中學(xué)三角解題系統(tǒng)概括

1、中學(xué)三角解題系統(tǒng)概括封開縣封川中學(xué)黎澤眉摘要：理解三角公式的內(nèi)在關(guān)系，把握解題中的探求思路和轉(zhuǎn)換策略，以及運(yùn)用一些常用的變換技巧，是解決所有三角問題的根本.筆者系統(tǒng)地概括了三角解題的一般要求、轉(zhuǎn)換策略及一般方法技巧.關(guān)鍵詞： 三角解題；轉(zhuǎn)換策略；系統(tǒng)概括中學(xué)三角函數(shù)的題型一般包括求值化簡(jiǎn)、求證恒等式及不等式，這些問題變化繁多，各有特點(diǎn)，是歷年高考試題中出現(xiàn)頻率較高的題類之一.實(shí)踐表明，解決這類問題僅靠機(jī)械套用是不可取的.我們需要的是：理解三角公式的內(nèi)在關(guān)系，把握解題中的探求思路和轉(zhuǎn)換策略，運(yùn)用一些常用的變換技巧.這是解決所有三角問題的根本所在.下面從三個(gè)方面予以概括.1 三角公式的內(nèi)在關(guān)系三角

2、公式變化繁多，這為命題的編制和解題思維提供了廣闊的空間，但也使學(xué)生在解題變換中，難以把握變化方向，使得三角變換成為高中數(shù)學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)之一.我們從公式間的聯(lián)系、理解和功能方面來研究難點(diǎn)的突破.1.1 把握公式間的內(nèi)在聯(lián)系要掌握眾多的公式，應(yīng)該在推導(dǎo)基礎(chǔ)上從公式的內(nèi)在聯(lián)系上去理解和把握.同角三角函數(shù)間關(guān)系及誘導(dǎo)公式都是由定義推導(dǎo)出來的，和角的余弦公式是以解析方法導(dǎo)出的，以此為基礎(chǔ)，以角的設(shè)置為主線，推導(dǎo)出一系列公式，形成一個(gè)公式結(jié)構(gòu)體（見圖1）. 圖1 三角公式結(jié)構(gòu)1.2 準(zhǔn)確地理解三角公式準(zhǔn)確地理解是靈活運(yùn)用的基礎(chǔ)，含3個(gè)方面.（1） 公式中角的范圍.作為恒等式，角的取值范圍是定義內(nèi)的所有值.如

3、中角是任意的.公式對(duì)，（）都成立.（2） 公式中角的“和、差、倍、半”的相對(duì)性.兩角的“和、差、倍、半”都是相對(duì)而言的.如是與的差.是是的半角.（3） 公式的靈活性.公式不僅可順用，還可逆用和變用，如的變形以及的變形、，在解題中都經(jīng)常用到.1.3 熟悉三角公式的功能熟悉每組公式的功能，才能合理地選擇變形指向，可按不同的功能將公式分類（見表2）.圖2 三角公式功能分類上述分類并不是絕對(duì)的，因?yàn)橐环N變換常伴隨著其他變換發(fā)生變化.如“倍角公式”中角的“升倍”與“減半”伴隨著函數(shù)的升次與降次，萬能公式中角伴隨著函數(shù)名的變化等.1.4 三角公式的選用三角公式間一般有3種差異，即角的差異、函數(shù)名的差異，運(yùn)

4、算種類的差異.它體現(xiàn)了函數(shù)的自變量、函數(shù)種類和運(yùn)算形式的差異，“消除差異、化異為同”是三角變換的一般原則.解題時(shí)應(yīng)當(dāng)根據(jù)題目特點(diǎn)，先明確變換指向，再結(jié)合公式的功能做出流動(dòng)地試探和選擇.2 解題的探求思路和轉(zhuǎn)換策略2.1 整體觀察在解題時(shí)，應(yīng)首先觀察待求結(jié)論與已知條件的關(guān)系，放眼全局，以寬廣的整體思維處理問題，這種方式也能避免繁冗甚至思路受阻.例1 已知，求.分析：觀察已知條件和待求結(jié)構(gòu)可知，從而待求結(jié)論利用角和正切公式即可得出.若從局部著手必節(jié)外生枝，而轉(zhuǎn)求. 解：因?yàn)樗詮亩?2.2 整體代入在代入已知量求值問題中，要把握問題全局，認(rèn)清相關(guān)量之間的聯(lián)系，舍零取整，代入求解.例2 已知 ， 求

