尋找好題的四個途徑

1、尋找好題的四個途徑永定縣第三中學(xué)張志強本文已發(fā)表在福建教育（2013年10月）美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“一個專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域?！睌?shù)學(xué)題目是無限的、解不完的，教師只有找到有代表性的題目作詳細(xì)研究，提煉出技能與思想，才讓學(xué)生學(xué)有所得，、學(xué)得不盲目不盲從。可以說，尋找好題并應(yīng)用好題，是數(shù)學(xué)教師的一大任務(wù)。那么如何尋找好題呢？首先要明確教學(xué)對象，即明確學(xué)生思維的發(fā)展階段。其次是明確教學(xué)目的。教學(xué)的出發(fā)點是什么？是針對新課、單元復(fù)習(xí)課還是試卷講評課？是針對從業(yè)會考、

2、競賽還是中高考？第三，要明確訓(xùn)練目標(biāo)。是為了培養(yǎng)審題能力、提升學(xué)生的解題速度？還是為了強化數(shù)學(xué)思想方法、提升學(xué)生的解題能力？當(dāng)然好題的首要條件是不能偏離考試大綱，不能背離課程標(biāo)準(zhǔn)。以下，筆者結(jié)合案例談尋找好題的四個途徑，以期拋磚引玉。一、源于教材教材是依據(jù)課標(biāo)、由各級專家經(jīng)過多個環(huán)形節(jié)論證并篩選的教學(xué)資料，因此教材中的題目是很具代表性的，其中不乏好題。例1（人教版初中數(shù)學(xué)教材九年級下冊四等分圓面積）：如圖1，有一個圓形花壇，要把它分成面積相等的4部分，以種植不同的花卉，請你提供設(shè)計方案。例1雖不起眼，但細(xì)加斟酌，卻很有利用價值。 圖1既然是設(shè)計，那就要有相應(yīng)的數(shù)據(jù)說明（設(shè)圓的半徑為r），分割的

3、方法自然是可以用尺子、圓規(guī)作出。學(xué)生往往是從分割出全等的圖形入手，思路難以展開，只能想到兩三種分割方法。若能突破“全等”的束縛，學(xué)生的思路會大為拓展。針對此題，任勇老師曾經(jīng)組織學(xué)生進行過探索，并總結(jié)了一百多種分割方法，記錄在他的著作你能成為最好的數(shù)學(xué)教師中。此題很好地詮釋了第24屆國際數(shù)學(xué)家大會名譽主席陳省身教授為中國少年數(shù)學(xué)論壇的題詞“數(shù)學(xué)好玩”，對學(xué)生進行發(fā)散思維訓(xùn)練有較大的幫助，是一道好題。以下列舉一些分割方法。二、源自優(yōu)質(zhì)教輔例2（鷺江出版社與圓的性質(zhì)相關(guān)的計算題）：如圖21， AB是O的直徑，AE是弦，點C是弧AE中點，CDAB于D，交AE于F。求證：AFCF圖21圖22圖23圖24

4、很多同學(xué)在分析這道題時，感到題目所給條件簡單，但就是不知從何處下手，其實，對每一個條件進行挖掘、聯(lián)想，我們都可得到不同的證法，思路也會很順暢。經(jīng)過反思總結(jié)、證法對比，學(xué)生能從這道題中領(lǐng)悟到 “如何分析題目形成解題思路”，。從訓(xùn)練學(xué)生的解題策略的角度看，此題不矢為好題。證法一：由AB是O的直徑連接AC、BC（如圖22），。這個證法是從第1個條件推出 “直徑所對的圓周角等于90°”，并綜合利用第3個條件“CDAB”引發(fā)聯(lián)想“雙直角三角形”， 再由弧的中點推理“等弧所對的圓周角相等”“等量代換”“等角對等邊”，思維簡潔、流暢。證法二：由點C是弧AE中點連接OC交AE于G，（如圖23）。這個

5、證法是從第2個條件引發(fā)聯(lián)想，“連接OC”形成垂徑定理推論的條件，并綜合利用第3個條件“CDAB” ，引發(fā)推理“等角的余角相等”“等邊對等角”“等量減等量差相等”“等角對等邊”。就是圖形有些復(fù)雜，角處于交錯的線條之中。證法三：由CDAB延長CD交O于點H，（如圖24）。這個證法是從第3個條件引發(fā)聯(lián)想，“延長CD”形成垂徑定理推論的條件，再利用推理“等量代換”“等弧所對的圓周角相等” “等角對等邊”。學(xué)生對比后發(fā)現(xiàn)，證法三最為簡潔明。從學(xué)生的反應(yīng)（眼神、感嘆、鼓掌等）中，筆者感受到：他們正在享受數(shù)學(xué)帶給他們的樂趣，他們在解題過程中明白了“觀察題目與選擇解法”的重要性與必要性。三、源于教師總結(jié)“不怕

