數(shù)列3月6日 1

1、1、已知公差為d的等差數(shù)列an，0a1，0d，其前n項和為Sn，若sin（a1+a3）=sina2，cos（a3a1）=cosa2（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列bn的前n項和Tn2、ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊的長分別為a、b、c，有下列兩個條件：（1）a、b、c成等差數(shù)列；（2）a、b、c成等比數(shù)列，現(xiàn)給出三個結(jié)論：（1）；（2）；（3）請你選取給定的兩個條件中的一個條件為條件，三個結(jié)論中的兩個為結(jié)論，組建一個你認(rèn)為正確的命題，并證明之（I）組建的命題為：已知_求證：_（II）證明：3、已知數(shù)列an滿足（1）求a2，a3，a4；并求證：a2m+1+2=2（a2m1+2），（

2、mN*）；（2）設(shè)，求證：4、已知ABC三個內(nèi)角滿足A、B、C成等差，設(shè)x=cos，f（x）=cosB（1）求f（x）解析式及定義域；（2）討論函數(shù)單調(diào)性，并證明；（3）求f（x）值域5、已知ABC的周長為6，依次為a，b，c，成等比數(shù)列（1）求證：（2）求ABC的面積S的最大值；（3）求的取值范圍6、關(guān)于x的方程x2+xsin2sincot=0的兩根為，且02，若數(shù)列，的前100項和為0，求的值7、已知各項為正的數(shù)列an的首項為a1=2sin（為銳角），+an+12=2，數(shù)列bn滿足bn=2n+1an（1）求證：當(dāng)x（0，）時，sinxx（2）求an，并證明：若=，則a1+a2+an（3）是

3、否存在最大正整數(shù)m，使得bnmsin對任意正整數(shù)n恒成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、解答題（共7小題）1、已知公差為d的等差數(shù)列an，0a1，0d，其前n項和為Sn，若sin（a1+a3）=sina2，cos（a3a1）=cosa2（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列bn的前n項和Tn考點：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合；數(shù)列的求和。專題：計算題。分析：（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)，得出sin（a1+a3）=sina2然后進行化簡，要注意a1、d的范圍求出a1、d，進而得出通項公式（2）首先求出數(shù)列bn的通項公式，然后利用Tn=TnTn求出結(jié)果解答：解：（1）sin（a1

4、+a3）=sina2，sin2a2=2sina2cosa2=sina2，sina2（2cosa21）=0，0a1，0d，0a2，sina20，cos（a3a1）=cosa2，=，數(shù)列an的通項公式為（2），得=，點評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，通項公式的求法，對于等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積形式的數(shù)列一般采取錯位相減的辦法求前n項和2、ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊的長分別為a、b、c，有下列兩個條件：（1）a、b、c成等差數(shù)列；（2）a、b、c成等比數(shù)列，現(xiàn)給出三個結(jié)論：（1）；（2）；（3）請你選取給定的兩個條件中的一個條件為條件，三個結(jié)論中的兩個為結(jié)論，組建一個你認(rèn)為正確的命題，并證明之（I

5、）組建的命題為：已知a、b、c成等差數(shù)列求證：0B；（II）證明：考點：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合。專題：計算題。分析：（1）利用a、b、c成等差數(shù)列可推斷出2b=a+c，代入關(guān)于B的余弦定理中利用基本不等式求得cosB的范圍，進而求得B的范圍，原式得證（2）利用二倍角公式和余弦定理對原式進行化簡整理求得等式成立，原式得證解答：解：（I）可以組建命題：ABC中，若a、b、c成等差數(shù)列，求證：0B；（II）a、b、c成等差數(shù)列2b=a+c，b=且B（0，），0B=故答案為：a、b、c成等差數(shù)列，0B，點評：本題主要考查了數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，余弦定理的應(yīng)用，二倍角的化簡求值考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解和

6、靈活運用3、已知數(shù)列an滿足（1）求a2，a3，a4；并求證：a2m+1+2=2（a2m1+2），（mN*）；（2）設(shè)，求證：考點：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合。專題：計算題；綜合題。分析：（1）根據(jù)題意可求得a2，a3和a4，把2m+1代入題設(shè)遞推式，利用誘導(dǎo)公式整理求得a2m+1=2a2m，同理求得a2m=a2m1+1，進而整理求得a2m+1+2=2（a2m1+2）（2）根據(jù)（1）可判斷出數(shù)列a2m1+2是公比為2的等差數(shù)列，進而求得其通項公式，求得a2m1，則a2m可得，進而分n為奇數(shù)和偶數(shù)求得其通項公式，代入bn中利用不等式的傳遞性整理，最后利用等比數(shù)列的求和公式證明原式解答：解：（1）a2=

