圓整章知識點歸納

1、第24章 圓整章知識點歸納第一節(jié) 圓的有關(guān)性質(zhì)知識點一：圓的定義 1、圓可以看作是到定點（圓心O）的距離等于定長（半徑r）的點的集合. 2、圓的特征 （1）圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長（半徑）. （2）到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上. 注意：（1）圓指的是圓周，即一條封閉的曲線，而不是圓面. （2）“圓上的點”指圓周上的點，圓心不在圓周上.知識點二：圓的相關(guān)概念1、 弦與直徑：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.注意：直徑是過圓心的弦，凡是直徑都是弦，但弦不一定是直徑.因此，在提到到“弦”時，如果沒有特殊說明，不要忘記直徑這種特殊的弦.2、 弧、半圓、優(yōu)弧、

2、劣?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.大于半圓的?。ㄓ萌齻€點表示）叫優(yōu)??；小于半圓的弧叫做劣弧如劣弧，優(yōu)弧 注意：半圓是弧，但弧不一定是半圓.半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧. 3、等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓.4、等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.注意：等弧的長度相等，但長度相等的弧不一定是等弧.知識點三：圓的對稱性1、 圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸. 注意：（1）圓的對稱軸有無數(shù)條 （2）因為直徑是弦，弦是線段，而對稱軸是直線，所以不能說“圓的對稱軸是直徑”，而應該說“圓的對稱軸是直徑所在

3、的直線”或說成“圓的對稱軸是經(jīng)過圓心的直線”.2、 圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心，不僅如此，把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，所得的圖形都與原圖形重合（圓的旋轉(zhuǎn)不變性）.知識點四：垂徑定理及推論（重點）1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.如圖，AB是的直徑，CD是O的弦，AB交CD于點E，若ABCD，則CE=DE，=，=注意：（1）這里的垂徑可以是直徑、半徑或過圓心的直線或線段，其本質(zhì)是“過圓心”.（2）垂徑定理中的“弦”為直徑時，結(jié)論仍成立. 2、垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.如圖1：CD是非直徑的弦，AB是直徑，若CE

4、=DE，則ABCD，CB=DB，AC=AD.圖1 注意：被平分的弦不是直徑，因為直徑是弦，兩直徑互相平分，結(jié)論就不成立，如圖2圖2直徑AB平分CD，但AB不垂直于CD.重點剖析(1) 垂徑定理是證明線段相等、弧相等的重要依據(jù)，同時也為圓的計算和作圖問題提供了思考方法和理論依據(jù).(2)一條直線如果具有：過圓心；垂直于弦；平分弦（被平分的弦不是直徑）； 平分弦所對的優(yōu)?。黄椒窒宜鶎Φ牧踊?，這五條中的任意兩條性質(zhì)， 那么即可推出其它三條性質(zhì)（知二得三）. 即：是直徑 = =中任意2 個條件推出其他3個結(jié)論.知識點五：弧、弦、圓心角之間的關(guān)系（重點、難點）1、圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所

5、對的弦相等，所對的弧也相等.如圖，在中，若AOB=COD，則AB=CD，=. 2、推論：（1）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等.（2）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等.定理和推論可概括為：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量也相等.（圓心角、弧、弦關(guān)系定理）知識點六：圓周角定理及其推論 1、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.如圖：CAB=COB 2、圓周角定理的推論：（1）同弧或等弧所對的圓周角相等.（2）半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90&

6、#176;的圓周角所對的弦是直徑. 如圖，若AB為直徑，則C=90°；若C為90°，則AB是直徑.注意：（1）同弧指同一條弧，同一條弧所對的圓周角有無數(shù)個，它們的度數(shù)都相等.等弧是指同一個圓內(nèi)能重合的弧或等圓中能重合的弧.（2）“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”結(jié)論就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類，它們一般不相等（是互補的）.知識點七：圓內(nèi)接多邊形 1、圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補. A+C=180°，B+D=180°第二節(jié) 點和圓、直線和圓的位置關(guān)系A(chǔ)知識點一：圓的確定1、 過一點作圓：只要以點A外的任意一點為圓心，以這一點與點A的

