(yīng)用于信號(hào)頻率估計(jì)的領(lǐng)域中。我們通過使用經(jīng)典的MVDR算法驗(yàn)證算法的可行性，再通過引用了奇異值分解的思想對(duì)MVDR方法進(jìn)行了改進(jìn)，在驗(yàn)證這種改進(jìn)思想的方法可行性時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)基于這種奇異值分解的MVDR方法在信號(hào)頻率估計(jì)上具有提高檢測(cè)精度的特性，這也說(shuō)明了這種思想在應(yīng)用信號(hào)頻率估計(jì)時(shí)是可行的。關(guān)鍵詞：MVDR算法奇異值分解信號(hào)頻率估計(jì)論文題目（English）

2、MVDR method based on singular value decomposition and its application in signal frequency estimationAbstract:In this paper, the algorithm of MVDR is introduced, and the algorithm is applied to the field of signal frequency estimation. By using the classical MVDR algorithm to verify the feasibility o

3、f the algorithm, and then through the use of the idea of singular value decomposition to improve the MVDR method, in the verification of the feasibility of the method, we found that the MVDR method based on the singular value decomposition has the characteristics of improving the detection accuracy

4、in signal frequency estimation. It also shows that this idea is feasible in the application of signal frequency estimation.Key words: MVDR method Singular value decomposition Signal frequency estimation引言基于奇異值分解的特征提取算法在信號(hào)與圖像處理等方面有著廣泛的應(yīng)用，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者也對(duì)此進(jìn)行了大量的研究。奇異值分解在小波圖像邊緣檢測(cè)中的應(yīng)用，使得離散小波變換的全局尺度選擇更加容易。研究表明，

5、奇異值分解具有理想的去相關(guān)特性，基于奇異值分解的信號(hào)分析方法可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，較好的從背景噪聲中分離出有用信號(hào)的特征信息1。研究表明，基于奇異值分解的信號(hào)特征提取方法的關(guān)鍵在于奇異值特征階數(shù)的選擇，如何有效的選取特征值仍是一個(gè)有待研究的問題。在許多領(lǐng)域, 所研究的信號(hào)通常被認(rèn)為是具有各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào), 很難用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式去描述。隨機(jī)信號(hào)的功率譜能反映信號(hào)的頻率成分以及各成分的相對(duì)強(qiáng)弱, 能從頻域上揭示信號(hào)的節(jié)律, 是非確定性信號(hào)的重要特征。因此, 可采用給定的N 個(gè)樣本數(shù)據(jù)對(duì)相應(yīng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度進(jìn)行估計(jì),即功率譜估計(jì)(Power spectrum estimation)。

6、近年來(lái), 基于特征分解功率譜估計(jì)方法已經(jīng)在通信、雷達(dá)、導(dǎo)航、聲納、地震、射電天文和生物醫(yī)學(xué)工程等科技領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。MVDR (minimum variance distortion response)是J.Capon于1969年研究地震波的空間譜時(shí)提出的也稱為Capon譜。1971，Lacoss將該方法應(yīng)用于單一時(shí)間序列譜估計(jì), 并證明了該方法得出的估計(jì)是譜分量的最小方差無(wú)偏估計(jì), 其思想是將正弦過程看成是頻率未知的確定信號(hào), 使該信號(hào)通過一個(gè)FIR系統(tǒng),而噪聲被盡量抑制, 該方法在自動(dòng)語(yǔ)音識(shí)別(ASR)等領(lǐng)域已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用2。1997 年ManoharN.Murthi和Bhasker