7、（1+0）a1+1=2，a3=（1+1）a2+0=4，a4=（1+0）a3+1=5，證明：a2m+1=2a2m，a2m=a2m1+1，則a2m+1=2a2m1+2，a2m+1+2=2（a2m1+2）證明：（2）由（1）可得：，數(shù)列a2m1+2是公比為2的等差數(shù)列，a2m1+2=（a1+2）2m1得：a2m1=2+32m1（mN*），所以：而當(dāng)n2時，1+32n22，故則，從而=點評：本題主要考查了數(shù)列與三角函數(shù)，不等式的綜合運用考查了學(xué)生分析推理和運算能力4、已知ABC三個內(nèi)角滿足A、B、C成等差，設(shè)x=cos，f（x）=cosB（1）求f（x）解析式及定義域；（2）討論函數(shù)單調(diào)性，并證明；（

8、3）求f（x）值域考點：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合。專題：計算題；綜合題。分析：（1）先確定B，再借助于x=cos，f（x）=cosB化簡可得（2）根據(jù)定義域，利用導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)小于0，可知函數(shù)的單調(diào)性（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的定義域，可確定函數(shù)的值域解答：解：（1）由題意，A、B、C成等差2B=A+C3B=180°B=60°f（x）=cosB=x=cos，（2），函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（3）由（2）知，f（x）值域為點評：本題以三角形為載體，考查三角函數(shù)，涉及三角函數(shù)式的化簡，函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的值域，有一定的綜合性5、已知ABC的周長為6，依次為a，b，c，成等比數(shù)列（1）求證：

9、（2）求ABC的面積S的最大值；（3）求的取值范圍考點：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合。專題：計算題。分析：（1）、根據(jù)題中已知條件求出a，b，c之間的關(guān)系，然后利用余弦定理便可求出cosB的值，即可證明；（2）、由（1）中所求得的角B的最大值，再根據(jù)題中條件求出b的取值范圍，便可知當(dāng)b=2，B=時三角形的面積最大；（3）、利用余弦定理結(jié)合前面求得的a，b，c的關(guān)系便可求出關(guān)于b的表達(dá)式，然后根據(jù)b的取值范圍求出的取值范圍解答：解：（1）a+b+c=6，b2=ac，不妨設(shè)abc，由余弦定理得故有，（2）又，從而0b2又a+bc=6ab，所以所以，即（3）所以=，點評：本題考查了等比數(shù)列的基本性質(zhì)以及三角

10、函數(shù)的運用，考查了學(xué)生的計算能力和數(shù)列與三角函數(shù)的綜合掌握，解題時注意轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題6、關(guān)于x的方程x2+xsin2sincot=0的兩根為，且02，若數(shù)列，的前100項和為0，求的值考點：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合。專題：計算題。分析：由于數(shù)列，的前100項和為0，可知，再利用方程x2+xsin2sincot=0的兩根為，可得關(guān)于的方程，從而可解解答：解：由題意，+=sin2，=sincot=cos，02，點評：本題的考點是數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，主要考查等比數(shù)列的求和，考查韋達(dá)定理，關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，從而可解7、已知各項為正的數(shù)列an的首項為a1=2sin（為銳角）

11、，+an+12=2，數(shù)列bn滿足bn=2n+1an（1）求證：當(dāng)x（0，）時，sinxx（2）求an，并證明：若=，則a1+a2+an（3）是否存在最大正整數(shù)m，使得bnmsin對任意正整數(shù)n恒成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由考點：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合；數(shù)列與不等式的綜合。專題：綜合題。分析：（1）令f（x）=sinxx（0x），則，由此能夠證明sinxx（2）由，得，由a1=2sin，得=2sin，=2sin，猜想：然后用數(shù)學(xué)歸納法證明（3）由，知=，由此能求出存在最大自然數(shù)m=8滿足條件解答：解：（1）令f（x）=sinxx（0x），則，故f（x）f（0）=0，即sinxx（3分）（2）由，得，又a1=2sin，=2sin，=2sin，猜想：（5分）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：n=1時，a1=2sin，成立，假設(shè)n=k時命題成立，即，則n=k+1時，=2sin，即n=k+1時命題成立由知對