圓的方程直線與圓圓與圓的位置關(guān)系高考題及詳解

1、圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、選擇題1. （2013·重慶高考文科·4）設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ( )A. 6 B.4 C. 3 D. 2【解題指南】的最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑.【解析】 選B. 的最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑.圓心到直線的距離為,半徑為,所以的最小值為.2.(2013·天津高考文科·T5)已知過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x-1)2+y2=5相切,且與直線ax-y+1=0垂直,則a=()A. B. 1 C. 2 D. 【解題指南】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)確定切線的斜率,再由兩直線垂直求a的值.

2、【解析】選C.因?yàn)辄c(diǎn)P(2,2)為圓(x-1)2+y2=5上的點(diǎn),由圓的切線性質(zhì)可知,圓心(1,0)與點(diǎn)P(2,2)的連線與過(guò)點(diǎn)P(2,2)的切線垂直.因?yàn)閳A心(1,0)與點(diǎn)P(2,2)的連線的斜率k=2,故過(guò)點(diǎn)P(2,2)的切線斜率為-,所以直線ax-y+1=0的斜率為2,因此a=2.3.（2013·安徽高考文科·6）直線x+2y-5+=0被圓x2+y2-2x-4y=0截得的弦長(zhǎng)為（ ）A.1 B.2 C.4 D. 【解題指南】 由圓的半徑、圓心距、半弦長(zhǎng)組成直角三角形，利用勾股定理即可求得半弦長(zhǎng)?！窘馕觥窟xC.由得圓心（1,2），半徑，圓心到直線x+2y-5+=0的距離

3、，在半徑、圓心距、半弦長(zhǎng)組成的直角三角形中，弦長(zhǎng)。4. （2013·重慶高考理科·7）已知圓：，圓：，、分別是圓、上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ( )A. B. C. D. 【解題指南】根據(jù)圓的定義可知,然后利用對(duì)稱(chēng)性求解.【解析】選A.由題意知,圓：，圓：的圓心分別為,且,點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,所以,即.5.（2013·廣東高考文科·7）垂直于直線且與圓相切于第一象限的直線方程是（ ） A BC D【解析】選A. 由題意知直線方程可設(shè)為（），則圓心到直線的距離等于半徑1，即，所求方程為.6. （2013·陜西高考文科·8）已知

4、點(diǎn)M(a,b)在圓外, 則直線ax + by = 1與圓O的位置關(guān)系是 ( )A. 相切B. 相交C. 相離D. 不確定【解題指南】 利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系中的半徑與距離，列出關(guān)系式，解之即可判斷直線ax + by = 1與圓O的位置關(guān)系.【解析】選B.點(diǎn)M(a, b)在圓=圓的半徑，故直線與圓相交.7. （2013·江西高考理科·9）過(guò)點(diǎn)（，0）引直線l與曲線 相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于（ ）A.B. C. D.【解題指南】圓心到直線的距離與直線的斜率有關(guān),AOB為等腰三角形,所以AB的長(zhǎng)度也可用圓心到直線

5、的距離表示,進(jìn)而AOB的面積可表示為圓心到直線的距離d的函數(shù),借助二次函數(shù)思想可以求解出當(dāng)AOB的面積取最大值時(shí)的d值,進(jìn)而可以求出直線的斜率.【解析】選B. 曲線 表示以為圓心，以為半徑的上半圓.設(shè)直線的方程為，即，若直線與半圓相交，則，圓心到直線的距離為（），弦長(zhǎng)為，AOB的面積為，易知當(dāng)時(shí)最大，解得，故.8. （2013·山東高考理科·9）過(guò)點(diǎn)（3，1）作圓（x-1）2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為 （ ） A.2x+y-3=0      B.2x-y-3=0  C.4x-y-3=