7、D.Rao 首次將其應(yīng)用到語(yǔ)音信號(hào)的譜包絡(luò)估計(jì)中, 解決了LP譜對(duì)基音周期較高的濁音信號(hào)的頻譜估計(jì)不準(zhǔn)的問題。和LP譜及FFT能量譜相比, MVDR譜具有更小的方差, 并且在保留語(yǔ)義信息的同時(shí)對(duì)說(shuō)話人信息有一定的抑制作用, 這一特點(diǎn)令基于MVDR譜的MFCC（美爾頻率倒譜系數(shù)）參數(shù)比傳統(tǒng)的MFCC參數(shù)更加適合于關(guān)鍵詞檢出。（基于最小方差無(wú)失真響應(yīng)譜的語(yǔ)音特征提?。┯捎谄娈愔捣纸獾奶卣魈崛》椒☉?yīng)用的領(lǐng)域越來(lái)越廣闊，本文提出了一種將奇異值分解的思想應(yīng)用到MVDR信號(hào)頻率譜估計(jì)的算法，這種基于奇異值分解的MVDR算法與經(jīng)典的MVDR算法相比較，具有明顯提高精度的優(yōu)點(diǎn)。在與經(jīng)典的算法對(duì)比中，我們將觀測(cè)

8、矩陣進(jìn)行了修改，從而將譜估計(jì)的推導(dǎo)公式也進(jìn)行了改變。通過實(shí)驗(yàn)仿真和驗(yàn)證，可以證明我們的這種方法是具有可行性的。第一章 相關(guān)知識(shí)及算法流程1.1名詞解釋MVDR的信號(hào)頻率譜估計(jì)算法的英文全稱是Minimum Variance Distortionless Response，中文全稱是最小方差無(wú)失真響應(yīng)，通常應(yīng)用于信號(hào)頻率估計(jì)。奇異值分解在某些方面與對(duì)稱矩陣或Hermite矩陣基于特征向量的對(duì)角化類似。然而這兩種矩陣分解盡管有其相關(guān)性，但還是有明顯的不同。對(duì)稱陣特征向量分解的基礎(chǔ)是譜分析，而奇異值分解則是譜分析理論在任意矩陣上的推廣。1.2奇異值分解的知識(shí)介紹1.2.1酉矩陣的定義定義：設(shè)，若滿足

9、，則稱矩陣為酉矩陣。1.2.2奇異值的定義定義：設(shè)，且。又設(shè)的特征值為 式2-1則稱為的奇異值。1.2.3矩陣的奇異值分解定理定理：設(shè)，且，則存在階酉矩陣和階酉矩陣，使得 ， 式2-2其中而為的正奇異值。將式2-2改寫為 ， 式2-3則稱式2-3為矩陣的奇異值分解。1.2.4矩陣的奇異值分解定理的證明證：記的特征值如式2-1所示，由于是Hermite矩陣，所以存在階酉矩陣，使得 式2-4將分塊為 ， 式2-5將式2-5帶入式2-4中，可得 ， 式2-6于是進(jìn)一步進(jìn)行化簡(jiǎn)可得 。 式2-7記,由上式知，即的個(gè)列向量是兩兩正交的單位向量，取，使得為階酉矩陣，即有，則有 。 式2-8至此，也就證明出

10、一個(gè)任意的階方陣一定會(huì)有其對(duì)應(yīng)的奇異值分解。1.3 MVDR譜估計(jì)知識(shí)介紹1.3.1 MVDR譜估計(jì)方法中常用到的標(biāo)量函數(shù)關(guān)于向量的梯度公式 式2-91.3.2 MVDR濾波器原理考慮有個(gè)權(quán)系數(shù)（抽頭）的橫向?yàn)V波器（transversal filter）(或稱FIR濾波器)，如下圖2-1所示。濾波器的輸入為隨機(jī)過程，輸出為 式2-10其中，表示橫向?yàn)V波器的權(quán)系數(shù)。定義輸入信號(hào)向量和權(quán)向量分別為則輸出可表示為 式2-11信號(hào)的平均功率可以表示為 式2-12其中，矩陣為向量的維自相關(guān)矩陣，即 式2-13圖2-1 抽頭的FIR濾波器假設(shè)濾波器輸入信號(hào)是復(fù)正弦信號(hào)加白噪聲，為 式2-14其中，是加性白

