三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)專題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第 講 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 時(shí)間： 年 月 日 劉老師 學(xué)生簽名： 一、 興趣導(dǎo)入二、 學(xué)前測(cè)試 1已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則角的最小正角是（ ）A、 B、 C、 D、解析D 角在第四象限且2若是第二象限的角，且，則是（ ）A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角解析C 當(dāng)時(shí)，在第一象限；當(dāng)時(shí)，在第三象限；而，在第三象限；3已知角的終邊與函數(shù)決定的函數(shù)圖象重合，求= 解析:在角的終邊上取點(diǎn)故=4.（湛江市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2010屆高三第四次月考）已知，且角在第一象限，那么2在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限解析：B，故2在第二象限.三

2、、方法培養(yǎng)1“五點(diǎn)法”描圖(1)ysin x的圖象在0,2上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0,0)(，0)(2，0) (2)ycos x的圖象在0,2上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0,1)，(，1)，(2，1) 2.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)ysin xycos xytan x定義域RRx|xk，kZ圖象 值域1,11,1R對(duì)稱性對(duì)稱軸：_ xk(kZ)_ _；對(duì)稱中心：_ (k，0)(kZ)_ _對(duì)稱軸： xk(kZ)_；對(duì)稱中心：_(k，0) (kZ)_ 對(duì)稱中心：_ (kZ) _周期2_2單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間_2k，2k(kZ)_；單調(diào)減區(qū)間2k，2k (kZ) _單調(diào)增區(qū)間2k，2k (kZ) _

3、；單調(diào)減區(qū)間2k，2k(kZ)_單調(diào)增區(qū)間_(k，k)(kZ)_ 奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)3.一般地對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(xT)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期，把所有周期中存在的最小正數(shù)，叫做最小正周期(函數(shù)的周期一般指最小正周期)對(duì)函數(shù)周期性概念的理解周期性是函數(shù)的整體性質(zhì)，要求對(duì)于函數(shù)整個(gè)定義域范圍的每一個(gè)x值都滿足f(xT)f(x)，其中T是不為零的常數(shù).如果只有個(gè)別的x值滿足f(xT)f(x)，或找到哪怕只有一個(gè)x值不滿足f(xT)f(x)，都不能說T是函數(shù)f(x)的周期.函數(shù)yAsi

4、n(x)和yAcos(x)的最小正周期為 ，ytan(x)的最小正周期為 .4.求三角函數(shù)值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性；關(guān)于正、余弦函數(shù)的有界性由于正余弦函數(shù)的值域都是1,1，因此對(duì)于xR，恒有1sin x1，1cos x1，所以1叫做ysin x，ycos x的上確界，1叫做ysin x，ycos x的下確界.(2)形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為yAsin(x)k的形式逐步分析x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域；含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對(duì)最值的影響.(3)換元法：把sin x或cos x看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問題利用換元法求三角函

5、數(shù)最值時(shí)注意三角函數(shù)有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x(|t|1)，則y(t2)211，解法錯(cuò)誤.5.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)先把函數(shù)式化成形如yAsin(x) (>0)的形式，再根據(jù)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出x所在的區(qū)間.應(yīng)特別注意，應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)考慮.注意區(qū)分下列兩題的單調(diào)增區(qū)間不同;利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(要注意x系數(shù)的正負(fù)號(hào)) (1)ysin；(2)ysin.專題1：三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為 ，ytan(x)的最小正周期為 .例1變式練習(xí)1(2011·南平月考)(1)求函數(shù)ysin，

6、x，的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)y3tan的周期及單調(diào)區(qū)間解(1)由ysin，得ysin，由2k2x2k，得kxk，kZ，又x，x，x，x.函數(shù)ysin，x，的單調(diào)遞減區(qū)間為，.(2)函數(shù)y3tan的周期T4.由y3tan得y3tan，由k<<k得4k<x<4k，kZ，函數(shù)y3tan的單調(diào)遞減區(qū)間為 (kZ)專題2：與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域問題例2求下列函數(shù)的定義域：(1)ylgsin(cos x)； (2)y.解(1)要使函數(shù)有意義，必須使sin(cos x)>0.1cos x1，0<cos x1.利用單位圓中的余弦線OM，依題意知0<OM1，OM

7、只能在x軸的正半軸上，其定義域?yàn)?x|2k<x<2k，kZ.(2)要使函數(shù)有意義，必須使sin xcos x0.利用圖象.在同一坐標(biāo)系中畫出0,2上ysin x和ycos x的圖象，如圖所示.在0,2內(nèi)，滿足sin xcos x的x為，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2，所以定義域?yàn)?變式訓(xùn)練2(1)求函數(shù)的定義域.要使函數(shù)有意義則利用數(shù)軸可得圖圖函數(shù)的定義域是x|0<x<或x4.專題3：三角函數(shù)的圖像及變換例3已知函數(shù)y2sin.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；(3)說明y2sin的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到解

8、題導(dǎo)引(1)作三角函數(shù)圖象的基本方法就是五點(diǎn)法，此法注意在作出一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖后，應(yīng)向兩邊伸展一下，以示整個(gè)定義域上的圖象；(2)變換法作圖象的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對(duì)于后者可利用x來確定平移單位解(1)y2sin的振幅A2，周期T，初相.(2)令X2x，則y2sin2sin X.列表：XX02ysin X01010y2sin02020描點(diǎn)連線，得圖象如圖所示：(3)將ysin x的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x縮短為原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)sin 2x的圖象；再將ysin 2x的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)sin 2sin的圖象；再將ysin的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變

