淺析換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、word 學(xué)科代碼：070101 學(xué) 號：092022020222貴 州 師 范 大 學(xué) 求 是 學(xué) 院本 科畢 業(yè) 論 文題 目：淺析換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用Analysed in application translated Into element method in mathematical problem solving學(xué) 院： 求是學(xué)院專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級： 2009級2班姓 名： 周世維 指導(dǎo)老師：馮金華講師 完成時間：2022年4月淺析換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用周世維摘要：換元法是數(shù)學(xué)解題中常用的重要方法之一。在有些數(shù)學(xué)問題中，由于條件與結(jié)論中的變量關(guān)系在形式上的隱蔽，

2、它們之間實質(zhì)性的邏輯聯(lián)系不易從外表形式上發(fā)現(xiàn)，即使看出它們之間的聯(lián)系，也由于外表形式的復(fù)雜而不易直接求解。但當(dāng)我們進行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把問題的條件和結(jié)論作形式上的轉(zhuǎn)換，這樣就容易揭示出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，把問題化難為易，化繁為簡。掌握了代換思想，不但可以比擬順利地解決一些較難的題目，還可以用多種方法解答同一個問題，提高我們的思維。關(guān)鍵詞: 換元法 ；數(shù)學(xué)問題 ； 變量代換 ；代換思想Abstract： Change element method is one of important methods in mathematical problem solving. Some math prob

3、lems, due to the condition and conclusion of the variable relationship in form of concealment, substantial logic connection between them is not easy to found from the surface form, even if see connections between them, also due to the surface in the form of a complex and difficult to solve directly.

4、 Proper variable substitution, but when we put the question of the transformation in the form of the condition and conclusion, this would be easy to reveal the inner link between them, the problem is changed to easy, change numerous for brief. Mastered the substitution of ideas, not only can solve s

5、ome of the more difficult topics more smoothly, also can be used with a variety of methods to solve problems one by one, to improve our thinking.Key words: change element method ; mathematical problem; variable substitution ;substitution thought 換元法是數(shù)學(xué)的重要解題方法之一, 在解決代數(shù)式計算、解方程、三角函數(shù)、函數(shù)兩個重要極限、求函數(shù)和微分、積分等

6、題中起著重要的轉(zhuǎn)化作用。當(dāng)我們用一個新的字母代換題目中的一個“整體 時, 可使原來題目隱藏的關(guān)系明朗化, 給人以“柳暗花明 、化繁為簡的感覺, 使問題迎刃而解。實施換元法的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡x擇新的變元代替舊的變元， 同時要注意未知數(shù)允許值范圍的變化, 即新變元的取值范圍與舊變元的取值范圍的內(nèi)在聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。1. 換元法及其相關(guān)的定義1.1換元法的一些根本概念和關(guān)鍵如果用新的未知量或變量替換原來的未知量或變量, 求出新的未知量或變量 ,利用替換關(guān)系式求出原來的未知量或變量的方法,叫做輔助元素法, 簡稱換元法，其中新的未知量叫做輔助元素, 簡稱輔助元1!利用換元法的關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)剡x擇“新元，引進適當(dāng)?shù)?/p>

7、代換，找到較容易的解題思路，能使問題簡化。使用換元法時要注意“新元的范圍，“新元所受的限制條件還要注意根據(jù)題設(shè)條件驗證結(jié)果。1.2換元法的根本思想和步驟即把未知問題轉(zhuǎn)化為問題，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。 設(shè)元或構(gòu)造元 求解 回代 檢驗 轉(zhuǎn)化 等量 等價原那么2. 換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用2.1 換元法在代數(shù)計算中的應(yīng)用例1計算320+142+320-142解：設(shè)320+142+ 320-142= x,兩邊立方得 20+142+20-142+3320+1422·320-142+3320+142· 320-1422=x3得 ：40+338x=x3