11、噪聲，和分別是第個(gè)信號(hào)復(fù)幅度和角頻率。復(fù)幅度包含了正弦信號(hào)的振幅和初始相位。設(shè)感興趣的期望信號(hào)是角頻率為的復(fù)正弦信號(hào)，則選擇濾波器權(quán)向量應(yīng)該遵循的原則是，使復(fù)正弦信號(hào)無(wú)失真地通過濾波器，而盡量抑制其余頻率的信號(hào)和噪聲。設(shè)信號(hào)通過濾波器的響應(yīng)為，則應(yīng)為 式2-15定義向量 式2-16則 式2-17所以，當(dāng)權(quán)向量滿足時(shí)，可使復(fù)正弦信號(hào)無(wú)失真地通過濾波器。同時(shí)考慮到要使其他復(fù)正弦信號(hào)和噪聲盡量被抑制，濾波器權(quán)向量應(yīng)滿足：（1）約束，這是為了使無(wú)失真地通過濾波器。（2）輸出平均功率最小，達(dá)到抑制其他頻率信號(hào)和噪聲的目的。在上面的討論中，假定了感興趣的期望信號(hào)頻率為。考慮更一般的情況，設(shè)期望無(wú)失真通過系

12、統(tǒng)的信號(hào)頻率為，且令，此時(shí)，濾波器權(quán)向量應(yīng)滿足 式2-18這是一個(gè)條件極值問題，應(yīng)用拉格朗日乘子法，構(gòu)造代價(jià)函數(shù)為 式2-19求梯度并令梯度，根據(jù)梯度的預(yù)備知識(shí)式2-9，可得 式2-20考慮到相關(guān)矩陣是非奇異的，所以有 式2-21將上式代入到約束條件中，并考慮的共軛對(duì)稱性，可解得 式2-22于是，滿足式2-18的最優(yōu)權(quán)向量為 式2-23此時(shí)，將式2-23代入式2-12，得濾波器的最小輸出功率為 式2-24注意，是正實(shí)數(shù)。在上面的推導(dǎo)中，假設(shè)可以得到理想的信號(hào)相關(guān)矩陣，而在工程實(shí)際中，通常采用個(gè)觀測(cè)樣本值得到相關(guān)矩陣的估計(jì)。因此，用替換，則最優(yōu)權(quán)向量的估計(jì)可以表示為 式2-25而MVDR譜估計(jì)為

13、 式2-26在內(nèi)改變，畫出曲線。在處，信號(hào)和噪聲都被濾波器抑制，曲線會(huì)出現(xiàn)很低的幅度；而當(dāng)時(shí)，頻率為的信號(hào)可以無(wú)失真地通過，因此曲線呈現(xiàn)出一個(gè)波峰。在上面MVDR信號(hào)頻率估計(jì)方法的推導(dǎo)中，為了敘述方便，引入了圖2-1的濾波器結(jié)構(gòu)，在實(shí)際進(jìn)行信號(hào)頻率估計(jì)時(shí)，無(wú)需構(gòu)建濾波器，而直接計(jì)算式2-26就可以了。1.3.3MVDR信號(hào)頻率估計(jì)算法流程MVDR信號(hào)頻率估計(jì)算法的操作步驟如下：步驟一：由的個(gè)觀測(cè)樣本估計(jì)樣本相關(guān)矩陣。步驟二：在內(nèi)改變，畫出的曲線，峰值位置對(duì)應(yīng)的就是信號(hào)角頻率的相對(duì)強(qiáng)度?；谄娈愔捣纸獾腗VDR信號(hào)頻率估計(jì)算法的操作步驟如下：步驟一：由觀測(cè)信號(hào)構(gòu)建觀測(cè)矩陣，其中觀測(cè)矩陣，并值得說(shuō)

14、明的是該矩陣中的每一個(gè)元素均為一個(gè)維的列向量。步驟二：對(duì)觀測(cè)矩陣進(jìn)行奇異值分解，得到對(duì)應(yīng)的左奇異向量、奇異值矩陣及右奇異向量。步驟三：在內(nèi)改變，并計(jì)算出中對(duì)應(yīng)需求的數(shù)值，從而繪制出基于奇異值分解的MVDR信號(hào)頻率估計(jì)算法的曲線。第二章 數(shù)據(jù)結(jié)果展示及分析2.1 課題題目概述及要求假設(shè)觀測(cè)信號(hào)為其中，為零均值、方差的高斯白噪聲，歸一化頻率分別是和，是相互獨(dú)立并服從均勻分布的隨機(jī)相位。3個(gè)復(fù)正弦信號(hào)的信噪比分別為和。假設(shè)信號(hào)樣本數(shù)為1000，F(xiàn)IR濾波器的抽頭個(gè)數(shù)為4。請(qǐng)使用基于奇異值分解的MVDR方法進(jìn)行信號(hào)頻率估計(jì)的仿真實(shí)驗(yàn)，獲得功率譜密度函數(shù)的估計(jì)。2.2程序流程圖圖3.1 基于奇異值分解的

