北京科技大學計算方法試題

1、北京科技大學2010年科學與工程計算研究生考試試題答案一、填空題(每空題2分，共20分)1.為使的近似值的相對誤差限不超過，則近似值至少需要取3位有效數(shù)字. 注： 2.為了提高數(shù)值計算精度, 當數(shù)非常接近0時, 應將改寫為. 3.設，則=10，=9。4. 若使用二分法求解方程在0,1上的根，要求誤差小于，則至少需要迭代_10_步。 注：二分k步誤差小于 5已知函數(shù)f(-1)=-5, f(1)=0 , f(2)=7,用此函數(shù)表作牛頓插值多項式，那么插值多項式x2的系數(shù)是 7/2 .6.設，則差商=5。=07 . 求解初值問題時，若用改進歐拉方法的絕對穩(wěn)定域中步長h不超過.0.2。8.設是0,2上

2、的三次樣條函數(shù)，那么a=_9_二、 (20分) 分別用Jacobi迭代與高斯-賽德爾迭代法解線性方程組，給出迭代格式與迭代矩陣，說明上述迭代是否收斂，若全兩者均收斂問哪種方法收斂快。解：本問題的Jacobi迭代格式為 （2分）迭代矩陣為 （2分） （4分） （1分） Jacobi迭代收斂 （1分）本問題的高斯-賽德爾迭代格式為 （2分）迭代矩陣為 （2分） （3分） （1分） Seidel迭代收斂 （1分） Jacobi迭代收斂的快（1分）三、（10分）給定數(shù)據(jù)（），x12f(x)11.1892f(x)0.25試用hermite插值多項式計算的近似值，并估計誤差。解：方法1 首先構造差商表：x

3、112f(x)111.18920.250.1892-0.0608那么，（每個插商2分） （1分）最后計算可以得到。 （1分） （誤差2分）方法2 待定系數(shù)法 （1分）（1分） （1分）解得 （3分） （1分）最后計算可以得到。 （1分）誤差同方法1方法3 基函數(shù)法 （2分） （2分） （2分） （1分）最后計算可以得到。 （1分）誤差同方法1四、(15分)已知數(shù)據(jù)表210121714102052求最小二乘法求其二階擬合多項式并計算平方誤差。計算中間數(shù)值及結果保留6位小數(shù)。解： 解方程得 （每個非0系數(shù)1分，共6分）二階擬合多項式為 （a,b,c系數(shù)1分）近似值 平方誤差= （誤差1分）五、(1

4、0分)用牛頓法求的近似值，取初始值，要求誤差解：為的根利用牛頓法構造遞推公式，（分），計算結果如下， 分分分 2分2分 （分）六、(15分) 用改進的歐拉方法求解初值問題取步長=0.25，計算, 并與準確值比較.解: ,公式2分,(2分) (2分), (2分)真實值0.8332185564(1分),(1分), (1分), (1分)真實值0.7320428480(1分)誤差約為0.0038435564，(1分)誤差約為0.0045254652(1分)七、(10分) 已知某連續(xù)可微函數(shù)的幾點函數(shù)值如下表x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99610.98430.96460.93680.90060.85540.80060.7351使用復化梯形求積公式及其外推公式估計，使估計值盡可能準確（注：每步計算結果保留小數(shù)點后6位。）解：