8、 x3-6x-40=0,x-4(x2+4x+10)=0,又 x2+4x+10=0 無實根，解得：原式= x=42.2換元法在解方程中的應(yīng)用在解方程組過程中通過恰當(dāng)?shù)膿Q元，將高次方程化為低次方程，復(fù)雜方程化為簡單方程2，也將分式方程化為整式方程，無理方程化為有理方程，借此換元思想將大大降低解方程的難度。例2解方程x2+3x+7-x2+3x-9=2解：設(shè) x2+3x+7+x2+3x-9=y兩式相乘得：(x2+3x+7-x2+3x-9)(x2+3x+7+x2+3x-9)=2y,解得： y=8兩式相加得：2x2+3x+7=y+2,解得：x2+3x+7=5，易得：x1=3,x2=6在構(gòu)成方程組的方程里，

9、有關(guān)未知數(shù)的代數(shù)式呈對稱性，換元法可借此特點使方程組簡單化，便于求出方程組的解。例3.解方程組 ；分析：這是一個對稱方程，解對稱方程一般令 進行代換較為簡捷；解：原方程組變形為 令 ，那么得到 ；解得： 或 ；2.3換元法在三角函數(shù)中的應(yīng)用選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)式作為輔助未知數(shù)。對于有形如：x1,x2+y2,1-f2x,1-f2x或1-fx等的問題時采用正弦和余弦；形如：1+f2x(fx>0)和2t1-t2的問題時采用正切、余切，且根據(jù)特設(shè)確定角的范圍。例4：函數(shù)y=2+2sinx·cosx+sinx+cosx，x0，2，求函數(shù)最大值和最小值。解：令sinx+cosxt，那么可得t

10、1，2,由(sinx+cosx2=t2得2sinx·cosx =t2-1 原函數(shù)為y=t2+t+1, t 1，2,又y=t2+t+1在1，2上單調(diào)遞增 ymax=f2=3+2,ymin=f1=32.4換元法在函數(shù)兩個重要極限中的應(yīng)用換元法在函數(shù)兩個重要極限中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，此處主要列舉其在求兩個重要極限limx0sinxx=1和limx1+1xx=e中的例子2。例5：求limx0arcsinxx解： 令arcsinx=t,那么x=sint且x0時t0所以 limx0arcsinxx=limt0tsint=1例6: 求limx01+tanxcotx解： 設(shè)t=tanx,那么1t=cot

11、x當(dāng)x0時t0,于是limx01+tanxcotx=limt01+t1t=e2.5換元法在求函數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分中的應(yīng)用換元法思想廣泛應(yīng)用在函數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分計算中，它是計算某一類函數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分的主要方法。例7：求y=12arctan 2x1-x2的導(dǎo)數(shù)解： 令2x1-x2=u, 換元后即可直接使用反正切的導(dǎo)數(shù)公式，有y=12 11+u2u, u=2x1-x2=21-x2-2x-2x1-x22將u,u代入得：y=11+x2例8：求y=lnx+1+x2的微分6解： 令x+1+x2=u,得dy=dlnu =1udu,du=udx. u=1+x1+x2分別代入dy,dy =dx1+x22.6 換元法在積分計算

12、中的應(yīng)用換元法是計算函數(shù)積分的重要方法之一，也是函數(shù)積分計算的難點，換元法在計算函數(shù)積分應(yīng)用方法主要可分為以下幾類：2.6.1 不定積分的第一換元積分法湊微分法例9：求2xex2dx解：令u=x2可解2xex2dx=ex2dx2=eudu=eu+C=ex2+C注：定理1：假設(shè)fxdx=Fx+C,那么有fx'xdx=Fx+C,其中x可微。2.6.2 不定積分的第二換元積分法例10： 求x31-x232dx解： 令x=sint，那么dx=costdt，x31-x232dx =sin3tcostdtcos3t=1-cos2tsintcos2tdt =-dcostcos2t-sintdt =1

13、cost+cost+ C=11-x2+1-x2+ C =2-x21-x2+C。注：定理2：設(shè)x=(x)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)并且'x0。又設(shè)ft't具有原函數(shù)，那么有換元公式fxdx=ft'tdtt=-,其中-x是x = x的反函數(shù)。2.6.3 定積分的換元積分法例11 求14dx1+x解：令x=t，當(dāng)x=1時，t=1；當(dāng)x=4時，t=2； 又當(dāng)t1，2時，有x=t21，4，且變換函數(shù)x=t2在1，2上單值,dxdt=2t在1，2上連續(xù)，由換元公式有：14dx1+x=122tdt1+t=2121-11+tdt=2t- ln(1+t)21=2(1- ln3+ ln2)注：定理