15、MVDR算法程序流程圖2.3基于課題的研究仿真及結(jié)果通過選取濾波器權(quán)系數(shù)個(gè)數(shù)M，在內(nèi)均勻選取2048個(gè)頻率點(diǎn)，用MVDR頻率估計(jì)算法和基于奇異值分解的MVDR方法畫出估計(jì)的MVDR功率譜。（a）M=4時(shí)MVDR譜（b）M=4時(shí)svd的MVDR譜圖3.2 抽頭系數(shù)為4時(shí)，兩種算法的信號(hào)頻率估計(jì)圖當(dāng)我們按照測(cè)試函數(shù)題目中的要求選取M=4時(shí)，兩種方法畫出的MVDR譜如圖3.2所示?？梢钥闯?，兩種方法的MVDR信號(hào)的頻率估計(jì)分辨率效果很類似，只能夠檢測(cè)分辨出兩個(gè)波峰。而從測(cè)試函數(shù)中對(duì)比，我們知道這樣的分辨率是不符合要求的，理論數(shù)據(jù)中包含有三個(gè)正弦波，檢測(cè)卻只有兩個(gè)。（a）M=10時(shí)MVDR譜（b）M=

16、10時(shí)svd的MVDR譜圖3.3抽頭系數(shù)為10時(shí)，兩種算法的信號(hào)頻率估計(jì)圖從第一組圖樣結(jié)果不合理的結(jié)論中，我們對(duì)濾波器的權(quán)向量階數(shù)進(jìn)行修改。這組圖樣我們是采用改變?yōu)V波器的權(quán)向量階數(shù)進(jìn)行仿真得到的，階數(shù)取值的依據(jù)有兩個(gè)要求： 1、基于奇異值的MVDR算法能夠檢測(cè)出3個(gè)正弦信號(hào)時(shí)的最小濾波器權(quán)向量階數(shù)。 2、采用同階數(shù)的濾波器，比較兩種算法的檢測(cè)效果。 當(dāng)濾波器權(quán)向量階數(shù)M=10時(shí)，基于奇異值分解的MVDR信號(hào)頻率估計(jì)的算法能夠檢測(cè)出三個(gè)波峰，兩種方法繪制出的MVDR譜如圖3.3所示。通過波形分析得出，兩種方法的MVDR譜分辨率出現(xiàn)了不同。用經(jīng)典MVDR頻率估計(jì)算法畫出的波形仍然只能分辨出兩個(gè)波峰

17、，而用奇異值分解的MVDR方法畫出的波形可以分辨出三個(gè)波峰。這也就說(shuō)明了基于奇異值分解的MVDR算法檢測(cè)出被污染的測(cè)試信號(hào)中的所有期望信號(hào)的頻率。（a）M=18時(shí)MVDR譜（b）M=10時(shí)svd的MVDR譜圖3.4兩種算法均檢測(cè)出被污染信號(hào)中全部期望信號(hào)頻率時(shí)估計(jì)圖這組圖樣我們是采用改變?yōu)V波器的權(quán)向量階數(shù)進(jìn)行仿真得到的，濾波器權(quán)向量的階數(shù)取值的依據(jù)有兩個(gè)要求： 1、經(jīng)典的MVDR算法能夠檢測(cè)出3個(gè)正弦信號(hào)時(shí)的最小濾波器權(quán)向量階2、采用達(dá)到同樣效果時(shí)的圖樣，比較兩種算法的設(shè)計(jì)濾波器的階數(shù)大小。 當(dāng)選取M=18時(shí)，使用經(jīng)典的MVDR頻率估計(jì)算法畫出的波形如圖3.4（a）所示，此時(shí)可以模糊的分辨出三

