投資組合論文

1、最優(yōu)投資組合構(gòu)造成員：劉建 張薔 閆慧新 陳靜 陳慧 韋宏 王長(zhǎng)蘭摘要：投資市場(chǎng)上風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)數(shù)量眾多，各種資產(chǎn)組合也并不鮮見(jiàn)，針對(duì)投資者面對(duì)收益風(fēng)險(xiǎn)各有特性的資產(chǎn)組合無(wú)法做出合理決策的情況，本文在馬克維茨有效邊界的資產(chǎn)組合模型的基礎(chǔ)上，應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法，對(duì)三種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的收益及風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了詳盡的論述，對(duì)做決策的投資者有一定的參考價(jià)值。關(guān)鍵詞：資產(chǎn)組合、有效邊界、收益率、風(fēng)險(xiǎn)投資的問(wèn)題究其實(shí)質(zhì)就是一個(gè)選擇的問(wèn)題。面對(duì)市場(chǎng)上數(shù)量眾多、特性各異的金融資產(chǎn)，投資者必須充分研究市場(chǎng)，不失時(shí)機(jī)地作出投資決策，期望在既定的資源約束條件下以最高的效率實(shí)現(xiàn)最大的收益；另外，投資是要承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的，如何正確地協(xié)調(diào)收益于

2、風(fēng)險(xiǎn)的矛盾是投資決策的難點(diǎn)所在。馬科維茨為人們提供了解決問(wèn)題的方法和工具。一、 投資組合的理論背景 1952年馬科維茨（Markowitz H M.）發(fā)表了堪稱(chēng)現(xiàn)代微觀金融理論史上里程碑式的論文-投資組合選擇。論文闡述了衡量收益和風(fēng)險(xiǎn)水平的定量方法，建立了均值方差模型的基本框架，奠定了求解投資決策過(guò)程中資金在投資對(duì)象中的最優(yōu)分配比例問(wèn)題的理論基礎(chǔ)。資產(chǎn)組合理論所要解決的核心問(wèn)題是，以不同資產(chǎn)構(gòu)建一個(gè)投資組合，提供確定組合中不同資產(chǎn)的權(quán)重（投資比例），達(dá)到是組合風(fēng)險(xiǎn)（方差）最小的目的。二、相關(guān)概念 投資者同時(shí)買(mǎi)賣(mài)不同種類(lèi)或不同收益的資產(chǎn)，這樣便構(gòu)成了一個(gè)投資組合。為什么金融投資要采取組合投資的方

3、式？西方有句諺語(yǔ)是：不要把所有的雞蛋放到同一個(gè)籃子里。在投資實(shí)踐中，人們發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)投資者不愿意將所有的資金投入個(gè)別資產(chǎn)，因?yàn)檫@樣會(huì)面臨極大的投資風(fēng)險(xiǎn)。投資者進(jìn)行投資決策時(shí)，總是在收益和風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)衡中選擇或調(diào)整自己的資產(chǎn)或資產(chǎn)組合，力圖以最小的成本實(shí)現(xiàn)最大的收益。毫無(wú)疑問(wèn)，理性的投資者所追求的目標(biāo)是投資收益的最大化或投資風(fēng)險(xiǎn)的最小化。你們?nèi)绾蝸?lái)評(píng)價(jià)投資的風(fēng)險(xiǎn)和收益？在馬科維茨的體系里資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)通常用預(yù)期收益率和收益的標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）來(lái)衡量。就收益方面看，對(duì)資產(chǎn)收益的評(píng)估可以用預(yù)期收益率。資產(chǎn)的預(yù)期收益率（即期望收益率）是資產(chǎn)所有可能的不同收益結(jié)果的加權(quán)平均值。資產(chǎn)組合的預(yù)期收益