7、距離為半徑作圓就可以 作出，這樣的圓有無數(shù)個. 2、過兩點作圓：經(jīng)過兩個點A，B作圓，只要以線段AB垂直平分線上任意一點為圓心，以這一點與點A或點B的距離為半徑作圓就可以，這樣有圓也有無數(shù)個.3、過不在同一直線上的三點作圓：過不在同一直線上的三點A、B、C作圓，圓心到這三個點的距離相等，因此，圓心在線段AB，AC的垂直平分線的交點O處，以O(shè)為圓心，以O(shè)A（或OB，OC）為半徑可作出經(jīng)過A、B、C三點的圓，這樣的圓有且只有一個.不在同一條直線上的三個點確定一個圓4、 要想過四點作圓，應先作出經(jīng)過不在同一條直線上的三點的圓，如果第四到圓心的距離等于半徑，則第四個點在圓上，否則不在圓上.方法歸納：確

8、定一個圓的圓心的方法，只需作出此圓任意兩條弦的垂直平分線，其交點就是圓心.知識點二：三角形的外接圓1、 三角形的外接圓：經(jīng)過三角形三個項點可以作一個圓，2、 這個圓叫做三角形的外接圓.3、 三角形的外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心，如圖：是ABC的外接圓，點O是ABC的外心.（1）三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，等于外接圓的半徑.（2）一個三角形有且只有一個外接圓，而一個圓卻有無數(shù)個內(nèi)接三角形. （3）三角形外心的位置：銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心是斜邊中點. 知識點三：反證法：（1）假設(shè)命題

9、的結(jié)論不成立（2）從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確.知識點四：直線和圓的位置關(guān)系 1、直線與圓相離 直線與圓無交點； 2、直線與圓相切 直線與圓有一個交點； 3、直線與圓相交 直線與圓有兩個交點；知識點五：切線的性質(zhì)與判定定理 1、切線的判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線； （1）兩個條件：過半徑外端；垂直半徑，二者缺一不可 即：MNOA，MN過半徑OA外端 MN是O的切線 （2）切線判定方法：（1）數(shù)量關(guān)系：若圓心到直線的距離等于半徑，則直線是圓的切線.（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是

10、圓的切線. 提示：在判定切線時，往往需要添加輔助線（連半徑證垂直或作垂直證半徑）. 2、切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點. 推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心. 以上三個定理及推論也稱二推一定理： 即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出第三個.知識點六：切線長定理 切線長定理： 從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角. 即：PA、PB是O的兩條切線 PA=PB，PO平分BPA知識點七：三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三

11、條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心. 三角形的外接圓與內(nèi)切圓以及外心與內(nèi)心的對比圖形的名稱ABC的名稱圓心O的確定“心”的性質(zhì)“心”的位置ABC的外接圓的內(nèi)接三角形三角形三邊垂直平分線的交點到三角形的三個頂點的距離相等銳角三角形在三角形內(nèi)，直角三角形在斜邊中點處；鈍角三角形在三角外ABC的內(nèi)切圓的外切三角形三角形三條角平分線的交點到三角形三條邊的距離相等一定在三角形內(nèi)部第三節(jié) 正多邊形和圓知識點一：正多邊形的定義及其相關(guān)概念 各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形. 我們把一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑，正多邊形的每一邊所對的圓心角叫做正

12、多邊形的中心角.正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.知識點二：與正多邊形的有關(guān)計算（1） 正邊形的每個內(nèi)角為（2） 正邊形的每個中心角為（3） 正邊形的每個外角為 （4） 正邊形的半徑、邊心距、邊長之間的關(guān)系為（5） 正邊形的邊長、邊心距、周長，面積之間的關(guān)系為，知識點三：正多邊形與圓的關(guān)系 （1）把圓分成（n3）等份，依次連接各分點所得的多邊形就是這個圓的內(nèi)接正n邊形；經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正邊形. （2）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.知識點四：正多邊形的性質(zhì)1、正多邊形的各邊相等，各角相等.2、正多

13、邊形都是軸對稱圖形，幾邊形就有幾條對稱軸，邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形也是中心對稱圖形.3、正邊形的半徑和邊心距把正邊形分成個全等的直角三角形.注意：正多邊形都有一個外接圓，而圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.第四節(jié) 弧長和扇形面積知識點一：弧長公式： 在半徑為R的圓中，因為360° 的圓心角所對的弧長就是圓周長，所以1°的圓心角所對的弧長是，即，于是的圓心角所對的弧長為注意：在弧長公式中，和180都不帶單位“度”.知識點二：扇形面積公式： （其中為扇形的弧長，R為半徑）PABORr 在半徑為R的圓中，因為360° 的圓心角所對的扇形面積，所以圓心角是1°的扇形面積是，于是圓心角為的扇形面積是知識點三：圓錐的有關(guān)概念1、圓錐的