北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析Ⅲ試題MTH17042MTH17169

1、課程編號(hào)：MTH17042 北京理工大學(xué)2014-2015學(xué)年第一學(xué)期2013級(jí)數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析階段測(cè)驗(yàn)（一）試題1.設(shè)是中的調(diào)和函數(shù)，S是中任意的分片光滑閉曲面。求證：，其中和分別表示函數(shù)和沿S外法線方向的方向?qū)?shù)。2.敘述正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的比較判別法和DAlembert比值判別法，并利用前者證明后者。3.判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1） （2）（3） （4） （5）4.設(shè)。又設(shè)廣義極限存在。求證：當(dāng)（含）時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)（含）時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。5.研究級(jí)數(shù)的斂散性，包括絕對(duì)收斂性和條件收斂性，其中是實(shí)參數(shù)。6.設(shè)收斂，其中R>0，求證：對(duì)一切，絕對(duì)收斂。7.設(shè)，且有極限。求證：數(shù)列收斂，且。8

2、.設(shè)存在，又設(shè)絕對(duì)收斂。求證：。課程編號(hào)：MTH17042 北京理工大學(xué)2014-2015學(xué)年第一學(xué)期 2014.112013級(jí)數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析期中試卷一、（15分）（1）設(shè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與均絕對(duì)收斂，問：是否一定收斂？為什么？如果收斂，絕對(duì)收斂，那么是否一定收斂？為什么？（2）設(shè)，絕對(duì)收斂，又設(shè)的n次部分和序列有界，求證：收斂。二、（10分）設(shè)單調(diào)遞減，且；又設(shè)是任意固定的正整數(shù)，求證：收斂當(dāng)且僅當(dāng)收斂。三、（15分）設(shè)對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n，函數(shù)在數(shù)集E內(nèi)有定義，（1）用肯定語氣敘述函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集E內(nèi)不滿足一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則的嚴(yán)格含義；（2）設(shè)存在數(shù)列和，滿足，都有，且數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與均收斂，試?yán)?/p>

3、用一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集E內(nèi)一致收斂。四、（10分）設(shè)，求證：收斂。五、（15分）研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，包括絕對(duì)收斂和條件收斂，并證明：（1）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域內(nèi)連續(xù)；（2）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)不一致收斂。六、（10分）設(shè)。（1）求證：函數(shù)序列在中內(nèi)閉一致收斂；（2）用兩種方法證明在內(nèi)不一致收斂。七、（15分）（1）求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)；（2）求函數(shù)的Maclaurin級(jí)數(shù)展開式并確定收斂區(qū)間。八、（10分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)定義，且，在區(qū)間I內(nèi)一致連續(xù)；又設(shè)時(shí)關(guān)于x在I內(nèi)一致收斂于。求證：在區(qū)間I內(nèi)一致連續(xù)，且在區(qū)間I內(nèi)等度連續(xù)，即，使得，只要，就有。

4、九、（10分）設(shè)函數(shù)序列在區(qū)間內(nèi)點(diǎn)態(tài)收斂于極限函數(shù)，且，極限存在；又設(shè)當(dāng)時(shí)等度收斂于，即，使得當(dāng)時(shí)，都有，求證：與都存在，且二者相等。（第八題、第九題二題中任選一題）課程編號(hào)：MTH17169 北京理工大學(xué)2016-2017學(xué)年第一學(xué)期2015級(jí)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)分析期中考題1.（20分）討論下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性。（1）； （2）； （3）。2.（30分）判斷下列級(jí)數(shù)是否收斂；若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？（1）； （2）。3.（15分）求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域，并求出和函數(shù)的表達(dá)式。4.（15分）設(shè)和都在區(qū)間I上有界，并且在I上一致收斂于，在I上一致收斂于。證明：在I上一致收斂于。5.（