6、0      D.4x+y-3=0【解題指南】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用圓的幾何性質(zhì)解題即可.【解析】選A. 由圖象可知，是一個(gè)切點(diǎn)，根據(jù)切線的特點(diǎn)可知過(guò)點(diǎn)A.B的直線與過(guò)點(diǎn)（3,1）、（1、0）的直線互相垂直，所以直線AB的方程為，即2x+y-3=0.二、填空題9. （2013·山東高考文科·13）過(guò)點(diǎn)(3，1)作圓的弦，其中最短的弦長(zhǎng)為_(kāi)【解題指南】過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的弦，最長(zhǎng)的為直徑，最短的為垂直于直徑的弦.這樣圓心到點(diǎn)的距離，與弦長(zhǎng)的一半，半徑長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)直角三角形.【解析】 半徑為，圓心為，圓心到點(diǎn)的距離,所求最短弦長(zhǎng)為【答案

7、】 .10.(2013·浙江高考文科·T13)直線y=2x+3被圓x2+y2-6x-8y=0所截得的弦長(zhǎng)等于.【解題指南】由直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組,求兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo),再求弦長(zhǎng).【解析】由，解得或，所以?xún)山稽c(diǎn)坐標(biāo)為和，所以弦長(zhǎng).【答案】.11. （2013·江西高考文科·14）若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（4，0），且與直線y=1相切，則圓C的方程是 .【解題指南】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心坐標(biāo)和半徑的關(guān)系，再代入已知點(diǎn).【解析】設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)（4，0），所以a=2，又圓與直線y=1相切，可得，故圓的方程為，將（0,0）代入解得

8、，所以圓的方程為.【答案】.12. （2013·湖北高考文科·14）已知圓：，直線：（）.設(shè)圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，則 .【解題指南】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系,求圓心到直線的距離,同半徑的一半相比較.【解析】半徑為R=圓心到直線 的距離d=故數(shù)形結(jié)合k=4.【答案】4.三、解答題13.(2013·江蘇高考數(shù)學(xué)科·T17) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線。設(shè)圓的半徑為，圓心在上。（1）若圓心也在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍?！窘忸}指南】(1)先利用題設(shè)中的條件確定圓心坐標(biāo),再利用直線與

9、圓相切的幾何條件找出等量關(guān)系,求出直線的斜率.(2)利用MA=2MO確定點(diǎn)M的軌跡方程,再利用題設(shè)中條件分析出兩圓的位置關(guān)系,求出a的取值范圍.【解析】(1)由題設(shè)知,圓心C是直線y=2x-4和y=x-1的交點(diǎn),解得點(diǎn)C(3,2),于是切線的斜率必存在.設(shè)過(guò)A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+3,由題意,= 1, 解得 k=0或-,故所求切線方程為y=3或3x+4y-12=0.(2)因?yàn)閳A心在直線y=2x-4上,所以圓C的方程為(x-a)2+y-2(a-2)2=1.設(shè)點(diǎn)M(x,y),因?yàn)镸A=2MO,所以,化簡(jiǎn)得,所以點(diǎn)M在以D(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上.由題意知,點(diǎn)M(x,y)在

10、圓C上,所以圓C與圓D有公共點(diǎn),則2-1CD2+1,即13.由5a2-12a+80,得aR;由5a2-12a0,得0a.所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為0, .14.（2013·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·20）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓在軸上截得線段長(zhǎng)為，在軸上截得線段長(zhǎng)為。（1）求圓心的軌跡方程；（2）若點(diǎn)到直線的距離為，求圓的方程。【解題指南】(1)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)與圓P半徑，利用弦長(zhǎng)、圓心距、半徑之間的關(guān)系求得點(diǎn)P的軌跡方程；（2）利用已知條件求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而求出半徑，寫(xiě)出圓的方程.【解析】（1）設(shè)，圓P的半徑為r.由題設(shè)從而.故P點(diǎn)的軌跡方程為.(2)設(shè) 又P點(diǎn)在雙曲線上，從而得此時(shí)圓的半徑r= .此時(shí)，圓的半徑r= .故圓P的方程為，15.（2013·四川高考文科·20）已知圓的方程為，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。直線與圓交于兩點(diǎn)。（1）求的取值范圍；（2）設(shè)是線段上的點(diǎn)，且。請(qǐng)將表示為的函數(shù)?！窘忸}指南】本題求解時(shí)要抓住直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以在求解