5、. 分析：若從求出，再將代入，將使運(yùn)算繁難，若將作為整體代入，則靈活簡(jiǎn)便.解: .2.3 整體換元把待求結(jié)論整體換元,利用它和已知條件的關(guān)系，求出待求結(jié)論.例3 已知，求.解：設(shè)，所以，.因?yàn)?，所以，?整理得.所以，即.2.4 構(gòu)造這是一種將研究對(duì)象視為局部，依此拓展為一個(gè)整體，通過對(duì)整體的研究求得局部的轉(zhuǎn)化策略.例4 不查表求的值.分析：將A看作局部構(gòu)造整體.將問題轉(zhuǎn)化為求B.解： . 所以.2.5 配對(duì)整體配對(duì)就是將所給命題配上一個(gè)它的對(duì)偶命題所構(gòu)成的對(duì)偶式.如“正弦配余弦”，“”配“”等.例5 求的值.解：設(shè)，令， 則，所以.3 三角解題的常用方法與技巧做三角函數(shù)題常用的方法有：1）運(yùn)

6、用函數(shù)的定義；2）減少函數(shù)種類；3）異角三角函數(shù)與同角三角函數(shù)互化；4）異名三角函數(shù)與同名三角函數(shù)互化；5）三角函數(shù)升次或降次；6）三角公式及其靈活變形；7）變?cè)鎿Q；8）構(gòu)造函數(shù)或方程；9）函數(shù)或角的等值變換；10）引入輔助函數(shù)；11）利用萬能公式等等.對(duì)這些不再展開討論，僅提出必須掌握的一些常用技巧.我們常用的技巧有3.1 切割化弦當(dāng)三角函數(shù)式中只含有同角的三角函數(shù)時(shí)，可從變換函數(shù)入手，施行切割化弦，將切割統(tǒng)一化弦減少函數(shù)種類，且易于變形. 例6 化簡(jiǎn).解: 原式=. 3.2 變角當(dāng)三角表達(dá)式中含有不同函數(shù)時(shí)，可從化角入手，利用角與角之間的和、差、倍、半、互余（補(bǔ)）等關(guān)系，對(duì)角進(jìn)行變形，可

7、使問題迎刃而解.如, , 等. 例7 已知 ，求的值. 解：由題設(shè)知為第一象限的角，所以.又由題設(shè)知為第三象限的角，所以. 故. 例8 化簡(jiǎn).解: 因?yàn)?所以. 原式=. 3.3 變常數(shù)在三角恒等變形過程中，有時(shí)需將常數(shù)轉(zhuǎn)化為某個(gè)三角函數(shù)值或式方可迅速求解.在這里要特別注意“1”各種變通形式在解題中的應(yīng)用.如 例9 求證: ； .證: (1) 左邊=，所以，左邊=右邊.(2) 左邊= =，所以，左邊=右邊.3.4 變用公式熟悉公式的各種變式（包括公式的逆用），不僅是知識(shí)的開拓，也是思路的開拓.如 ，以及等.例10 求的值.解法1：原式= .解法2：原式= .3.5 變冪倍角的余弦公式，正向使用

8、升冪，逆向使用則降次，對(duì)于3倍角正余弦公式也有類似性能.例11 求值.解：原式= =.例12 求函數(shù)的最小值.解：因?yàn)?,所以 .當(dāng)時(shí)，.3.6 恒等輔助變形其中均不為0,為輔助角，其所在象限由確定，其大小由確定.例13 求函數(shù)的極值.解：由，得 ，即（其中），.于是有 ，解得，或.y的極大值為，極小值為.3.7 運(yùn)用代數(shù)方法三角變換實(shí)際上也是一種代數(shù)變換，只不過多了一些三角公式而已，所以代數(shù)的一些變換技巧，如分、拆、湊等，也適用于三角變換.例14 求函數(shù)的最大值.解：令，則，.由，得 .當(dāng)，即，時(shí)，.3.8 運(yùn)用比例性質(zhì)靈活運(yùn)用比例的性質(zhì)，往往能使一些三角恒等式變得形容易、簡(jiǎn)便.例15 已知 ，求證：.證：由等比定理得 ， ，同理 ，所以 .3.9 兩種特殊技巧角度成等差的正弦、余弦之和的化簡(jiǎn)，一般是給原式的分子分母乘以角度公差的一半的正弦，然后對(duì)分子施以積化和差，交叉相消即可.例16 不查表求的值.解：原式= . 角度成等比（公比為2）的余弦之積，一般可給原式的分子、分母乘以這個(gè)角度的等比數(shù)列的首項(xiàng)的正弦的倍（n是余弦因子的個(gè)數(shù)），再對(duì)分子連續(xù)逆用正弦的2倍角公式即可.例17 不查表求的值.解：原式.綜上可見：理解三角公式的內(nèi)在關(guān)系，把握解題中的探求思路和轉(zhuǎn)換策略，運(yùn)用常用的變換技巧，三位一體是解決三角問題的根本機(jī)制. 參考文獻(xiàn)1 何思謙.數(shù)學(xué)辭海（第