18、個(gè)波峰。而使用奇異值分解的MVDR方法時(shí)，如圖3.4（b）所示，選取M=10畫出的波形可以很清晰的分辨出三個(gè)波峰。通過以上三組比較，可以看出，基于奇異值分解的MVDR譜估計(jì)法比MVDR頻率估計(jì)法要更好，分辨率更高。而且通過比較上圖，可以發(fā)現(xiàn)，隨著濾波器權(quán)系數(shù)階數(shù)M的增大，兩種方法的分辨率都在增大，但明顯基于奇異值分解的MVDR信號(hào)頻率估計(jì)算法的分辨率更加精確。第三章 結(jié)束語(yǔ)信號(hào)的頻率估計(jì)的意義在于：在一個(gè)被噪聲污染的信號(hào)中，我們通過算法從中尋求到可能存在的期望信號(hào)的頻率值。因此這種思想在現(xiàn)代信號(hào)處理過程中應(yīng)用是具有意義的，畢竟大多數(shù)的隨機(jī)信號(hào)環(huán)境不可能做到無(wú)噪聲的環(huán)境，那么用信號(hào)的頻率估計(jì)算法

19、是具有實(shí)用性的需求。本文中提到的MVDR算法的核心思想就體現(xiàn)在濾波器權(quán)向量的設(shè)計(jì)，在這個(gè)算法提出的要求中：使得期望信號(hào)的無(wú)失真通過以及盡量的抑制其他信號(hào)和噪聲。這就使得算法的實(shí)現(xiàn)能達(dá)到信號(hào)頻率估計(jì)的目的。經(jīng)典的MVDR算法提出，我們發(fā)現(xiàn)其要求的精度需求很高，而在奇異值的思想下，這種精度需求會(huì)下降，這也就使得基于奇異值的MVDR算法在應(yīng)用過程中能更加廣泛。小組成員的分工參考文獻(xiàn)1 段向陽(yáng)，王永生等.基于奇異值分解的信號(hào)特征值提取方法研究J.振動(dòng)與沖擊,2009.28(11):30-31.2 程文波,李燦平.基于兩種統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理算法的噪聲信號(hào)譜估計(jì)研究N.長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007,26(5):2

20、1-22.3 何心怡,黃海寧,葉青華等.波束域 MVDR 高分辨方位估計(jì)方法研究N.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào),2003,27(2):201-203.4 何子述,黃振興,向敬成.一種有效的 MVDR 波束形成期N.信號(hào)處理,2000,16(4):302-303.5 楊秀庭,孫貴青,陳新華.矢量水聽器陣列 MVDR 形成器的性能研究J.應(yīng)用聲學(xué),2007,26(1):8-9.6 周浩,袁志勇.基于MVDR自適應(yīng)波束的高分辨方位估計(jì)N.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào),2009,31(9):108-110.7 李啟虎.水聲信號(hào)處理領(lǐng)域若干專題研究進(jìn)展J.應(yīng)用聲學(xué),2001,20(1):1-5.8 游鴻,黃建國(guó),徐桂民.基于

21、 MVDR 的陣列信號(hào)波束域預(yù)處理算法J.系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2008,30(1):64-65.9 王良,宋志杰,華洋.時(shí)域解析信號(hào)的MVDR自適應(yīng)波束形成方法J.數(shù)據(jù)采集與處理,2009,24(3):318-319.10 孫榮光,馬鑫,王易川. MVDR 自適應(yīng)波束形成的一種智能算法J.聲學(xué)技術(shù),2010,29(3):340-341.11 付立.基于MVDR譜的語(yǔ)音通信干擾效果評(píng)估方法研究J.信息技術(shù),2011,6:1-2.12 時(shí)潔，楊德森.矢量陣想干寬帶 MVDR 聚焦波束形成N.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào),2010,22(2):473-474.附錄clear all;clc;M=14;N=1000;f=0.1 0.25 0.27;SNR=30 30 27;sigma=1;Am=sqrt(sigma*10.(SNR/10); t=linspace(0,1,N); phi=2*pi*rand(size(t); %產(chǎn)生隨機(jī)相位%產(chǎn)生加性高斯白噪聲vn=sqrt(sigma/2)*randn(size(t)