4、率E(rp)是資產(chǎn)組合中所有資產(chǎn)預(yù)期收益率的加權(quán)平均。就風(fēng)險(xiǎn)而言，一般將投資風(fēng)險(xiǎn)定義為實(shí)際收益對(duì)預(yù)期收益的偏離，數(shù)學(xué)上可以用預(yù)期收益的方差來(lái)衡量。方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，實(shí)際收益與預(yù)期收益的偏離就越大，投資的風(fēng)險(xiǎn)就越大。三、模型的前提假設(shè)馬科維茨的投資組合理論是建立在單一期間和終點(diǎn)財(cái)富的預(yù)期效用最大化基礎(chǔ)上的。所謂單一期間是指投資者持有資產(chǎn)的期間是確定的，在期間開(kāi)始時(shí)持有證券并在期間結(jié)束時(shí)售出。由此即簡(jiǎn)化了對(duì)現(xiàn)金流的貼現(xiàn)和對(duì)復(fù)利的計(jì)算。此外，馬科維茨投資組合理論還包括了下列前提假設(shè)：（1）證券市場(chǎng)是有效的。該市場(chǎng)是一個(gè)信息完全公開(kāi)、信息完全傳遞、信息完全解讀、無(wú)信息時(shí)滯的市場(chǎng)。（2）投資者為理性的個(gè)

5、體，服從不滿(mǎn)足和風(fēng)險(xiǎn)厭惡的行為方式；且影響投資決策的變量是預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)兩個(gè)因素；在同一風(fēng)險(xiǎn)水平上，投資者偏好收益較高的資產(chǎn)組合；在同一收益水平上，則偏好風(fēng)險(xiǎn)較小的資產(chǎn)組合。（3）投資者以均值和方差標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)價(jià)資產(chǎn)和資產(chǎn)組合。（4）資產(chǎn)具有無(wú)限可分性。四、資產(chǎn)組合模型投資決策或資產(chǎn)選擇的要點(diǎn)之一是確定有效邊界，有效邊界所代表的有效資產(chǎn)組合同等風(fēng)險(xiǎn)條件下預(yù)期收益率最高的組合以及同等收益條件下風(fēng)險(xiǎn)最低的組合。不同風(fēng)險(xiǎn)承受能力的投資者可以沿著這條線找到自己最佳的投資組合。對(duì)于存在多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的金融市場(chǎng)而言，可以構(gòu)成無(wú)限多個(gè)資產(chǎn)的組合。所有這些資產(chǎn)組合的集合，代表了投資者全部的投資機(jī)會(huì)，即可行集。在二維

6、-的坐標(biāo)系中，可行集為雙曲線以?xún)?nèi)的部分，投資者只能在此區(qū)域范圍內(nèi)挑選可能得到的資產(chǎn)或者資產(chǎn)組合。從整體上講，理性投資者通常遵循一下兩個(gè)準(zhǔn)則：相對(duì)于同等風(fēng)險(xiǎn)水平，預(yù)期收益率要求最大；相對(duì)于同等收益水平，風(fēng)險(xiǎn)要求最小。因此，位于虛線以上的雙曲線被稱(chēng)為有效邊界（又稱(chēng)馬科維茨 有效集）。有效邊界上的每一點(diǎn)都代表一個(gè)不僅可行而且有效的資產(chǎn)組合，明智的投資者將會(huì)在有效邊界上發(fā)現(xiàn)并選擇最佳投資組合，所有其他的組合均為無(wú)效組合，投資者可以不予考慮。1. 有效邊界的推導(dǎo)投資決策或資產(chǎn)選擇的要點(diǎn)之一是確定有效邊界，有效邊界所代表的有效資產(chǎn)組合包括同等風(fēng)險(xiǎn)條件下預(yù)期收益率最高的組合以及同等收益條件下風(fēng)險(xiǎn)最低的組合。

7、針對(duì)每一預(yù)期收益率，求相應(yīng)的的風(fēng)險(xiǎn)水平最小值。如給定r1 ，最小化而得到1,由此構(gòu)成一個(gè)組合T1（1，r1）；然后給定r2，類(lèi)似地得到另一個(gè)有效組合T2（2，r2）依此類(lèi)推，但要注意的是，如此形成的曲線并不完全符合有效邊界的定義，因?yàn)樵谶@條曲線上，一個(gè)既定的風(fēng)險(xiǎn)水平可能對(duì)應(yīng)著兩個(gè)高低不同的預(yù)期收益率。于是，曲線下半部分應(yīng)當(dāng)被排除在有效邊界的范圍之外。1) 最小方差集 從方差最小化的思路出發(fā)，建立最小方差集的數(shù)學(xué)模型。 設(shè)有n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，預(yù)期收益率向量為，協(xié)方差矩陣為，投資比例向量是X，給定資產(chǎn)組合的一個(gè)預(yù)期收益率r，求解下列規(guī)劃問(wèn)題： Min(1/2)X X s.t. X = r IX = 1