9、，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到y(tǒng)2sin的圖象變式練習(xí)3設(shè)f(x)cos2xsin xcos xsin2x (xR)(1)畫出f(x)在上的圖象；(2)求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間；(3)如何由ysin x的圖象變換得到f(x)的圖象？解y·sin 2x·1sin 2xcos 2x1sin.(1)(五點(diǎn)法)設(shè)X2x，則xX，令X0，2，于是五點(diǎn)分別為，描點(diǎn)連線即可得圖象，如下圖(2)由2k2x2k，kZ，得單調(diào)增區(qū)間為，kZ.由2k2x2k，kZ，得單調(diào)減區(qū)間為，kZ.(3)把ysin x的圖象向右平移個(gè)單位；再把橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)；最后把所得圖象向上平移1個(gè)單位即

10、得ysin1的圖象4、 強(qiáng)化練習(xí)一、 選擇題 1(2010·十堰月考)函數(shù)yAsin(x) (A，為常數(shù)，A>0，>0)在閉區(qū)間，0上的圖象如圖所示，則為 ()A1B2C3D42函數(shù)ysin圖象的對(duì)稱軸方程可能是 ()AxBxCxDx3(2010·湖北)函數(shù)f(x)sin，xR的最小正周期為 ()A.BC2D44(2010·北京海淀高三上學(xué)期期中考試)函數(shù)f(x)(sin xcos x)2cos 2x的最小正周期為 ()A4B3C2D5如果函數(shù)y3cos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么|的最小值為 ()A.B.C.D.1C2.D3.D4.D5.A五、

11、訓(xùn)練輔導(dǎo)專題4：求yAsin(x)的解析式例4已知函數(shù)f(x)Asin(x) (A>0，>0，|<，xR)的圖象的一部分如圖所示求函數(shù)f(x)的解析式解題導(dǎo)引確定yAsin(x)b的解析式的步驟：(1)求A，b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A，b.(2)求.確定函數(shù)的周期T，則.(3)求參數(shù)是本題的關(guān)鍵，由特殊點(diǎn)求時(shí)，一定要分清特殊點(diǎn)是“五點(diǎn)法”的第幾個(gè)點(diǎn)解由圖象可知A2，T8.方法一由圖象過點(diǎn)(1,2)，得2sin2，sin1.|<，f(x)2sin.方法二點(diǎn)(1,2)對(duì)應(yīng)“五點(diǎn)”中的第二個(gè)點(diǎn)×1，f(x)2sin.變式練習(xí)4(2011·寧波模

12、擬)已知函數(shù)f(x)Asin(x) (A>0，>0，|<)的圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x0,2)和(x02，2)(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)若銳角滿足cos ，求f(4)的值解(1)由題意可得：A2，2，即4，f(x)2sin，f(0)2sin 1，由|<，.f(x)2sin(x)f(x0)2sin2，所以x02k，x04k (kZ)，又x0是最小的正數(shù)，x0.(2)f(4)2sinsin 2cos 2，cos ，sin ，cos 22cos21，sin 22sin cos ，f(4)×.

13、六、家庭作業(yè)布置： 家長(zhǎng)簽字：_ （請(qǐng)您先檢查確認(rèn)孩子的作業(yè)完成后再簽字）附件：堂堂清落地訓(xùn)練 （堅(jiān)持堂堂清，學(xué)習(xí)很爽心） 1. 1函數(shù)y 的定義域?yàn)?)A.B.，kZC.，kZDR2已知函數(shù)f(x)sin(xR)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A函數(shù)f(x)的最小正周期為2B函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)C函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x0對(duì)稱D函數(shù)f(x)是奇函數(shù)3(2013·廣州綜合測(cè)試)如果函數(shù)f(x)sin(>0)的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離為，則的值為()A3B6C12 D244(2012·山東高考)函數(shù)y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為()A2 B0C1 D15已知

14、函數(shù)f(x)2sin(2x)(|<)，若f2，則f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B.C. D.6已知函數(shù)f(x)2sin x(>0)在區(qū)間上的最小值是2，則的最小值等于()A. B.C2 D37函數(shù)ycos的單調(diào)減區(qū)間為_8(2012·廣州聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是，且當(dāng)x時(shí)，f(x)sin x，則f的值為_9如果函數(shù)y3cos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么|的最小值為_10設(shè)f(x).(1)求f(x)的定義域；(2)求f(x)的值域及取最大值時(shí)x的值11(2012·佛山期中)已知函數(shù)f(x)2sin

15、(x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值12(2012·北京高考)已知函數(shù)f(x).(1)求f(x)的定義域及最小正周期；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間1選Ccosx0，得cos x，2kx2k，kZ.2選Dysincos x，T2，在上是增函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，為偶函數(shù)3選C由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離為周期的一半，即該函數(shù)的周期T2×，故T，解得12.4選A當(dāng)0x9時(shí)，sin 1，所以函數(shù)的最大值為2，最小值為，其和為2.5選C由f2，得f2sin2sin2，所以sin1.因?yàn)閨<，所以.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.6選Bx，則x，要使函數(shù)f(x)在上取得最小值2，則或，得，故的最小值為.7解析：由ycoscos2x得2k2x2k(kZ)，故kxk(kZ)所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(kZ)答案：(kZ)8解析：fffsin.答案：9解析：ycos x的對(duì)稱中心為(kZ)，由2×k(kZ)，得k(kZ)當(dāng)k2時(shí)，|min.答案：10解：(1)由12sin x0，根據(jù)正弦函數(shù)圖象知：定義域?yàn)閤x2k，kZ.(2)1sin x1，112sin x3，12sin x0，012sin x3，f(x)的值域?yàn)?，當(dāng)x2k，kZ時(shí)，f(x)取得最大值11解：(1)f(x