高二數(shù)學競賽模擬試卷（2）

1、高二數(shù)學競賽模擬試卷（2） 班級 姓名 一、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個結(jié)論，其中有且僅有一個是正確的。請將正確答案的代表字母填在題后的括號內(nèi)。每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內(nèi)），一律得0分.1函數(shù)與的定義域和值域都是，且都有反函數(shù)，則函數(shù)的反函數(shù)是（ ） 2集合由滿足如下條件的函數(shù)組成：當時，有 ，對于兩個函數(shù)，以下關(guān)系中成立的是（ ） 中，則比式等于 4拋物線上兩點關(guān)于直線對稱，若，則的值是（ ）.5橢圓的中心，右焦點，右頂點，右準線與軸的交點依次為，則 的最大值為（ ）. 不能確定.6函數(shù)的值

2、域為（ ）二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上.7若，則 .8數(shù)列由全體正奇數(shù)自小到大排列而成，并且每個奇數(shù)連續(xù)出現(xiàn)次，如果這個數(shù)列的通項公式為則 9為實數(shù)，滿足，則 的最大值為 .10若集合中的每個元素都可表為中兩個不同的數(shù)之積，則集中元素個數(shù)的最大值為 .11作出正四面體每個面的中位線，共得條線段，在這些線段中，相互成異面直線的“線段對”有 個.12用五種不同的顏色給圖中的“五角星”的五個頂點染色，（每點染一色，有的顏色也可以不用）使每條線段上的兩個頂點皆不同色，則不同的染色方法有 種.三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13設(shè)為正數(shù)，證明

3、： 14已知二次函數(shù)（1）若變化時，它們的圖象是不同的拋物線，如果每條拋物線與坐標軸都有三個不同的交點，過這三個交點作圓，證明這些圓都經(jīng)過同一定點，并求出這個定點的坐標。（2）若此二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，1），且記兩數(shù)中較大者為P，試求P的最小值。15設(shè)是質(zhì)數(shù)，且的不同正因數(shù)的個數(shù)不超過個求高二數(shù)學競賽模擬試卷（2）參考答案二、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個結(jié)論，其中有且僅有一個是正確的。請將正確答案的代表字母填在題后的括號內(nèi)。每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內(nèi)），一律得0分.1函數(shù)與的定義域和值域都

4、是，且都有反函數(shù)，則函數(shù)的反函數(shù)是（ ） 答：C.解：由依次得 ，互易得 .2集合由滿足如下條件的函數(shù)組成：當時，有 ，對于兩個函數(shù)，以下關(guān)系中成立的是（ ） 答：D.解：，取，則.中，則比式等于 答：解：如圖易知，因此選4拋物線上兩點關(guān)于直線對稱，若，則的值是（ ）.答：解：由以及得 ， 5橢圓的中心，右焦點，右頂點，右準線與軸的交點依次為，則 的最大值為（ ）. 不能確定.答：解： .（時取等號）6函數(shù)的值域為（ ）答：.解：的定義域為則，令，則因，則 .二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上.7若，則 .答： .解：由條件得，則.8數(shù)列由全體正奇

5、數(shù)自小到大排列而成，并且每個奇數(shù)連續(xù)出現(xiàn)次，如果這個數(shù)列的通項公式為則 答：.解：由，即當 時， ，所以 ，于是，9為實數(shù)，滿足，則 的最大值為 .答： .解：設(shè)，則 ，（當時取等號）.10若集合中的每個元素都可表為中兩個不同的數(shù)之積，則集中元素個數(shù)的最大值為 .答：.解：從中每次取一對作乘積，共得個值，但其中有重復，重復的情況為，共種，因此集合中至多有 個數(shù) .11作出正四面體每個面的中位線，共得條線段，在這些線段中，相互成異面直線的“線段對”有 個.答：個“線段對”.解：任取一條中位線考慮，所在的側(cè)面沒有與異面的線段；含點的另一個側(cè)面恰有一條中位線與異面；含點的另一個側(cè)面恰有一條中位線與異

6、面；不含的側(cè)面恰有兩條中位線與異面；因此與異面的中位線共有條，即含有線段的異面“線段對”共有個，于是得異面“線段對”個，（其中有重復）.但每一個異面“線段對”中有兩條線段，故恰被計算了兩次，因此得個異面“線段對”.12用五種不同的顏色給圖中的“五角星”的五個頂點染色，（每點染一色，有的顏色也可以不用）使每條線段上的兩個頂點皆不同色，則不同的染色方法有 種.答：種. 解： 將其轉(zhuǎn)化為具有五個扇形格的圓盤染五色，使鄰格不同色的染色問題。設(shè)有個扇形格的圓盤染五色的方法數(shù)為，則有，于是三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13設(shè)為正數(shù)，證明： 證：對歸納，時顯然成立等號；設(shè)時結(jié)論對于任意個正數(shù)成立

7、，當時，對于任意個正數(shù)，據(jù)假設(shè)有，5分所以 只要證， 平方整理，只要證， 10分由柯西不等式 15分即 所以即成立，因此當時結(jié)論成立.故由歸納法知，所證不等式成立. 20分14已知二次函數(shù)（1）若變化時，它們的圖象是不同的拋物線，如果每條拋物線與坐標軸都有三個不同的交點，過這三個交點作圓，證明這些圓都經(jīng)過同一定點，并求出這個定點的坐標。（2）若此二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，1），且記兩數(shù)中較大者為P，試求P的最小值。 解答： （2）由過點（1，1）得到：（9分）如圖所示，當時（12分）15設(shè)是質(zhì)數(shù)，且的不同正因數(shù)的個數(shù)不超過個求解：當時，有個正因數(shù)；當時，有個正因數(shù)所以、滿足條件當時，其中為奇質(zhì)數(shù)，所以與是相鄰的兩個偶數(shù)，從