8、 因?yàn)槟Ｐ臀匆?guī)定X的符號(hào)，意味著不限制賣(mài)空。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)： L = （1/2）X X（X - r）+ 2（IX - 1） 列出一階條件得方程組： L/X = X +2 I = 0 (2.1) L/ =X- r= 0 (2.2) L/2=IX - 1= 0 (2.3) 由（2.1）解得：X = -（-1 +2-1 I），將其代入（2.2）和（2.3）： -1 +2 -1 I + r =0 I-1 +2 I-1 I + 1 =0 因-1仍是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，故可令U = -1 ，V= I-1 I，W =-1 I,于是： U +2 W + r = 0 W +2 V + 1 = 0 解方程組可得： =

9、（Vr W）/(W2 - UV) 2 = (U Wr)/ (W2 - UV) 代入并整理，有： X = (V-1 - W-1 I)/( UV - W2 )r +(U-1 I - W-1 )/( UV - W2 ) 這就是當(dāng)預(yù)期收益率為r時(shí)最小風(fēng)險(xiǎn)組合所要求的投資比例，它是r的一次函數(shù)，將其代入目標(biāo)函數(shù)2= X X，可看出2是r的二次方程。由r的任意性可知，風(fēng)險(xiǎn)組合的最小方差集是二次曲線。下面采用解線性方程組的方法進(jìn)行討論計(jì)算，將拉格朗日函數(shù)的一階條件寫(xiě)成（n+2）元線性方程組的形式：11X1 +12X2 +1nXn + 1 +2 = 021X1 +22X2 +2nXn + 2 +2 = 0 n

10、1X1 +n2X2 +nnXn + n +2 = 0 1X1 + 2X2 +n Xn r = 0 X1 + X2 + +Xn 1 = 0 令行列式： 11 12 1n 1 1 21 22 2n 2 1 D= n1 n2 nn n 1 1 2 n 0 0 1 1 1 0 0 11 12 1，i-1 0 1,i+1 1n 1 1 21 22 2，i-1 0 2,i+1 2n 2 1 Di = n1 n2 n，i-1 0 n,i+1 nn n 1 1 2 i-1 r i+1 n 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0假設(shè)協(xié)方差矩陣非奇異，D0.根據(jù)克萊默法則： Xi = Di / D X =(1/D

11、)( Di , D2 ,Di ,Dn )由于行列式Di 中均含有r，因而每個(gè)Xi都是r的一次函數(shù)，于是存在n維列向量J1和J2，使X = J1+ J2r，代入目標(biāo)函數(shù)并考慮到的對(duì)稱(chēng)性，求得最小方差集的方程為：Min2 = X X = （J1+ J2r）（ J1+ J2r） =（J1+ J2r）（ J1+ J2r） = J1J1 +2（J1J2）r +( J2J2)r2 令r在上連續(xù)地上下任意取值，則上述方程描畫(huà)出一條二次曲線。設(shè)a= J2J2 , b=2J1J2 , c= J1J1 ,方程可簡(jiǎn)化為： 2 = a2 + b + c這是最小方差集的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)形式。又因正定，a >0,所以最小方

12、差集在 -坐標(biāo)系中是雙曲線，而在-2坐標(biāo)系中是拋物線，因?yàn)榉讲钭钚≌邩?biāo)準(zhǔn)差也最小，因而沒(méi)有必要區(qū)分最小方差集與最小標(biāo)準(zhǔn)差集。2）有效邊界對(duì)由多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合，有效邊界不過(guò)是最小方差集里絕對(duì)最小方差組合E以上的部分，通常情況下表現(xiàn)為雙曲線的一段。3 .以股票為例進(jìn)行投資組合計(jì)算根據(jù)以上模型，以五糧液、招商銀行、億利能源三支股票為例，進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)投資組合計(jì)算： 表3-1 五糧液股票的相關(guān)信息 月份 開(kāi)盤(pán)價(jià) 收盤(pán)價(jià) 月收益率五糧液2010.0724.3027.7814.32%10.0828.0031.7213.29%10.0931.7534.338.13%10.1034.4936.505.83