5、20分）設(shè)，證明：（1）在其定義域內(nèi)連續(xù)；（2）在區(qū)間上可導(dǎo)；（3）。課程編號(hào)：MTH17042 北京理工大學(xué)2014-2015學(xué)年第一學(xué)期 2014.122013級(jí)數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析第三次階段練習(xí)一、判別斂散性：（1）； （2）； （3）。二、設(shè)單調(diào)遞減，且，求證：收斂當(dāng)且僅當(dāng)收斂。三、設(shè)，求證：收斂。四、（1）求函數(shù)的Maclaurin級(jí)數(shù)展開式并確定收斂區(qū)間；（2）求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)。五、（1）證明無窮級(jí)數(shù)收斂，并求其和；（2）設(shè)，求及的表達(dá)式。六、設(shè)對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n，函數(shù)在數(shù)集E內(nèi)有定義，又設(shè)，都有，求證：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集E內(nèi)一致收斂。七、設(shè)收斂，其中為定數(shù)，求證：（1）冪級(jí)數(shù)在內(nèi)

6、絕對(duì)收斂；（2），冪級(jí)數(shù)在內(nèi)一致收斂。八、設(shè)有廣義積分，問：取何值時(shí)絕對(duì)收斂？取何值時(shí)條件收斂？取何值時(shí)發(fā)散？九、求廣義積分的收斂域I，并證明：（1）函數(shù)在I內(nèi)連續(xù)；（2）廣義積分在I內(nèi)不一致收斂。十、設(shè)，用三種方法計(jì)算廣義積分。選作 設(shè)和在內(nèi)連續(xù)，又設(shè)極限存在，且廣義積分絕對(duì)收斂，求證：。課程編號(hào)：MTH17042 北京理工大學(xué)2014-2015學(xué)年第一學(xué)期2013級(jí)數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析期末試題B卷一、（每小題7分，共35分）（1）求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)；（2）設(shè)，求；（3）將展開成x的冪級(jí)數(shù)，確定收斂區(qū)間，并求的值；（4）求證無窮級(jí)數(shù)收斂，并求其和。（5）設(shè)，其中。求以為周期的Fourier

7、級(jí)數(shù)展開式，并求其和函數(shù)在內(nèi)的表達(dá)式。二、（10分）設(shè)單調(diào)遞減，且，求證：收斂當(dāng)且僅當(dāng)收斂。三、（10分）設(shè)，求證：數(shù)列收斂。四、（15分）（1）設(shè)在內(nèi)有定義，其中I是一個(gè)區(qū)間，且，關(guān)于在內(nèi)常義可積，用肯定語氣敘述廣義積分關(guān)于在區(qū)間I內(nèi)不滿足一致收斂Cauchy準(zhǔn)則的嚴(yán)格含義；（2）用兩種方法計(jì)算廣義積分（證明計(jì)算過程的合理性）。五、（15分）求廣義積分的收斂域I，并證明：（1）函數(shù)在I內(nèi)連續(xù)；（2）廣義積分在I內(nèi)不一致收斂。六、（7分）設(shè)，又設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，其和函數(shù)為。求證：成立的充要條件是發(fā)散。七、（8分）設(shè)在區(qū)域上定義，偏導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)存在且有界；又設(shè)對(duì)每個(gè)，極限存在；求證：（1）在

8、有界開區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)；（2）時(shí)，關(guān)于在有界開區(qū)間內(nèi)一致收斂。提示：考慮以下的定理：設(shè)，在內(nèi)連續(xù)，則時(shí)，在內(nèi)一致收斂的充分必要條件是時(shí)，在內(nèi)收斂且在區(qū)間內(nèi)等度連續(xù)。課程編號(hào)：MTH17169 北京理工大學(xué)2016-2017學(xué)年第一學(xué)期2015級(jí)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)分析期終考試考題（A卷）1.（20分）判斷下列無窮級(jí)數(shù)或廣義積分的收斂性。（1）； （2）； （3）； （4）。2.（10分）證明：當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)條件收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散。3.（12分）（1）設(shè)，求；（2）設(shè)，其中在上連續(xù)，求。4.（12分）（1）求冪級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù)的表達(dá)式；（2）求級(jí)數(shù)的和。5.（14分）（1）證明關(guān)于在內(nèi)閉一致收斂，但不一致收斂；（2）求積分的值。6.（14分）設(shè)以為周期，在上表達(dá)式為。（1）求的F