6、不適貨，就怕貨比貨?！崩?將基本知識和技能、常規(guī)解法隱藏于題目之中，例3將歸納與總結(jié)的結(jié)果用“同圖異構(gòu)”的形式來展示，幾乎囊括了初中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識及要考查的數(shù)學(xué)思想和方法。 （1）PAPB是最小值；（ABP的周長最?。?）是最大值；（3）PAPB；（4）ABP是等腰三角形；（5）ABP是直角三角形；（6）以點P為頂點的拋物線經(jīng)過A、B兩點；（7）ABP的面積為5；（8）C點為（0，2），以CP為邊在第一象限內(nèi)作矩形CPQD，使QD經(jīng)過點B，且矩形CPQD是正方形；（9）P為（m，0）、Q為（m1,0）且四邊形APQB的周長最小；（10）點Q在y軸上，且四邊形ABPQ的周長最?。唬?1）過A、

7、B、P三點的圓與x軸相切；（12）過A、B、P的拋物線與x軸交于另一點Q（P點在Q點的左邊），且PQ7；（13）點Q在y軸上，且由A、B、P、Q四點組成平行四邊形；（14）雙曲線經(jīng)過點A，雙曲線經(jīng)過點B，過P點的直線平行于y軸且與雙曲線相交于點Q，若ABQ90°；（15）雙曲線經(jīng)過點A，雙曲線經(jīng)過點B，過P點的直線PMAB交雙曲線相交于點Q，交雙曲線相交于點N，且四邊形ABMN是平行四邊形；（16）拋物線經(jīng)過A、B兩點，直線PQAB交直線AB上方的拋物線于點Q，且QAB的面積最大；（17）一束光線從點B出發(fā)，經(jīng)過y軸上的點Q平面反射后經(jīng)過點A，光線與x軸交于點P；（18）直線BP與y

8、軸交于點Q，且；什么叫觸類旁通？這道“同圖異構(gòu)”的18個構(gòu)思，就讓學(xué)生很好地感受了這一成語的含意。一個簡單圖形，引出了這么多的數(shù)學(xué)主干知識，無不讓學(xué)生感到興奮，也大大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)與探索數(shù)學(xué)熱情。以上各小題，有些題解法巧妙、簡捷，筆者認(rèn)為，運用之能達到良好的教學(xué)效果，不但有利于減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，而且在融合了各方面知識后，能讓學(xué)生在解題時，有種居高臨下之感。這，自然是一道不可多得的好題。四、源于試題改編有這樣一種試題上，它對師生來說是陌生的、新穎的，題目設(shè)計巧妙，將許多知識點融合得很好，學(xué)生研究、解答這類題，就可以觸類旁通。例4（2013年龍巖市九年級質(zhì)量檢查卷壓軸題）：如圖，點P是正多邊形

9、的邊上一點（不與點，重合），M是 延長線上一點，連接. （1）當(dāng)=3時，如圖所示，將線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PN，連接. （i） 求證：； （ii）求的大小； （2）當(dāng)時，將線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段PN，連接.試猜想的大小，并說明理由.圖圖師生剛接觸此題，感到新穎、陌生。學(xué)生多只能做到第1小題的第2問，第2小題放棄的居多。是題目出得太難？還是這道題本身沒有針對性？仔細(xì)問題我們不難發(fā)現(xiàn)：第2小題是第1小題的拓展，學(xué)生完全可以利用第1小題的解法解之。學(xué)生的答卷上基本都是“連接AN，證明”，但是這種證全等的解題經(jīng)驗無助于本題第2小題的解決，因此多數(shù)學(xué)生只得選擇放棄。如果我們注

10、意題目中給出已知條件有一邊（PN）和一鄰角（）對應(yīng)相等，自然聯(lián)想到三角形全等，則產(chǎn)生下列解法：解法一：在的延長線上截，連接NB（如圖41，構(gòu)造SAS全等型），得到；解法二：過N作NB交PM于B，連接NB（構(gòu)造AAS全等型），得到；（但在第2小題中發(fā)展為過N作NB交PM于B）解法三：在PN的下方作PNB，點B在PM上（構(gòu)造ASA全等型），得到； 解法四：在上截（也可截），連接CP（如圖42構(gòu)造SAS全等型）；解法五：在上取一點C，連接PC，構(gòu)造AAS或ASA全等型；解法六：連接，得是等邊三角形，與構(gòu)成SAS全等；以上6種方法，均可以形成經(jīng)驗并應(yīng)用于第2小題解答，第6種方法是學(xué)生最容易想到的，但也是最不容易應(yīng)用于解題的。隨著圖形的變化，特殊的“全等”也就發(fā)展成了一般性“相似”，即由 “SAS型全等”發(fā)展為滿足兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的相似。筆者對例4作了改編，以期培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，從根本上提高學(xué)生解決問題的能力，學(xué)生由開始覺得難、無從下手，變?yōu)樗悸奉H多、得心應(yīng)手。變式一：已知，ABC中，BABC，點D在直線BC上（不含點B、C），將線段AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段DE，連接EC，（1）當(dāng)ABC90°時（如圖44），點D在BC邊上，則ECD；（2）當(dāng)ABC60°時（如圖45），點D在BC的延長線上，求ECD的度