13、%10.1136.6039.136.91%10.1239.1434.63-11.52%11.0134.9032.85-5.87%11.0232.9532.970.06%11.0333.0031.89-3.36%11.0431.8732.973.45%11.0533.0033.010.03%11.0633.0235.728.18%11.0735.7838.006.20% 表3-2 招商銀行股票的相關(guān)信息 月份開(kāi)盤(pán)價(jià)收盤(pán)價(jià)月收益率招商銀行2010.0712.8214.5213.26%10.0814.8813.54-9.01%10.0913.5912.95-4.71%10.1013.1014.571

14、1.22%10.1114.6113.05-10.68%10.1213.0512.81-1.84%11.0112.9112.63-2.17%11.0212.6512.871.74%11.0312.9114.099.14%11.0413.9814.463.43%11.0514.4913.91-4.00%11.0613.8513.02-5.99%11.0713.0612.35-5.44% 表3-3 億利能源股票的相關(guān)信息 月份 開(kāi)盤(pán)價(jià) 收盤(pán)價(jià) 月收益率億利能源2010.079.1010.3914.18%10.0810.5012.2716.86%10.0912.3913.9412.51%10.1014

15、.1015.8112.13%10.1115.6414.59-6.71%10.1214.5913.08-10.35%11.0113.0912.57-3.97%11.0212.6814.1811.83%11.0314.2015.358.10%11.0415.3014.72-3.79%11.0514.8812.39-16.73%11.0612.4014.3215.48%11.0714.2013.85-2.46% 表3-4 三支股票數(shù)據(jù)比較五糧液招商銀行億利能源期望收益率：0.0351052-0.003875040.036198242收益率方差20.0055420.0058752360.0127672

16、6標(biāo)準(zhǔn)差0.07444440.0766500890.1129923 表3-5 股票之間的相關(guān)系數(shù)五糧液招商銀行億利能源五糧液1招商銀行-0.0386251億利能源0.595892180.2887395031分別用r1、r2 、r3表示五糧液、招商銀行、億利能源三支股票的收益率，根據(jù)公式Cov(rx ,ry)= xyxy ,計(jì)算得：Cov(r1,r2)= - 0.00023Cov(r1,r3)= 0.00502Cov(r2,r3)= 0.00252因此， 0.006 -0.00023 0.00502 = -0.00023 0.006 0.002520.00502 0.00252 0.013 行列

17、式D和Di （i=1,2,3）分別為：0.006-0.000230.005020.0351-0.000230.060.00252-0.0041D =0.005020.002520.0130.03610.035-0.0040.03600111000-0.000230.005020.035100.0060.00252-0.0041Di =00.002520.0130.0361r-0.0040.03600111000.00600.005020.0351-0.0002300.00252-0.0041D2 =0.0050200.0130.03610.035r0.0360011100 0.006-0.00

18、02300.0351-0.000230.0060-0.0041D3 =0.005020.0025200.03610.035-0.004r0011100計(jì)算得： D = 0.0000139316 Di = 0.00000532016 +0.00019524 r D2 = 0.0000124054 + -0.00035317 r D3 = -0.0000037940 + 0.00015793 r則： X1= 0.381878+ 14.01422r 0.382+14.014r X2= 0.890453 -25.3504r X3= -0.27233+ 11.33613r -0.272+11.336r根

19、據(jù)模型，可得： 0.382 14.014J1= 0.89 J2= -25.35 -0.272 11.336 a= J2J2 = 7.014718 7.015 b=2J1J2 = -0.02977 -0.030 c= J1J1 = 0.008697 0.009即 ： 2 = 7.0152 -0.030 + 0.009 wDwEwFE(rp)200.80.20.004140.0089960.09484700.40.40.0129290.0097850.09891800.60.60.0193940.0110570.10515100.20.80.0281840.0137270.1171610.80.200.0273090.0134120.1158120.60.400.0195130.0110860.1052880.40.600.0117170.0096120.0980390.20.800.0039210.