14、3：假設(shè)1.函數(shù)fx在a，b上連續(xù)；2.函數(shù)x= (x)在區(qū)間，上單值且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；3.當(dāng)t 在，上變化時，x=(x)的值在a，b上變化，且()a， ()b，那么有abfxd x = ft'tdt。以上借助換元法解決了數(shù)學(xué)中用一般方法難解決的問題，可見換元法應(yīng)用的廣泛性、普遍性，以及熟練掌握換元法的重要性。恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用換元法，可化繁為簡、化難為易、化生為熟，把待研究的問題轉(zhuǎn)化為已研究并已解決的問題，為解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題提供了重要的解題工具。3. 換元法在應(yīng)用中的常見錯誤分析3.1 將復(fù)合函數(shù)與原函數(shù)混為一談例12. 研究函數(shù)的單調(diào)性。錯解： 令,那么 在上是減函數(shù)且。 為增函數(shù)。分析：

15、的自變量為換元后誤將復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性認(rèn)為原函數(shù)的單調(diào)性。正確解：令，那么 在上是減函數(shù)且 是增函數(shù) 是減函數(shù)，假設(shè) 為減函數(shù)。3.2 改變了自變量的取值范圍例13. 假設(shè)，試求的取值范圍。錯解：令，那么，所以且。從而，又，且，所以，所以的取值范圍是。分析：事實上，我們知道當(dāng)時，。那么錯誤的原因為何呢？由推得，這隱含了，這實際上是加強了條件，造成了非等價轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致的范圍縮小。正確解：令，那么原式為，所以 ，從而。 的取值范圍是。3.3 代換式選擇不恰當(dāng)例14. 設(shè)，求的最值。錯解：因為，所以令，那么，兩邊平方得：，所以，從而；于是的最大值是1，最小值是。分析：事實上，由得，變換式一方面使其原

16、函數(shù)的定義域擴大，另一方面將兩個變換式的自變量混淆，誤將的關(guān)系條件增加條件。正確解：因為，又，所以，從而； 設(shè)；于是有即；又 ，即； ；又 ，所以當(dāng)，即時是的最小值為1；當(dāng) 即時是的最大值為。所以適當(dāng)?shù)剡x擇“新元，引進適當(dāng)?shù)拇鷵Q，找到較容易的解題思路，能使問題簡化。3.4 代換后沒有正確確實定中間變量的取值范圍例15.，求的最小值。7錯解：令，因為，所以。，；或當(dāng)時，所以即，此方程無解。所以沒有最小值。分析：上面代換錯誤地確定了中間變量的取值范圍。由于，。正確解：令，即，即。解之得； 無解，那么由解得，所以。3.5 不能用換元法解的問題凡與變量的變化方式有關(guān)的問題一般不能用換元法解。例如：判斷

17、函數(shù)在的單調(diào)性和奇偶性，不難得出此函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且為偶函數(shù)。假設(shè)盲目使用換元法，令，那么在上是增函數(shù)，且為非奇非偶函數(shù)，得出與原函數(shù)不同的性質(zhì)。所以，在討論單調(diào)性、奇偶性時一般不能用換元法。 又如：函數(shù)的最小正周期為，假設(shè)令，得的最小正周期為。所以，判斷函數(shù)的周期性也不能用換元法。由以上不難看出：在討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性時一般不能令換元后討論。4. 總結(jié)：在數(shù)學(xué)中,換元法有著極其重要的作用。學(xué)會運用換元法,不但可以溝通數(shù)學(xué)各個分支之間的聯(lián)系,還可以擴大視野,培養(yǎng)我們的學(xué)習(xí)興趣。對于一些較難的題目,我們還應(yīng)當(dāng)通過認(rèn)真觀察問題的結(jié)構(gòu)特征 ,深入分析問題的隱含條件 ,采用類比、聯(lián)想猜想等手段進行適當(dāng)?shù)膿Q元 ,并綜合運用各方面的知識給予解決。但在運用時也要注意題目中的一些條件，不能與換元后的